第1課時雙曲線的幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、實軸長和虛軸長等).2.理解離心率的定義、取值范圍和漸近線方程.3.能用雙曲線的簡單幾何性質(zhì)解決一些簡單問題知識點一雙曲線的性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍xa或xaya或ya對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點頂點坐標(biāo)A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)漸近線yxyx離心率e，e(1，)，其中ca，b，c間的關(guān)系c2a2b2(c>a>0，c>b>0)知識點二等軸雙曲線思考求下列雙曲線的實半軸長、虛半軸長，并分析其共同點(1)x2y21；(2)4x24y21.答案(1)的實半軸長1，虛半軸長1(2)的實半軸長，虛半軸長.它們的實半軸長與虛半軸長相等梳理實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為yx，離心率為.(1)雙曲線1與1(a0，b0)的形狀相同()(2)雙曲線1與1(a0，b0)的漸近線相同()(3)等軸雙曲線的漸近線方程與雙曲線方程有關(guān)()(4)離心率是的雙曲線為等軸雙曲線()類型一雙曲線的性質(zhì)例1求雙曲線9y24x236的頂點坐標(biāo)、焦點坐標(biāo)、實軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程考點雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點由雙曲線方程求a，b，c及漸近線解雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是1，a29，b24，a3，b2，c.又雙曲線的焦點在x軸上，頂點坐標(biāo)為(3,0)，(3,0)，焦點坐標(biāo)為(，0)，(，0)，實軸長2a6，虛軸長2b4，離心率e，漸近線方程為yx.引申探究求雙曲線nx2my2mn(m>0，n>0)的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標(biāo)、離心率、頂點坐標(biāo)和漸近線方程解把方程nx2my2mn(m>0，n>0)化為標(biāo)準(zhǔn)方程為1(m>0，n>0)，由此可知，實半軸長a，虛半軸長b，c，焦點坐標(biāo)為(，0)，(，0)，離心率e，頂點坐標(biāo)為(，0)，(，0)，所以漸近線方程為yx，即yx.反思與感悟由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)的解題步驟(1)把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解決本題的關(guān)鍵(2)由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點位置，確定a，b的值(3)由c2a2b2求出c的值，從而寫出雙曲線的幾何性質(zhì)跟蹤訓(xùn)練1求雙曲線9y216x2144的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標(biāo)、離心率、漸近線方程考點雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點由雙曲線方程求a，b，c及漸近線解把方程9y216x2144化為標(biāo)準(zhǔn)方程為1.由此可知，實半軸長a4，虛半軸長b3；c5，焦點坐標(biāo)是(0，5)，(0,5)；離心率e；漸近線方程為yx.類型二由雙曲線的性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程例2(1)已知雙曲線的實軸長與虛軸長之和等于其焦距的倍，且一個頂點的坐標(biāo)為(0,2)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.1B.1C.1D.1考點雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點由雙曲線方程求a，b，c及漸近線答案B解析由已知，得雙曲線的焦點在y軸上，從而可設(shè)雙曲線的方程為1(a0，b0)一個頂點為(0,2)，a2.又實軸長與虛軸長之和等于焦距的倍，2a2b2c.又a2b2c2，b24，所求雙曲線的方程為1.(2)求與雙曲線1有共同的漸近線，并且經(jīng)過點A(2，3)的雙曲線的方程考點雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點由雙曲線方程求a，b，c及漸近線解雙曲線1的漸近線方程為yx.當(dāng)所求雙曲線的焦點在x軸上時，設(shè)所求雙曲線的方程為1(a0，b0)因為，所以ba.因為點A(2，3)在所求雙曲線上，所以1.聯(lián)立得方程組無解當(dāng)所求雙曲線的焦點在y軸上時，設(shè)所求雙曲線的方程為1(a0，b0)，因為，所以ab.因為點A(2，3)在所求雙曲線上，所以1.由，得a2，b24，所以所求雙曲線的方程為1.反思與感悟(1)根據(jù)雙曲線的某些幾何性質(zhì)求雙曲線方程，一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程(組)，但要注意焦點的位置，從而正確選擇方程的形式(2)巧設(shè)雙曲線方程的六種方法與技巧焦點在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為1(a>0，b>0)焦點在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為1(a>0，b>0)與雙曲線1共焦點的雙曲線方程可設(shè)為1(0，b2<<a2)與雙曲線1具有相同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為(0)漸近線為ykx的雙曲線方程可設(shè)為k2x2y2(0)漸近線為axby0的雙曲線方程可設(shè)為a2x2b2y2(0)跟蹤訓(xùn)練2(1)求與雙曲線1有共同的漸近線，且經(jīng)過點M(3，2)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知雙曲線1(a>0，b>0)的離心率e，過點A(0，b)和B(a,0)的直線與原點的距離為，求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程考點由雙曲線的簡單幾何性質(zhì)求方程題點已知雙曲線的焦距、漸近線求雙曲線的方程解(1)設(shè)所求雙曲線的方程為(0)點M(3，2)在雙曲線上，即2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)e，a23b2.又直線AB的方程為bxayab0，d，即4a2b23(a2b2)解組成的方程組，得a23，b21.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.類型三求雙曲線的離心率例3已知F1，F(xiàn)2是雙曲線1(a0，b0)的兩個焦點，PQ是經(jīng)過F1且垂直于x軸的雙曲線的弦，如果PF2Q90，求雙曲線的離心率考點雙曲線的離心率與漸近線題點求雙曲線的離心率解設(shè)F1(c,0)，將xc代入雙曲線的方程得1，那么y.由|PF2|QF2|，PF2Q90，知|PF1|F1F2|，所以2c，所以b22ac，所以c22aca20，所以2210，即e22e10，所以e1或e1(舍去)，所以雙曲線的離心率為1.反思與感悟求雙曲線離心率的三種方法：(1)若可求得a，c，則直接利用e求解(2)若已知a，b，可直接利用e求解(3)若得到的是關(guān)于a，c的齊次方程pc2qacra20(p，q，r為常數(shù)，且p0)，則轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程pe2qer0求解跟蹤訓(xùn)練3設(shè)雙曲線1(ba0)的焦距為2c，直線l過點A(a,0)，B(0，b)兩點，已知原點到直線l的距離為c，則雙曲線的離心率為_考點雙曲線的離心率與漸近線題點求雙曲線的離心率答案2解析如圖所示，在OAB中，|OA|a，|OB|b，|OE|c，|AB|c.因為|AB|OE|OA|OB|，所以ccab，即(a2b2)ab，兩邊同除以a2，得20，解得或(舍去)，所以e2.1已知雙曲線方程為x28y232，則()A實軸長為4，虛軸長為2B實軸長為8，虛軸長為4C實軸長為2，虛軸長為4D實軸長為4，虛軸長為8考點雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點由雙曲線方程求a，b，c答案B解析雙曲線方程x28y232化為標(biāo)準(zhǔn)方程為1，可得a4，b2，所以雙曲線的實軸長為8，虛軸長為4.2下列雙曲線中，焦點在y軸上且漸近線方程為yx的是()Ax21By21Cx21Dy21考點由雙曲線的簡單幾何性質(zhì)求方程題點已知雙曲線的焦距、漸近線求雙曲線的方程答案D解析從選項知，焦點在y軸上的雙曲線有x21與y21，而x21的漸近線方程是y2x，y21的漸近線方程是yx，故選D.3(2017浙江余姚中學(xué)期中)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點，P是雙曲線C的右支上的點，射線PT平分F1PF2，過原點O作PT的平行線交PF1于點M，若|MP|F1F2|，則雙曲線C的離心率為()A.B3C.D.答案A4與雙曲線1共漸近線且經(jīng)過點M(2，6)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_答案1解析設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為t(t0)，又經(jīng)過點M(2，6)，t，即t2，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.5已知F是雙曲線C：x21的右焦點，P是C的左支上一點，A(0,6)當(dāng)APF周長最小時，該三角形的面積為_考點雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點由雙曲線方程研究其他問題答案12解析設(shè)左焦點為F1，|PF|PF1|2a2，|PF|2|PF1|，APF的周長為|AF|AP|PF|AF|AP|2|PF1|，APF周長最小即為|AP|PF1|最小，當(dāng)A，P，F(xiàn)1在一條直線上時最小，過AF1的直線方程為1，與x21聯(lián)立，解得P點坐標(biāo)為(2,2)，此時S12.1隨著x和y趨向于無窮大，雙曲線將無限地與漸近線接近，但永遠(yuǎn)沒有交點；由漸近線方程可確定a與b或b與a的比值，但無法確定焦點位置2求漸近線的方程，常把雙曲線的方程右邊的常數(shù)寫成0，分解因式即得漸近線方程，若已知漸近線方程mxny0，求雙曲線的方程，常將雙曲線的方程設(shè)為(0)求解3與雙曲線1(a0，b0)有共同漸近線的雙曲線系的方程可設(shè)為(0，a0，b0).一、選擇題1雙曲線2x2y28的實軸長是()A2B2C4D4考點雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點由雙曲線方程求a，b，c及漸近線答案C解析將雙曲線化成標(biāo)準(zhǔn)形式為1，得2a4.2若雙曲線1(a0，b0)的離心率為，則其漸近線方程為()Ay2xByxCyxDyx考點雙曲線的離心率與漸近線題點漸近線與離心率的關(guān)系答案B解析由e，得22.故漸近線方程為yx，故選B.3設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a0，b0)的兩個焦點，P是C上一點，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小內(nèi)角為30，則C的離心率為()A.B.C.D.考點雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點求雙曲線的離心率答案C解析不妨設(shè)|PF1|PF2|，則|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，解得|PF1|4a，|PF2|2a，則PF1F2是PF1F2的最小內(nèi)角，為30，|PF2|2|PF1|2|F2F1|22|PF1|F2F1|cos 30，(2a)2(4a)2(2c)224a2c，化為e22e30，解得e.4設(shè)雙曲線1的漸近線方程為3x2y0，則a的值為()A4B3C2D1考點雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點由雙曲線方程求a，b，c及漸近線答案A解析方程表示雙曲線，a<0，標(biāo)準(zhǔn)方程為1，漸近線方程為yx，解得a4.5等軸雙曲線的一個焦點是F1(6,0)，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.1B.1C.1D.1考點由雙曲線的簡單幾何性質(zhì)求方程題點已知雙曲線的焦距求方程答案D解析等軸雙曲線的一個焦點為F1(6,0)，c6，2a236，a218，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.6(2017浙江名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線l與雙曲線右支交于A，B兩點(B在第四象限)，若ABF1是B為直角頂點的等腰直角三角形，設(shè)該雙曲線的離心率為e，則e2為()A52B52C42D42答案A7設(shè)F為雙曲線C：1(a>0，b>0)的右焦點，過點F且斜率為1的直線l與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，若3，則雙曲線C的離心率e等于()A.B.C.D.考點雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點求雙曲線的離心率答案D解析設(shè)F(c,0)，則過雙曲線：1(a>0，b>0)的右焦點F且斜率為1的直線l的方程為y(xc)，而漸近線方程是yx，由得B，由得A，由3，得3，則3，即ba，則ca，則e，故選D.二、填空題8(2017嘉興一中期末)雙曲線C：x24y21的焦距是_，雙曲線C的漸近線方程是_答案yx9已知雙曲線y21(m0)的離心率e(1,2)，則m的取值范圍是_考點雙曲線的離心率與漸近線題點雙曲線離心率的取值范圍答案(0,3)解析由雙曲線y21(m0)知，a1，b，所以e，又e(1,2)，所以12，解得0m3.10(2017金華一中月考)已知雙曲線1(a>0，b>0)的焦點到其漸近線的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的漸近線方程為_答案y2x11過雙曲線1(a0，b0)的左焦點F(c,0)(c0)作圓x2y2的切線，切點為E，延長FE交雙曲線右支于點P，若()，則雙曲線的離心率為_考點雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點求雙曲線離心率答案解析如圖，設(shè)雙曲線的右焦點為M，連接PM.OEPF，在RtOEF中，|EF|.又()，E是PF的中點，|PF|2|EF|2 ，|PM|2|OE|a.由雙曲線的定義知，|PF|PM|2a，2 a2a，e.三、解答題12已知雙曲線的一條漸近線為xy0，且與橢圓x24y264有相同的焦距，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程考點由雙曲線的簡單幾何性質(zhì)求方程題點已知雙曲線的焦距、漸近線求雙曲線的方程解橢圓方程為1，可知橢圓的焦距為8.當(dāng)雙曲線的焦點在x軸上時，設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)，解得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1；當(dāng)雙曲線的焦點在y軸上時，設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)，解得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.由可知，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.13已知點A(0,1)，點P在雙曲線C：y21上(1)當(dāng)|PA|最小時，求點P的坐標(biāo)；(2)過點A的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于M，N兩點，O為坐標(biāo)原點，若OMN的面積為2，求直線l的方程考點雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點由雙曲線方程研究其他問題解(1)設(shè)P(x，y)，則|PA|，當(dāng)y時，|PA|最小，故所求點P的坐標(biāo)為.(2)由題知直線l的斜率存在，故可設(shè)l的方程為ykx1，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，與雙曲線方程聯(lián)立得(12k2)x24kx40，則16(1k2)0且0，即k2.由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2，x1x2，|x1x2|，SOMN1|x1x2|2，解得k2或k2(舍去)，即k，l的方程為x2y20或x2y20.四、探究與拓展14已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線E：1(a0，b0)的左、右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sinMF2F1，則E的離心率為()A.B.C.D2考點雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點求雙曲線的離心率答案A解析因為MF1與x軸垂直，所以|MF1|.又sinMF2F1，所以，即|MF2|3|MF1|.由雙曲線的定義，得2a|MF2|MF1|2|MF1|，所以b2a2，所以c2b2a22a2，所以離心率e.15已知雙曲線C：y21(a0)，直線l：xy1，雙曲線C與直線l有兩個不同交點A，B，直線l與y軸交點為P.(1)求離心率e的取值范圍；(2)若，求a的值考點雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點由雙曲線方程研究其他問題解(1)由雙曲線C與直線l相交于兩個不同的點，得方程組有兩個不同的解，消去y并整理，得(1a2)x22a2x2a20，解得a且a1.又a0，0a且a1.雙曲線的離心率e，0a且a1，e且e，雙曲線C的離心率e的取值范圍是(，)(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，易得P(0,1)，(x1，y11)(x2，y21)，由此可得x1x2.x1，x2都是方程的根，且1a20，x1x2x2.x1x2x，消去x2得，即a2.又a0，a.