回扣4數(shù)列1牢記概念與公式等差數(shù)列、等比數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列通項(xiàng)公式ana1(n1)dana1qn1(q0)前n項(xiàng)和Snna1d(1)q1，Sn；(2)q1，Snna12.活用定理與結(jié)論(1)等差、等比數(shù)列an的常用性質(zhì)等差數(shù)列等比數(shù)列性質(zhì)若m，n，p，qN*，且mnpq，則amanapaq；anam(nm)d；Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差數(shù)列若m，n，p，qN*，且mnpq，則amanapaq；anamqnm；Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等比數(shù)列(Sm0)(2)判斷等差數(shù)列的常用方法定義法an1and(常數(shù))(nN*)an是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法anpnq(p，q為常數(shù)，nN*)an是等差數(shù)列中項(xiàng)公式法2an1anan2(nN*)an是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式法SnAn2Bn(A，B為常數(shù)，nN*)an是等差數(shù)列(3)判斷等比數(shù)列的常用方法定義法q(q是不為0的常數(shù)，nN*)an是等比數(shù)列通項(xiàng)公式法ancqn(c，q均是不為0的常數(shù)，nN*)an是等比數(shù)列中項(xiàng)公式法aanan2(anan1an20，nN*)an是等比數(shù)列3數(shù)列求和的常用方法(1)等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和，直接利用公式求和(2)形如anbn(其中an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列)的數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法求和(3)通項(xiàng)公式形如an(其中a，b1，b2，c為常數(shù))用裂項(xiàng)相消法求和(4)通項(xiàng)公式形如an(1)nn或ana(1)n(其中a為常數(shù)，nN*)等正負(fù)項(xiàng)交叉的數(shù)列求和一般用并項(xiàng)法并項(xiàng)時(shí)應(yīng)注意分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論(5)分組求和法：分組求和法是解決通項(xiàng)公式可以寫成cnanbn形式的數(shù)列求和問題的方法，其中an與bn是等差(比)數(shù)列或一些可以直接求和的數(shù)列(6)并項(xiàng)求和法：先將某些項(xiàng)放在一起求和，然后再求Sn.1已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求an，易忽視n1的情形，直接用SnSn1表示事實(shí)上，當(dāng)n1時(shí)，a1S1；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1.2易混淆幾何平均數(shù)與等比中項(xiàng)，正數(shù)a，b的等比中項(xiàng)是.3等差數(shù)列中不能熟練利用數(shù)列的性質(zhì)轉(zhuǎn)化已知條件，靈活整體代換進(jìn)行基本運(yùn)算如等差數(shù)列an與bn的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，已知，求時(shí)，無法正確賦值求解4易忽視等比數(shù)列中公比q0導(dǎo)致增解，易忽視等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同造成增解5運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，易忘記分類討論一定分q1和q1兩種情況進(jìn)行討論6利用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，要注意尋找規(guī)律，不要漏掉第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)7裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，裂項(xiàng)前后的值要相等，如，而是.8通項(xiàng)中含有(1)n的數(shù)列求和時(shí)，要把結(jié)果寫成n為奇數(shù)和n為偶數(shù)兩種情況的分段形式1設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知S13>0，S14<0，若akak1<0，則k等于()A6 B7 C13 D14答案B解析因?yàn)閍n為等差數(shù)列，S1313a7，S147(a7a8)，所以a7>0，a8<0，a7a8<0，所以k7.2已知在等比數(shù)列an中，a1a23，a3a412，則a5a6等于()A3 B15 C48 D63答案C解析q24，所以a5a6(a3a4)q248.3設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1>0，a3a10>0，a6a7<0，則滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為()A6 B7C12 D13答案C解析a1>0，a6a7<0，a6>0，a7<0，等差數(shù)列的公差小于零，又a3a10a1a12>0，a1a132a7<0，S12>0，S13<0，滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為12.4已知數(shù)列an滿足9(nN*)且a2a4a69，則等于()A B3C3 D.答案C解析由已知9，所以an1an2，所以數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列，a5a7a9(a23d)(a43d)(a63d)(a2a4a6)9d99227，所以3.故選C.5已知正數(shù)組成的等比數(shù)列an，若a1a20100，那么a7a14的最小值為()A20 B25C50 D不存在答案A解析在正數(shù)組成的等比數(shù)列an中，因?yàn)閍1a20100，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a1a20a7a14100，那么a7a142 220，當(dāng)且僅當(dāng)a7a1410時(shí)取等號(hào)，所以a7a14的最小值為20.6已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn2an4(nN*)，則an等于()A2n1 B2nC2n1 D2n2答案A解析an1Sn1Sn2an14(2an4)an12an，再令n1，S12a14a14，數(shù)列an是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，an42n12n1，故選A.7已知等差數(shù)列an的公差和首項(xiàng)都不等于0，且a2，a4，a8成等比數(shù)列，則等于()A2 B3 C5 D7答案B解析在等差數(shù)列an中，a2，a4，a8成等比數(shù)列，aa2a8，(a13d)2(a1d)(a17d)，d2a1d，d0，da1，3，故選B.8已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若an(4cos n)n(2cos n)(nN*)，則S20等于()A31 B122C324 D484答案B解析由題意可知，因?yàn)閍n(4cos n)n(2cos n)，所以a11，a2，a33，a4，a55，a6，所以數(shù)列an的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以S20(a1a3a19)(a2a4a20)122，故選B.9已知等差數(shù)列an的公差d0，且a1，a3，a13成等比數(shù)列，若a11，Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則(nN*)的最小值為()A4 B3C22 D.答案A解析由題意a1，a3，a13成等比數(shù)列，可得(12d)2112d，解得d2，故an2n1，Snn2，因此(n1)2，由基本不等式知，(n1)2224，當(dāng)且僅當(dāng)n2時(shí)取得最小值4.10已知F(x)f1是R上的奇函數(shù)，數(shù)列an滿足anf(0)fff(1)(nN*)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為()Aann1 BannCann1 Dann2答案C解析由題意F(x)f1是R上的奇函數(shù)，即F(x)關(guān)于(0,0)對(duì)稱，則f(x)關(guān)于對(duì)稱即f(0)f(1)2，f1，ff2，ff2，則anf(0)fff(1)n1.11在等差數(shù)列an中，已知a3a810，則3a5a7_.答案20解析設(shè)公差為d，則a3a82a19d10，3a5a73(a14d)(a16d)4a118d21020.12若等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a10a11a9a122e5，則ln a1ln a2ln a20_.答案50解析數(shù)列an為等比數(shù)列，且a10a11a9a122e5，a10a11a9a122a10a112e5，a10a11e5，ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a10a11)10ln(e5)10ln e5050.13數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a12，Sn1(1)nSn2n，則S100_.答案198解析當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn1Sn2n，Sn2Sn12n2，所以Sn2Sn4n2，故Sn4Sn24(n2)2，所以Sn4Sn8，由a12知，S12，又S2S12，所以S24，因?yàn)镾4S242210，所以S46，所以S8S48，S12S88，S100S968，所以S100248S41926198.14若數(shù)列an滿足a2a1>a3a2>a4a3>>an1an>，則稱數(shù)列an為“差遞減”數(shù)列若數(shù)列an是“差遞減”數(shù)列，且其通項(xiàng)an與其前n項(xiàng)和Sn(nN*)滿足2Sn3an21，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_答案解析當(dāng)n1時(shí)，2a13a121，a112，當(dāng)n>1時(shí)，2Sn13an121，所以2an3an3an1，an3an1，所以an3n1，anan13n13n23n2，依題意3n2是一個(gè)遞減數(shù)列，所以24<0，>.15Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，S728.記bnlg an，其中x表示不超過x的最大整數(shù)，如0.90，lg 991.(1)求b1，b11，b101；(2)求數(shù)列bn的前1 000項(xiàng)和解(1)設(shè)an的公差為d，據(jù)已知有721d28，解得d1.所以an的通項(xiàng)公式為ann(nN*)b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.(2)因?yàn)閎n所以數(shù)列bn的前1 000項(xiàng)和為1902900311 893.16各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足：Snaan(nN*)(1)求an；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，證明：對(duì)一切正整數(shù)n，都有Tn<.(1)解由Snaan，可知當(dāng)n2時(shí)，Sn1aan1，由化簡(jiǎn)得(anan1)(anan12)0，又?jǐn)?shù)列an各項(xiàng)為正數(shù)，當(dāng)n2時(shí)，anan12，故數(shù)列an成等差數(shù)列，公差為2，又a1S1aa1，解得a11，an2n1(nN*)(2)證明Tn.<，Tn<111<.