第9講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)1.對數(shù)概念如果ax=N(a>0,且a1),那么x叫作以a為底N的,記作x=logaN,其中a叫作對數(shù)的底數(shù),N叫作真數(shù),logaN叫作對數(shù)式性質(zhì)底數(shù)的限制:a>0,且a1對數(shù)式與指數(shù)式的互化:ax=N負數(shù)和零沒有l(wèi)oga1=logaa=1對數(shù)恒等式:alogaN=運算法則loga(MN)=a>0,且a1,M>0,N>0logaMN=logaMn=(nR)換底公式換底公式:logab=logcblogca(a>0,且a1,c>0,且c1,b>0)推論:logambn=,logab=1logba2.對數(shù)函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)概念函數(shù)y=logax(a>0,a1)叫作函數(shù)底數(shù)a>10<a<1圖像定義域(續(xù)表)值域性質(zhì)過定點,即x=1時,y=0在區(qū)間(0,+)上是函數(shù)在區(qū)間(0,+)上是函數(shù)3.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a1)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們的圖像關(guān)于直線對稱.常用結(jié)論1.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱.2.只有在定義域上單調(diào)的函數(shù)才存在反函數(shù). 題組一常識題1.教材改編 化簡logablogbclogca的結(jié)果是.2.教材改編 函數(shù)f(x)=log2(2-x)的定義域是.3.教材改編 若函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=2x的反函數(shù),則f(2)=.4.教材改編 函數(shù)y=log12(x2-4x+5)的單調(diào)遞增區(qū)間是.題組二常錯題索引:對數(shù)的性質(zhì)及其運算掌握不到位;忽略真數(shù)大于零致錯;不能充分運用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì);忽略對底數(shù)的討論致誤.5.有下列結(jié)論:lg(lg 10)=0;lg(ln e)=0;若lg x=1,則x=10;若log22=x,則x=1;若logmnlog3m=2,則n=9.其中正確結(jié)論的序號是.6.已知lg x+lg y=2lg(x-2y),則xy=.7.設(shè)a=14,b=log985,c=log83,則a,b,c的大小關(guān)系是.8.若函數(shù)y=logax(a>0,a1)在2,4上的最大值與最小值的差是1,則a=.探究點一對數(shù)式的化簡與求值例1 (1)2018宿州質(zhì)檢 已知m>0,n>0,log2(3m)+log2n=log2(2m2+n),則log2m-log4n的值為()A.-1B.1C.-1或0D.1或0(2)設(shè)2x=5y=m,且1x+1y=2,則m=.總結(jié)反思 (1)對數(shù)運算法則是在化為同底的情況下進行的,因此經(jīng)常會用到換底公式及其推論.在對含有字母的對數(shù)式進行化簡時,必須保證恒等變形.(2)利用對數(shù)運算法則,在真數(shù)的積、商、冪與對數(shù)的和、差、倍之間進行轉(zhuǎn)化.變式題 (1)2018昆明一中模擬 設(shè)x,y為正數(shù),且3x=4y,當3x=py時,p的值為()A.log34B.log43C.6log32D.log32(2)計算:lg 32+log416+6lg12-lg 5=.探究點二對數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用例2 (1)函數(shù)f(x)=loga|x|+1(0<a<1)的圖像大致是() A B C D圖2-9-1(2)2018濮陽二模 設(shè)x1,x2,x3均為實數(shù),且12x1=log2(x1+1),12x2=log3x2,12x3=log2x3,則()A.x1<x3<x2B.x3<x2<x1C.x3<x1<x2D.x2<x1<x3 總結(jié)反思 (1)在研究對數(shù)函數(shù)圖像時一定要注意其定義域,注意根據(jù)基本的對數(shù)函數(shù)圖像作出經(jīng)過平移、對稱變換得到的函數(shù)的圖像.(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖像問題,利用數(shù)形結(jié)合法求解.變式題 (1)函數(shù)f(x)=ln(|x|-1)的大致圖像是() A B C D圖2-9-2(2)若函數(shù)f(x)=log2(x+1),且a>b>c>0,則f(a)a,f(b)b,f(c)c的大小關(guān)系是()A.f(a)a>f(b)b>f(c)cB.f(c)c>f(b)b>f(a)aC.f(b)b>f(a)a>f(c)cD.f(a)a>f(c)c>f(b)b探究點三解決與對數(shù)函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題微點1比較大小例3 (1)2018武漢4月調(diào)研 若實數(shù)a,b滿足a>b>1,m=loga(logab),n=(logab)2,l=logab2,則m,n,l的大小關(guān)系為()A.m>l>nB.l>n>mC.n>l>mD.l>m>n(2)2018長沙雅禮中學期末 已知a=ln12,b=log1312,則()A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0C.a+b<0<abD.ab<0<a+b總結(jié)反思 比較對數(shù)式的大小,一是將對數(shù)式轉(zhuǎn)化為同底的形式,再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較,二是采用中間值0或1等進行比較,三是將對數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式,再將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式,通過巡回轉(zhuǎn)化進行比較.微點2解簡單對數(shù)不等式例4 (1)2018成都七中二診 若實數(shù)a滿足loga23>1>log34a,則a的取值范圍是()A.23,1B.23,34C.34,1D.0,23(2)已知實數(shù)a>0,且滿足不等式33a+2>34a+1,則不等式loga(3x+2)<loga(8-5x)的解集為.總結(jié)反思 對于形如logaf(x)>b的不等式,一般轉(zhuǎn)化為logaf(x)>logaab,再根據(jù)底數(shù)的范圍轉(zhuǎn)化為f(x)>ab或0<f(x)<ab.而對于形如logaf(x)>logbg(x)的不等式,一般要轉(zhuǎn)化為同底的不等式來解.微點3對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題例5 (1)2018丹東二模 若函數(shù)f(x)=logax,x>3,log1ax+2,0<x3存在最小值,則a的取值范圍為()A.(1,+)B.3,+)C.(1,3D.(1,3 (2)已知f(x)=log12(x2-ax+3a)在區(qū)間2,+)上為減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是.總結(jié)反思 利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域、最值和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題,必須弄清三方面的問題:一是定義域,所有問題都必須在定義域內(nèi)討論;二是底數(shù)與1的大小關(guān)系;三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成,即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.另外,解題時要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的使用.應(yīng)用演練1.【微點3】若函數(shù)f(x)=a+log2x在區(qū)間1,a上的最大值為6,則a=()A.2B.4C.6D.82.【微點1】2018銀川一中四模 設(shè)a=0.50.4,b=log0.40.3,c=log80.4,則a,b,c的大小關(guān)系是()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a3.【微點2】已知函數(shù)f(x)在區(qū)間-2,2上單調(diào)遞增,若f(log2m)<flog4(m+2)成立,則實數(shù)m的取值范圍是()A.14,2B.14,1C.(1,4D.2,44.【微點3】函數(shù)f(x)=log2(-x2+2x)的單調(diào)遞減區(qū)間是.5.【微點3】已知函數(shù)f(x)=ln(1+x2-x)+2,則f(lg 3)+flg13=.第9講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)考試說明 1.理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì),知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù);了解對數(shù)在簡化運算中的作用.2.對數(shù)函數(shù)(1)理解對數(shù)函數(shù)的概念,理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,掌握對數(shù)函數(shù)圖像通過的特殊點;(2)知道對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型;(3)了解指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a1)與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a1)互為反函數(shù).【課前雙基鞏固】知識聚焦1.對數(shù)x=logaN對數(shù)0NlogaM+logaNlogaM-logaNnlogaMnmlogab2.對數(shù)(0,+)R(1,0)增減3.y=logax(a>0,且a1)y=x對點演練1.1解析 利用對數(shù)的換底公式可得結(jié)果為1.2.(-,2)解析 由2-x>0,解得x<2,即函數(shù)f(x)的定義域為(-,2).3.1解析 函數(shù)f(x)=log2x,所以f(2)=1.4.(-,2)解析 因為0<12<1,所以y=log12x單調(diào)遞減,而函數(shù)y=x2-4x+5>0恒成立,且單調(diào)遞減區(qū)間為(-,2),所以函數(shù)y=log12(x2-4x+5)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-,2).5.解析 lg 10=1,則lg(lg 10)=lg 1=0;lg(ln e)=lg 1=0;底的對數(shù)等于1,則x=10;底的對數(shù)等于1;logmn=lgnlgm,log3m=lgmlg3,則lgnlg3=2,即log3n=2,故n=9.6.4解析 因為lg x+lg y=2lg(x-2y),所以xy=(x-2y)2,即x2-5xy+4y2=0,解得x=y或x=4y.由已知得x>0,y>0,x-2y>0,所以x=y不符合題意,當x=4y時,得xy=4.7.c>a>b解析 a=14=log949=log93<log83=c,a=log93>log985=b,所以c>a>b.8.2或12解析 分兩種情況討論:(1)當a>1時,有l(wèi)oga4-loga2=1,解得a=2;(2)當0<a<1時,有l(wèi)oga2-loga4=1,解得a=12.所以a=2或12.【課堂考點探究】例1思路點撥 (1)先化為同底的對數(shù),根據(jù)對數(shù)的運算法則得出m,n之間的關(guān)系,再代入求值.(2)先反解x,y,再代入1x+1y=2,即可得m的值.(1)C(2)10解析 (1)因為log2(3m)+log2n=log2(9m2)+log2n=log2(9m2n),log2(2m2+n)=log2(2m2+n)2,所以9m2n=(2m2+n)2,即4m4-5m2n+n2=0,解得4m2=n或m2=n,所以log2m-log4n=log2m-log2n=log2m2n=-1或0.(2)由2x=5y=m,得x=log2m,y=log5m,再由1x+1y=2,得1log2m+1log5m=2,即logm2+logm5=2,所以logm10=2,所以m=10. 變式題(1)C(2)1解析 (1)令3x=4y=t,則x=log3t,y=log4t,由3x=py,得p=3log3tlog4t=3logt4logt3=3log34=6log32,故選C.(2)lg 32+log416+6lg12-lg 5=lg 25+log442-6lg 2-lg 5=2-lg 2-lg 5=2-lg 10=1.例2思路點撥 (1)由f(x)的性質(zhì)及其圖像過點(1,1),(-1,1)得到答案;(2)在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)y=12x與y=log2(x+1),y=log3x,y=log2x的圖像,根據(jù)圖像得到交點,分析交點的橫坐標進行大小比較.(2)在同一坐標系內(nèi)畫出函數(shù)y=12x與y=log2(x+1),y=log3x,y=log2x的圖像,根據(jù)圖像得到交點,比較交點的橫坐標的大小即可.(1)A(2)A解析 (1)由于函數(shù)f(x)=loga|x|+1(0<a<1)是偶函數(shù),所以其圖像關(guān)于y軸對稱.當x>0時,f(x)=loga|x|+1(0<a<1)是減函數(shù);當x<0時,f(x)=loga|x|+1(0<a<1)是增函數(shù).再由f(x)的圖像過點(1,1),(-1,1),可知應(yīng)選A.(2)x1,x2,x3分別是函數(shù)y=12x與y=log2(x+1),y=log3x,y=log2x圖像的交點的橫坐標,作出函數(shù)y=12x,y=log2(x+1),y=log3x,y=log2x的大致圖像如圖所示,由圖可得x1<x3<x2,故選A.變式題(1)B(2)B解析 (1)函數(shù)f(x)=ln(|x|-1)的定義域為x|x>1或x<-1,且f(x)是偶函數(shù),故排除C,D;當x>1時,函數(shù)f(x)=ln(x-1)是增函數(shù),故排除A.故選B.(2)由題意可得,f(a)a,f(b)b,f(c)c可分別看作函數(shù)f(x)=log2(x+1)圖像上的點(a,f(a),(b,f(b),(c,f(c)與原點連線的斜率,結(jié)合圖像(圖略)可知,當a>b>c>0時,f(c)c>f(b)b>f(a)a.故選B.例3思路點撥 (1)推導(dǎo)出0=loga1<logab<logaa=1,由此利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較m,n,l的大小;(2)先分析出ab<0,a+b<0,再利用作差法比較ab和a+b的大小關(guān)系得解.(1)B(2)B解析 (1)實數(shù)a,b滿足a>b>1,m=loga(logab),n=(logab)2,l=logab2,0=loga1<logab<logaa=1,m=loga(logab)<loga1=0,0<n=(logab)2<1,l=logab2=2logab>n=(logab)2,l>n>m.故選B.(2)由題得a=ln12<ln 1=0,b=log1312>log131=0,所以ab<0.又a+b=ln12+log1312=-ln 2+ln2ln3=ln 21ln3-1=ln 21-ln3ln3<0, 則ab-(a+b)=ab-a-b=ln12log1312-ln12-log1312=-ln 2ln2ln3+ln 2-ln2ln3=ln 2-ln2ln3+1-1ln3=ln 2ln3-ln2-1ln3=ln 2ln32eln3<0,所以ab<a+b<0.例4思路點撥 (1)分別求解不等式loga23>1與log34a<1,其交集即為不等式的解集;(2)先根據(jù)指數(shù)不等式確定a的范圍,然后根據(jù)同底的對數(shù)不等式求解,并注意真數(shù)的取值.(1)C(2)34,85解析 (1)根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),由loga23>1,可得23<a<1;由log34a<1,得a>34.綜上可得34<a<1,a的取值范圍是34,1,故選C.(2)由題意得3a+2>4a+1,0<a<1,3x+2>8-5x,3x+2>0,8-5x>0,解得x34,85.例5思路點撥 (1)由分段函數(shù)在兩段上的單調(diào)性,結(jié)合f(x)存在最小值,列不等式求解即可;(2)令t=x2-ax+3a,則由題意可得函數(shù)t=x2-ax+3a在區(qū)間2,+)上為增函數(shù),且當x=2時,t>0,從而得解.(1)C(2)-4<a4解析 (1)由題意可知a>1,否則函數(shù)無最小值,所以當x>3時,f(x)>loga3,當0<x3時,f(x)=log1ax+2單調(diào)遞減,且滿足f(x)f(3)=log1a3+2,所以loga3log1a3+2,即loga31,得1<a3.故選C.(2)令t=x2-ax+3a,則由函數(shù)g(t)=log12t在區(qū)間2,+)上為減函數(shù),可得函數(shù)t=x2-ax+3a在區(qū)間2,+)上為增函數(shù),且當x=2時,t>0,故有a22,4-2a+3a>0,解得-4<a4.應(yīng)用演練1.B解析 由題得函數(shù)f(x)=a+log2x在區(qū)間1,a上是增函數(shù),所以當x=a時,函數(shù)取得最大值6,即a+log2a=6,解得a=4.故選B.2.C解析 0<a=0.50.4<0.50=1,b=log0.40.3>log0.40.4=1,c=log80.4<log81=0,c<a<b.3.A解析 不等式即為f(log4m2)<flog4(m+2),函數(shù)f(x)在區(qū)間-2,2上單調(diào)遞增,log4m2<log4(m+2),-2log2m2,-2log4(m+2)2,即m2<m+2,14m4,116m+216,解得14m<2,實數(shù)m的取值范圍是14,2.故選A.4.(1,2)解析 由-x2+2x>0,可得x2-2x<0,解得0<x<2,函數(shù)f(x)=log2(-x2+2x)的定義域為(0,2).又y=log2x在(0,+)上單調(diào)遞增,y=-x2+2x(0<x<2)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,2)上單調(diào)遞減,函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,2)上單調(diào)遞減,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,2).5.4解析 設(shè)g(x)=ln(1+x2-x),顯然有g(shù)(-x)=-g(x),即g(x)為奇函數(shù),則g(-x)+g(x)=0,所以f(lg 3)+flg13=f(lg 3)+f(-lg 3)=g(lg 3)+2+g(-lg 3)+2=4.【備選理由】 例1主要考查對數(shù)的運算、對數(shù)函數(shù)圖像的變換;例2考查比較對數(shù)式的大小;例3主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì);例4為對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題.例1配合例2使用 為了得到函數(shù)y=lg x的圖像,只需將函數(shù)y=lg(10x)圖像上()A.所有點的縱坐標伸長到原來的10倍,橫坐標不變B.所有點的橫坐標縮短到原來的110,縱坐標不變C.所有點沿y軸向上平移一個單位長度D.所有點沿y軸向下平移一個單位長度解析 Dy=lg(10x)=1+lg x,將y=1+lg x圖像上所有點沿y軸向下平移一個單位長度,就得到函數(shù)y=lg x的圖像,故選D.例2配合例3使用 2018柳州三模 已知a=18118,b=log20172018,c=log20182017,則a,b,c的大小關(guān)系為()A.c>b>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c解析 Da=18118>180=1,b=log20172018=12log20172018,log20172018(1,2),b12,1.c=log20182017=12log20182017,log20182017(0,1),c0,12,a>b>c.例3配合例5使用 已知函數(shù)f(x)=lg5x+45x+m的值域是R,則m的取值范圍是()A.(-4,+)B.-4,+)C.(-,4)D.(-,-4解析 D令t=5x+45x+m,因為f(x)的值域為R,所以t可取(0,+)內(nèi)的每一個正數(shù),所以4+m0,故m-4,故選D.例4配合例5使用 已知函數(shù)f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x)(其中a>0,且a1).(1)求函數(shù)f(x)+g(x)的定義域;(2)判斷函數(shù)f(x)-g(x)的奇偶性,并予以證明;(3)求使f(x)+g(x)<0成立的x的取值集合.解:(1)由題意得x+1>0,1-x>0,-1<x<1,所求定義域為x|-1<x<1.(2)函數(shù)f(x)-g(x)為奇函數(shù).證明如下:令h(x)=f(x)-g(x),則h(x)=loga(x+1)-loga(1-x)=logax+11-x,則h(-x)=loga-x+11+x=-logax+11-x=-h(x), 函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)為奇函數(shù).(3)f(x)+g(x)=loga(x+1)+loga(1-x)=loga(1-x2)<0=loga1,當a>1時,0<1-x2<1,即0<x<1或-1<x<0;當0<a<1時,1-x2>1,不等式無解.綜上,當a>1時,使f(x)+g(x)<0成立的x的取值集合為x|0<x<1或-1<x<0.