專題對(duì)點(diǎn)練17空間中的垂直、夾角及幾何體的體積1.(2018江蘇,15)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1B1C1.求證:(1)AB平面A1B1C;(2)平面ABB1A1平面A1BC.2.如圖,在三棱臺(tái)ABC-DEF中,平面BCFE平面ABC,ACB=90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求證:BF平面ACFD;(2)求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值.3.由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐C1-B1CD1后得到的幾何體如圖所示.四邊形ABCD為正方形,O為AC與BD的交點(diǎn),E為AD的中點(diǎn),A1E平面ABCD.(1)證明:A1O平面B1CD1;(2)設(shè)M是OD的中點(diǎn),證明:平面A1EM平面B1CD1.4.如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,ABDC,PAD是等邊三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=45.(1)設(shè)M是PC上的一點(diǎn),證明:平面MBD平面PAD;(2)求四棱錐P-ABCD的體積.5.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,ADC=45,AD=AC=2,O為AC的中點(diǎn),PO平面ABCD,且PO=6,M為PD的中點(diǎn).(1)證明:AD平面PAC;(2)求直線AM與平面ABCD所成角的正切值.6.(2018北京,文18)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,E,F分別為AD,PB的中點(diǎn).求證:(1)PEBC;(2)平面PAB平面PCD;(3)EF平面PCD.7.如圖,在直角梯形ABCD中,ADBC,ABC=90,AB=BC=2,AD=6,CEAD于點(diǎn)E,把DEC沿CE折到DEC的位置,使DA=23,如圖.若G,H分別為DB,DE的中點(diǎn).(1)求證:GHDA;(2)求三棱錐C-DBE的體積.8.如圖,在四棱錐S-ABCD中,ABCD,BCCD,側(cè)面SAB為等邊三角形,AB=BC=2,CD=SD=1.(1)證明:SD平面SAB;(2)求四棱錐S-ABCD的高.專題對(duì)點(diǎn)練17答案1.證明 (1)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,ABA1B1.因?yàn)锳B平面A1B1C,A1B1平面A1B1C,所以AB平面A1B1C.(2)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,四邊形ABB1A1為平行四邊形.又因?yàn)锳A1=AB,所以四邊形ABB1A1為菱形,因此AB1A1B.又因?yàn)锳B1B1C1,BCB1C1,所以AB1BC.又因?yàn)锳1BBC=B,A1B平面A1BC,BC平面A1BC,所以AB1平面A1BC.因?yàn)锳B1平面ABB1A1,所以平面ABB1A1平面A1BC.2.(1)證明 延長(zhǎng)AD,BE,CF相交于一點(diǎn)K,如圖所示.因?yàn)槠矫鍮CFE平面ABC,且ACBC,所以AC平面BCK,因此BFAC.又因?yàn)镋FBC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以BCK為等邊三角形,且F為CK的中點(diǎn),則BFCK.所以BF平面ACFD.(2)解 因?yàn)锽F平面ACK,所以BDF是直線BD與平面ACFD所成的角.在RtBFD中,BF=3,DF=32,得cosBDF=217,所以,直線BD與平面ACFD所成角的余弦值為217.3.證明 (1)取B1D1的中點(diǎn)O1,連接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1OC,A1O1=OC,因此四邊形A1OCO1為平行四邊形,所以A1OO1C.又O1C平面B1CD1,A1O平面B1CD1,所以A1O平面B1CD1.(2)因?yàn)锳CBD,E,M分別為AD和OD的中點(diǎn),所以EMBD,又A1E平面ABCD,BD平面ABCD,所以A1EBD,因?yàn)锽1D1BD,所以EMB1D1,A1EB1D1.又A1E,EM平面A1EM,A1EEM=E,所以B1D1平面A1EM,又B1D1平面B1CD1,所以平面A1EM平面B1CD1.4.(1)證明 在ABD中,因?yàn)锳D=4,BD=8,AB=45,所以AD2+BD2=AB2.所以ADBD.又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,BD平面ABCD,所以BD平面PAD.又BD平面MBD,故平面MBD平面PAD.(2)解 過點(diǎn)P作POAD交AD于點(diǎn)O,因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD,所以PO平面ABCD,所以PO為四棱錐P-ABCD的高.又PAD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,因此PO=324=23.在底面四邊形ABCD中,ABDC,AB=2DC,所以四邊形ABCD是梯形.在RtADB中,斜邊AB邊上的高為4845=855,此即為梯形ABCD的高,所以四邊形ABCD的面積為S=25+452855=24.故VP-ABCD=132423=163.5.(1)證明 PO平面ABCD,且AD平面ABCD,POAD.ADC=45,且AD=AC=2,ACD=45,DAC=90,ADAC.AC平面PAC,PO平面PAC,且ACPO=O,AD平面PAC.(2)解 取DO的中點(diǎn)N,連接MN,AN,由PO平面ABCD,得MN平面ABCD,MAN是直線AM與平面ABCD所成的角.M為PD的中點(diǎn),MNPO,且MN=12PO=3,AN=12DO=52.在RtANM中,tanMAN=MNAN=352=655,即直線AM與平面ABCD所成角的正切值為655.6.證明 (1)PA=PD,且E為AD的中點(diǎn),PEAD.底面ABCD為矩形,BCAD,PEBC.(2)底面ABCD為矩形,ABAD.平面PAD平面ABCD,AB平面PAD.ABPD.又PAPD,PAAB=A,PD平面PAB.PD平面PCD,平面PAB平面PCD.(3)如圖,取PC的中點(diǎn)G,連接FG,GD.F,G分別為PB和PC的中點(diǎn),FGBC,且FG=12BC.四邊形ABCD為矩形,且E為AD的中點(diǎn),EDBC,ED=12BC,EDFG,且ED=FG,四邊形EFGD為平行四邊形,EFGD.又EF平面PCD,GD平面PCD,EF平面PCD.7.(1)證明 連接BE,GH,AC,在AED中,ED2=AE2+AD2,可得ADAE.又DC=ED2+CE2=25,AC=22,可得AC2+AD2=CD2,可得ADAC.因?yàn)锳EAC=A,所以AD平面ABCE,所以ADBE.又G,H分別為DB,DE的中點(diǎn),所以GHBE,所以GHDA.(2)解 設(shè)三棱錐C-DBE的體積為V,則V=13SBCEAD=13122223=433.8.(1)證明 如圖,取AB的中點(diǎn)E,連接DE,SE,則四邊形BCDE為矩形,DE=CB=2,AD=DE2+AE2=5.側(cè)面SAB為等邊三角形,AB=2,SA=SB=AB=2,且SE=3.又SD=1,SA2+SD2=AD2,SB2+SD2=BD2,SDSA,SDSB.SASB=S,SD平面SAB.(2)解 設(shè)四棱錐S-ABCD的高為h,則h也是三棱錐S-ABD的高.由(1)知,SD平面SAB,由VS-ABD=VD-SAB,得13SABDh=13SSABSD.又SABD=12ABDE=1222=2,SSAB=34AB2=3422=3,SD=1,所以h=SSABSDSABD=312=32.故四棱錐S-ABCD的高為32.