專題對點練19統(tǒng)計與統(tǒng)計案例1.我國是世界上嚴重缺水的國家,城市缺水問題較為突出,某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水,計劃在本市試行居民生活用水定額管理,即確定一個合理的居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)x(單位:噸),用水量不超過x的部分按平價收費,超過x的部分按議價收費.為了了解全市居民月用水量的分布情況,通過抽樣,獲得了100名居民某年的月用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照0,0.5),0.5,1),4,4.5分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求直方圖中a的值;(2)已知該市有80萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),并說明理由;(3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x(單位:噸),估計x的值,并說明理由.2.為迎接即將舉行的集體跳繩比賽,高一年級對甲、乙兩個代表隊各進行了6輪測試,測試成績(單位:次/分鐘)如下表:輪次一二三四五六甲736682726376乙837562697568(1)補全莖葉圖,并指出乙隊測試成績的中位數(shù)和眾數(shù);(2)試用統(tǒng)計學(xué)中的平均數(shù)、方差知識對甲、乙兩個代表隊的測試成績進行分析.3.某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響.對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i=1,2,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.xywi=18(xi-x)2i=18(wi-w)2i=18(xi-x)(yi-y)i=18(wi-w)(yi-y)46.65636.8289.81.61 469108.8表中wi=xi,w=18i=18wi.(1)根據(jù)散點圖判斷y=a+bx與y=c+dx哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x,y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題:年宣傳費x=49時,年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少?年宣傳費x為何值時,年利潤的預(yù)報值最大?附:對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),(un,vn),其回歸直線v=+u的斜率和截距的最小二乘估計分別為=i=1n(ui-u)(vi-v)i=1n(ui-u)2,=v-u.4.某校數(shù)學(xué)課外興趣小組為研究數(shù)學(xué)成績是否與性別有關(guān),先統(tǒng)計本校高三年級每個學(xué)生一學(xué)期數(shù)學(xué)成績平均分(采用百分制),剔除平均分在30分以下的學(xué)生后,共有男生300名,女生200名.現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名學(xué)生,按性別分為兩組,并將兩組學(xué)生成績分為6組,得到如下所示頻數(shù)分布表.分數(shù)段40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100男39181569女64510132(1)估計男、女生各自的成績平均分(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表),從計算結(jié)果看,判斷數(shù)學(xué)成績與性別是否有關(guān);(2)規(guī)定80分以上為優(yōu)分(含80分),請你根據(jù)已知條件作出22列聯(lián)表,并判斷是否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為“數(shù)學(xué)成績與性別有關(guān)”.優(yōu)分非優(yōu)分合計男生女生合計100附表及公式P(K2k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.專題對點練19答案1.解 (1)由頻率分布直方圖,可得(0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04)0.5=1,解得a=0.30.(2)由頻率分布直方圖可知,100名居民每人月用水量不低于3噸的頻率為(0.12+0.08+0.04)0.5=0.12.由以上樣本頻率分布,可以估計全市80萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為800 0000.12=96 000.(3)前6組的頻率之和為(0.08+0.16+0.30+0.40+0.52+0.30)0.5=0.88>0.85,而前5組的頻率之和為(0.08+0.16+0.30+0.40+0.52)0.5=0.73<0.85,2.5x<3.由0.3(x-2.5)=0.85-0.73,解得x=2.9.因此,估計月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時,85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn).2.解 (1)補全莖葉圖如下:乙隊測試成績的中位數(shù)為72,眾數(shù)為75.(2)x甲=63+66+72+73+76+826=72,s甲2=16(63-72)2+(66-72)2+(72-72)2+(73-72)2+(76-72)2+(82-72)2=39;x乙=62+68+69+75+75+836=72,s乙2=16(62-72)2+(68-72)2+(69-72)2+(75-72)2+(75-72)2+(83-72)2=44.因為x甲=x乙,s甲2<s乙2,所以甲、乙兩隊水平相當(dāng),但甲隊發(fā)揮較穩(wěn)定.3.解 (1)由散點圖可以判斷y=c+dx適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型.(2)令w=x,先建立y關(guān)于w的線性回歸方程.因為d=i=18(wi-w)(yi-y)i=18(wi-w)2=108.81.6=68,c=y-dw=563-686.8=100.6,所以y關(guān)于w的線性回歸方程為y=100.6+68w,因此y關(guān)于x的回歸方程為y=100.6+68x.(3)由(2)知,當(dāng)x=49時,年銷售量y的預(yù)報值y=100.6+6849=576.6,年利潤z的預(yù)報值z=576.60.2-49=66.32.根據(jù)(2)的結(jié)果知,年利潤z的預(yù)報值z=0.2(100.6+68x)-x=-x+13.6x+20.12.所以當(dāng)x=13.62=6.8,即x=46.24時,z取得最大值.故年宣傳費為46.24千元時,年利潤的預(yù)報值最大.4.解 (1)x男=450.05+550.15+650.3+750.25+850.1+950.15=71.5.x女=450.15+550.10+650.125+750.25+850.325+950.05=71.5.從男、女生各自的成績平均分來看,并不能判斷數(shù)學(xué)成績與性別有關(guān).(2)由頻數(shù)分布表可知,在抽取的100名學(xué)生中,“男生組”中的優(yōu)分有15人,“女生組”中的優(yōu)分有15人,據(jù)此可得22列聯(lián)表如下:優(yōu)分非優(yōu)分合計男生154560女生152540合計3070100可得K2=100(1525-1545)2604030701.79.1.79<2.706,不能在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為“數(shù)學(xué)成績與性別有關(guān)”.