組合增分練6解答題組合練B1.已知點(diǎn)P(3,1),Q(cos x,sin x),O為坐標(biāo)原點(diǎn),函數(shù)f(x)=OPQP.(1)求函數(shù)f(x)的最小值及此時(shí)x的值;(2)若A為ABC的內(nèi)角,f(A)=4,BC=3,ABC的面積為334,求ABC的周長.2.已知函數(shù)f(x)=cosx-3-cos x(xR,為常數(shù),且1<<2),函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=1,f35A=12,求ABC面積的最大值.3.環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定:居民區(qū)PM2.5的年平均濃度不得超過35微克/立方米,PM2.5的24小時(shí)平均濃度不得超過75微克/立方米.我市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一居民區(qū)2016年20天PM2.5的24小時(shí)平均濃度(單位:微克/立方米)的監(jiān)測數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表:組別PM2.5濃度(微克/立方米)頻數(shù)(天)頻率第一組(0,2530.15第二組(25,50120.6第三組(50,7530.15第四組(75,10020.1(1)從樣本中PM2.5的24小時(shí)平均濃度超過50微克/立方米的天數(shù)中,隨機(jī)抽取2天,求恰好有一天PM2.5的24小時(shí)平均濃度超過75微克/立方米的概率;(2)將這20天的測量結(jié)果按上表中分組方法繪制成的樣本頻率分布直方圖如圖.求圖中a的值;求樣本平均數(shù),并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想,從PM2.5的年平均濃度考慮,判斷該居民區(qū)的環(huán)境質(zhì)量是否需要改善?并說明理由.4.某校為指導(dǎo)學(xué)生合理選擇文理科的學(xué)習(xí),根據(jù)數(shù)理綜合測評(píng)成績,按6分為滿分進(jìn)行折算后,若學(xué)生成績小于m分則建議選擇文科,不低于m分則建議選擇理科(這部分學(xué)生稱為候選理科生).現(xiàn)從該校高一隨機(jī)抽取500名學(xué)生的數(shù)理綜合成績作為樣本,整理得到分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖(如圖所示).(1)求直方圖中的t值;(2)根據(jù)此次測評(píng),為使80%以上的學(xué)生選擇理科,成績m至多定為多少?(3)若m=4,試估計(jì)該校高一學(xué)生中候選理科學(xué)生的平均成績.(精確到0.01)5.已知函數(shù)f(x)=x-mln x-m-1x(mR),g(x)=12x2+ex-xex.(1)當(dāng)x1,e時(shí),求f(x)的最小值;(2)當(dāng)m2時(shí),若x1e,e2,使得x2-2,0,f(x1)g(x2)成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.6.設(shè)a,bR,|a|1.已知函數(shù)f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,g(x)=exf(x).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)已知函數(shù)y=g(x)和y=ex的圖象在公共點(diǎn)(x0,y0)處有相同的切線,求證:f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于0;若關(guān)于x的不等式g(x)ex在區(qū)間x0-1,x0+1上恒成立,求b的取值范圍.組合增分練6答案1.解 (1)由題意,OP=(3,1),QP=(3-cos x,1-sin x),f(x)=OPQP=3-3cos x+1-sin x=4-2sinx+3,當(dāng)x=6+2k,kZ時(shí),f(x)取得最小值2.(2)f(A)=4,即4-2sinA+3=4,可得A+3=k,kZ,0<A<,A=23.BC=3,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos23,即9=(b+c)2-bc.又ABC的面積為334,即13bcsin A=334,可得bc=3,那么b+c=23,故得ABC的周長為a+b+c=23+3.2.解 (1)f(x)=cosx-3-cos x=32sin x-12cos x=sinx-6,由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱,可得x-6=k+2(kZ),=k+23(kZ).(1,2),k=1,=53,f(x)=sin53x-6,則函數(shù)f(x)最小正周期T=253=65.(2)由(1)知f35A=sinA-6=12,0<A<,-6<A-6<56,A-6=6,A=3,由余弦定理及a=1,得1=b2+c2-2bccos32bc-bc=bc,即bc1,SABC=12bcsin A=34bc34,ABC面積的最大值為34.3.解 (1)設(shè)PM2.5的24小時(shí)平均濃度在(50,75內(nèi)的3天為A1,A2,A3,PM2.5的24小時(shí)平均濃度在(75,100內(nèi)的2天為B1,B2.所以5天任取2天的情況有A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,共10種.其中符合條件的有A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,共6種.所以所求的概率P=610=35.(2)由第四組的頻率為0.1得25a=0.1,解得a=0.004.去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度為12.50.15+37.50.6+62.50.15+87.50.1=42.5(微克/立方米).因?yàn)?2.5>35,所以去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度不符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn),故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進(jìn).4.解 (1)根據(jù)頻率分布直方圖中頻率和為1,得0.151+t1+0.301+t1+0.151=1,解得t=0.2.(2)使80%以上的學(xué)生選擇理科,則0.15+0.2+0.3<0.8<0.15+0.2+0.3+0.2,滿足條件的m值為2.(3)m=4時(shí),計(jì)算4.50.21500+5.50.1515000.21500+0.1515004.93,估計(jì)該校高一學(xué)生中候選理科學(xué)生的平均成績?yōu)?.93.5.解 (1)由f(x)=x-mln x-m-1x(x>0),得f(x)=1-mx+m-1x2=(x-1)x-(m-1)x2,當(dāng)m2時(shí),f(x)在1,e上f(x)0,f(x)是遞增函數(shù),f(x)min=f(1)=2-m.當(dāng)me+1時(shí),f(x)在1,e上f(x)0,f(x)是遞減函數(shù),f(x)min=f(e)=e-m-m-1e.當(dāng)2<m<e+1時(shí),f(x)在1,m-1上f(x)0,在m-1,e上f(x)0,f(x)min=f(m-1)=m-2-mln(m-1).(2)已知等價(jià)于f(x1)ming(x2)min,由(1)知當(dāng)m2時(shí),f(x)在e,e2上f(x)0,f(x)min=f(e)=e-m-m-1e,而g(x)=x+ex-(x+1)ex=x(1-ex),當(dāng)x2-2,0,g(x2)0,g(x2)min=g(0)=1,m2,e-m-m-1e1,故實(shí)數(shù)m的取值范圍是e2-e+1e+1,2.6.(1)解 由f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,可得f(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)x-(4-a).令f(x)=0,解得x=a或x=4-a.由|a|1,得a<4-a.當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表:x(-,a)(a,4-a)(4-a,+)f(x)+-+f(x)所以,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,a),(4-a,+),單調(diào)遞減區(qū)間為(a,4-a).(2)證明 因?yàn)間(x)=ex(f(x)+f(x),由題意知g(x0)=ex0,g(x0)=ex0,所以f(x0)ex0=ex0,ex0(f(x0)+f(x0)=ex0,解得f(x0)=1,f(x0)=0.所以,f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于0.解 因?yàn)間(x)ex,xx0-1,x0+1,由ex>0,可得f(x)1.又因?yàn)閒(x0)=1,f(x0)=0.故x0為f(x)的極大值點(diǎn),由(1)知x0=a.另一方面,由于|a|1,故a+1<4-a,由(1)知f(x)在(a-1,a)內(nèi)單調(diào)遞增,在(a,a+1)內(nèi)單調(diào)遞減,故當(dāng)x0=a時(shí),f(x)f(a)=1在a-1,a+1上恒成立,從而g(x)ex在x0-1,x0+1上恒成立.由f(a)=a3-6a2-3a(a-4)a+b=1,得b=2a3-6a2+1,-1a1.令t(x)=2x3-6x2+1,x-1,1,所以t(x)=6x2-12x,令t(x)=0,解得x=2(舍去)或x=0.因?yàn)閠(-1)=-7,t(1)=-3,t(0)=1,因此,t(x)的值域?yàn)?7,1.所以,b的取值范圍是-7,1.