3.三角函數(shù)、解三角形、平面向量1終邊與終邊相同(的終邊在終邊所在的射線上)2k(kZ)，注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等任意角的三角函數(shù)的定義：設(shè)是任意一個(gè)角，P(x，y)是的終邊上的任意一點(diǎn)(異于原點(diǎn))，它與原點(diǎn)的距離是r>0，那么sin ，cos ，tan (x0)，三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，而與終邊上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)問(wèn)題1已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，4)，則sin cos 的值為_(kāi)答案2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式(1)平方關(guān)系：sin2cos21.(2)商數(shù)關(guān)系：tan .(3)誘導(dǎo)公式記憶口訣：奇變偶不變、符號(hào)看象限角2正弦sin sin sin sin cos 余弦cos cos cos cos sin 問(wèn)題2cos tansin 21的值為_(kāi)答案3正弦、余弦和正切函數(shù)的常用性質(zhì)函數(shù)ysin xycos xytan x圖象定義域RRx|xk，kZ值域y|1y1y|1y1R單調(diào)性在 ，kZ上遞增；在，kZ上遞減在(2k1)，2k，kZ上遞增；在2k，(2k1)，kZ上遞減在，kZ上遞增最值x2k(kZ)時(shí)，ymax1；x2k(kZ)時(shí)，ymin1 x2k(kZ)時(shí)，ymax1；x2k(kZ)時(shí)，ymin1無(wú)最值奇偶性奇偶奇對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)中心：(k，0)，kZ對(duì)稱(chēng)中心： ，kZ對(duì)稱(chēng)中心： ，kZ對(duì)稱(chēng)軸：xk，kZ對(duì)稱(chēng)軸：xk，kZ無(wú)周期性22問(wèn)題3函數(shù)ysin的單調(diào)減區(qū)間是_答案(kZ)4三角函數(shù)化簡(jiǎn)與求值的常用技巧解答三角變換類(lèi)問(wèn)題要靈活地正用、逆用，變形運(yùn)用和、差、倍角公式和誘導(dǎo)公式，進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值常用到切化弦、降冪、拆角拼角等技巧如：()，2()()，()()()，.問(wèn)題4已知，sin()，sin，則cos_.答案5解三角形(1)正弦定理：2R(R為三角形外接圓的半徑)注意：正弦定理的一些變式：()abcsin Asin Bsin C；()sin A，sin B，sin C；()a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；()2R.已知三角形兩邊及一對(duì)角，求解三角形時(shí)，若運(yùn)用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解，要結(jié)合具體情況進(jìn)行取舍在ABC中，A>Bsin A>sin B.(2)余弦定理：a2b2c22bccos A，cos A等，常選用余弦定理判定三角形的形狀問(wèn)題5在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，a，b，A60，則B_.答案456求三角函數(shù)最值的常見(jiàn)類(lèi)型、方法(1)yasin xb(或acos xb)型，利用三角函數(shù)的值域，須注意對(duì)字母a的討論(2)yasin xbsin x型，借助輔助角公式化成ysin(x)的形式，再利用三角函數(shù)有界性解決(3)yasin2xbsin xc型，配方后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，應(yīng)注意|sin x|1的約束(4)y型，反解出sin x，化歸為|sin x|1解決(5)y型，化歸為Asin xBcos xC型或用數(shù)形結(jié)合法(常用到直線斜率的幾何意義)求解(6)ya(sin xcos x)bsin xcos xc型，常令tsin xcos x，換元后求解(|t|)問(wèn)題6函數(shù)ysin2xsin x1的值域?yàn)開(kāi)答案解析y2，又sin x1,1，當(dāng)sin x時(shí)，ymin；當(dāng)sin x1時(shí)，ymax1.函數(shù)的值域?yàn)?7向量的平行與平面向量的數(shù)量積(1)向量平行(共線)的充要條件：ab(b0)ab(ab)2(|a|b|)2x1y2y1x20.(2)ab|a|b|cos ，變形：|a|2a2aa，cos .注意：a，b為銳角ab>0且a，b不同向；a，b為鈍角ab<0且a，b不反向問(wèn)題7如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，則的值是_答案22解析由題意，所以22，即22564，解得22.8向量中常用的結(jié)論(1) (，為實(shí)數(shù))，若1，則三點(diǎn)A，B，C共線反之也成立(2)在ABC中，若D是BC邊的中點(diǎn)，則()(3)已知O，N，P在ABC所在平面內(nèi)若|，則O為ABC的外心；若0，則N為ABC的重心；若，則P為ABC的垂心問(wèn)題8在ABC中，D是邊AB的中點(diǎn)，E是邊AC的中點(diǎn)，CD與BE交于點(diǎn)F，設(shè)a，b，xayb，則x，y的值分別為_(kāi)答案，解析由題意知，點(diǎn)F為ABC的重心，如圖，設(shè)H為BC的中點(diǎn)，則()ab，所以x，y.易錯(cuò)點(diǎn)1忽視角的范圍例1已知方程x24ax3a10(a為大于1的常數(shù))的兩根為tan ，tan ，且，則tan 的值是_易錯(cuò)分析本題易忽略隱含條件tan ，tan 是方程x24ax3a10的兩個(gè)負(fù)根，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤解析a>1，tan tan 4a<0，tan tan 3a1>0，tan ，tan 是方程x24ax3a10的兩個(gè)負(fù)根又，即.由tan()，可得tan 2.答案2易錯(cuò)點(diǎn)2圖象變換方向或 變換量把握不準(zhǔn)例2已知函數(shù)f(x)sin，為了得到函數(shù)g(x)cos 2x的圖象，只要將yf(x)的圖象向_平移_個(gè)單位長(zhǎng)度易錯(cuò)分析(1)沒(méi)有將f(x)，g(x)化為同名函數(shù)；(2)平移時(shí)看2x變成了什么，而沒(méi)有認(rèn)識(shí)到平移過(guò)程只是對(duì)“x”而言解析g(x)sinsin，yf(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到y(tǒng)g(x)的圖象答案左易錯(cuò)點(diǎn)3三角函數(shù)單調(diào)性理解不透例3求函數(shù)y3sin的單調(diào)區(qū)間易錯(cuò)分析對(duì)形如yAsin(x)或yAcos(x)的函數(shù)，如果<0，要求其單調(diào)區(qū)間，必須先提出負(fù)號(hào)，然后去求解，否則單調(diào)區(qū)間正好相反解y3sin3sin.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，kZ.同理，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，kZ.易錯(cuò)點(diǎn)4解三角形時(shí)漏解或增解例4在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a1，c.(1)若角C，則角A_；(2)若角A，則b_.易錯(cuò)分析在用正弦定理解三角形時(shí)，易出現(xiàn)漏解或多解的錯(cuò)誤，如第(1)問(wèn)中沒(méi)有考慮c邊比a邊大，在求得sin A后，得出角A或；在第(2)問(wèn)中沒(méi)有考慮角C有兩解，由sin C，只得出角C，所以角B，解得b2，這樣就出現(xiàn)漏解的錯(cuò)誤解析(1)由正弦定理，得sin A，又a<c，所以A<C.所以A.(2)由正弦定理，得sin C，得C或，當(dāng)C時(shí)，B，可得b2；當(dāng)C時(shí)，B，此時(shí)得b1.答案(1)(2)2或1易錯(cuò)點(diǎn)5忽視題目中的制約條件例5已知函數(shù)f(x)2cos2xsin，若在ABC中，滿足f(A)，bc2，求邊長(zhǎng)a的取值范圍易錯(cuò)分析本題中有兩點(diǎn)易錯(cuò)：確定角A時(shí)忽視范圍；求邊長(zhǎng)a的取值范圍時(shí)，忽視三角形中兩邊之和大于第三邊的條件解f(x)2cos2xsin1cos 2xsin 2xcos 2x1sin1.由題意，f(A)sin1，化簡(jiǎn)得sin.因?yàn)锳(0，)，所以2A，所以2A，所以A.在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccos (bc)23bc.由bc2知，bc21，即a21，當(dāng)且僅當(dāng)bc1時(shí)取等號(hào)又由bc>a，得a<2，所以a的取值范圍是1,2)易錯(cuò)點(diǎn)6忽視向量共線例6已知a(2,1)，b(，1)，R，a與b的夾角為.若為銳角，則的取值范圍是_易錯(cuò)分析誤認(rèn)為為銳角cos >0，沒(méi)有排除0，即兩向量同向的情況解析由為銳角，可得的取值范圍是.答案1已知點(diǎn)P落在角的終邊上，且0,2)，則的值為_(kāi)答案解析tan 1，又sin >0，cos <0，所以為第四象限角且0,2)，所以.2已知tan3，則sin cos 3cos2的值為_(kāi)答案2解析由題意得tan3，解得tan .sin cos 3cos22.3已知R，sin 2cos ，則tan _.答案3或解析因?yàn)閟in 2cos ，所以sin24sin cos 4cos2，所以3cos24sin cos ，所以，即，即3tan28tan 30，解得tan 3或tan .4已知函數(shù)f(x)3sin(>0)和g(x)2cos(2x)1的圖象的對(duì)稱(chēng)軸完全相同若x，則f(x)的取值范圍是_答案解析由對(duì)稱(chēng)軸完全相同知，兩函數(shù)周期相同，2，f(x)3sin.由x，得2x，f(x)3.5在斜ABC中，若tan C0，則tan C的最大值是_答案2解析在斜ABC中，ABC，C(AB)，tan Ctan(AB)tan(AB)，又tan C0，tan C，tan Atan B1tan Atan B，tan Atan B，tan Atan B>0，tan A與tan B同號(hào)，又在ABC中，tan A>0，tan B>0，tan C2(tan Atan B)22222，當(dāng)且僅當(dāng)tan Atan B時(shí)“”成立，tan C的最大值為2.6(2018蘇州模擬)已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|，(ab)c，則a，c的夾角大小為_(kāi)答案120解析設(shè)a與c的夾角為，a(1,2)，b(2，4)，則b2a，(ab)cac，ac，cos ，0180，120.7已知f1(x)sincos x，f2(x)sin xsin(x)，若設(shè)f(x)f1(x)f2(x)，則f(x)的單調(diào)增區(qū)間是_答案(kZ)解析由題意知，f1(x)cos2x，f2(x)sin2x，f(x)sin2xcos2xcos 2x，令2x2k，2k(kZ)，得x(kZ)，故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(kZ)8在ABC中，B60，AC，則AB2BC的最大值為_(kāi)答案2解析由正弦定理知，AB2sin C，BC2sin A.又AC120，AB2BC2sin C4sin(120C)2(sin C2sin 120cos C2cos 120sin C)2(sin Ccos Csin C)2(2sin Ccos C)2sin(C)，其中tan ，是第一象限角，由于0<C<120，且是第一象限角，因此AB2BC有最大值2.9已知tan()1，tan()2，則的值為_(kāi)答案1解析tan()1，tan()2，分式同除以cos()cos()，1.10在平行四邊形ABCD中，BAD60，AB1，AD，P為平行四邊形內(nèi)一點(diǎn)，且AP，若(，R)，則的最大值為_(kāi)答案1解析，|2()2，即22|22|22.又AB1，AD，BAD60，|cos 60，232，()22，()21，的最大值為1，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)11已知函數(shù)f(x)sin xcos xcos2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)當(dāng)x時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域；(3)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求g(x)的解析式解f(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin.(1)所以最小正周期T.(2)當(dāng)x時(shí)，2x，sin，所以f(x)的值域?yàn)?(3)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到g(x)sinsin 2x.12在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知bsin Aacos B.(1)求角B的值；(2)若cos Asin C，求角A的值解(1)因?yàn)?，所以bsin Aasin B，又bsin Aacos B，所以acos Basin B，即tan B，因?yàn)锽(0，)，所以B.(2)因?yàn)閏os Asin C，所以cos Asin，cos Acos2Asin Acos Asin 2Acos 2Asin 2Asin，所以sin，因?yàn)锽，所以0<A<，所以2A，所以2A，A.