第一章 常用邏輯用語 章末檢測試卷(一) (時間：120分鐘　滿分：150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分) 1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，則“a＝3”是“A?B”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 考點(diǎn)　充分條件的概念及判斷 題點(diǎn)　充分條件的判斷 答案　A 解析　當(dāng)a＝3時，A＝{1,3}，A?B；當(dāng)A?B時，a＝2或3. 所以“a＝3”是“A?B”的充分不必要條件． 2．下列命題中為假命題的是(　　) A．空間中過直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線與該直線垂直 B．僅存在一個實(shí)數(shù)b2，使得－9，b1，b2，b3，－1成等比數(shù)列 C．存在實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝2，使得3a＋3b的最小值是6 D．?a∈(－4,0]，使得ax2＋ax－1＜0恒成立 答案　A 解析　空間中過直線外一點(diǎn)有無數(shù)條直線與該直線垂直，因此A為假命題． 3．已知α，β是不同的兩個平面，直線a?α，直線b?β.命題p：a與b無公共點(diǎn)，命題q：α∥β，則p是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 考點(diǎn)　充分、必要條件的概念及判斷 題點(diǎn)　必要不充分條件的判斷 答案　B 解析　若平面α與β相交，設(shè)交線為c. 若a∥c，b∥c，則a∥b，此時a與b無公共點(diǎn)，所以p?q. 若α∥β，則a與b的位置關(guān)系是平行或異面，a與b無公共點(diǎn)，所以q?p. 由此可知p是q的必要不充分條件．故選B. 4. “k=2且b=-1”是“直線y=kx+b過點(diǎn)（1，1）”的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案　A 5．命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　) A．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2 B．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2 C．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2 D．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2 答案　D 解析　由全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題得，命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是“?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2”． 6．設(shè)x∈Z，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集．若命題p：?x∈A,2x∈B，則(　　) A．綈p：?x∈A,2x?B B．綈p：?x?A,2x?B C．綈p：?x0?A,2x0∈B D．綈p：?x0∈A,2x0?B 考點(diǎn)　全稱量詞的否定 題點(diǎn)　含全稱量詞的命題的否定 答案　D 解析　命題p：?x∈A,2x∈B是一個全稱命題，其命題的否定綈p應(yīng)為?x0∈A,2x0?B.故選D. 7．有以下四種說法，其中正確說法的個數(shù)為(　　) ①“m是實(shí)數(shù)”是“m是有理數(shù)”的充分不必要條件； ②“a＞b＞0”是“a2＞b2”的充要條件； ③“x＝3”是“x2－2x－3＝0”的必要不充分條件； ④“A∩B＝B”是“A＝?”的必要不充分條件． A．0 B．1 C．2 D．3 答案　A 8．若命題“?x∈(1，＋∞)，x2－(2＋a)x＋2＋a≥0”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2] B．(－∞，2] C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 9．設(shè)a，b都是不等于1的正數(shù)，則“3a>3b>3”是“l(fā)oga3<logb3”的(　　) A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 考點(diǎn)　充分、必要條件的概念及判斷 題點(diǎn)　充分不必要條件的判斷 答案　B 解析　∵3a>3b>3，∴a>b>1，此時loga3<logb3正確；反之，若loga3<logb3，則不一定得到3a>3b>3，例如當(dāng)a＝，b＝時，loga3<logb3成立，但推不出a>b>1.故“3a>3b>3”是“l(fā)oga3<logb3”的充分不必要條件． 10．設(shè)α，β是兩個不同的平面，m是直線且m?α.“m∥β”是“α∥β”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 考點(diǎn)　必要、充分條件的概念及判斷 題點(diǎn)　必要不充分條件的判斷 答案　B 解析　m?α，m∥β? α∥β，但m?α，α∥β?m∥β， ∴“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分條件． 11．記實(shí)數(shù)x1，x2，…，xn中的最大數(shù)為max{x1，x2，…，xn}，最小數(shù)為min{x1，x2，…，xn}．已知△ABC的三邊邊長分別為a，b，c(a≤b≤c)，定義它的傾斜度為l＝maxmin，則“l(fā)＝1”是“△ABC為等邊三角形”的(　　) A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 12．已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋b，則“1<a<2”是“f(1)<f(3)”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 考點(diǎn)　充分、必要條件的概念及判斷 題點(diǎn)　充分不必要條件的判斷 答案　A 解析　函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為直線x＝a，若1<a<2，則0<a－1<1,1<3－a<2，即橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)到對稱軸的距離大于橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到對稱軸的距離，則f(1)<f(3)．若a＝0，則函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上為增函數(shù)，滿足f(1)<f(3)，但1<a<2不成立．所以“1<a<2”是“f(1)<f(3)”的充分不必要條件． 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13．若“?x∈，tan x≤m”是真命題，則實(shí)數(shù)m的最小值為________． 考點(diǎn)　全稱命題的真假性判斷 題點(diǎn)　恒成立求參數(shù)的取值范圍 答案　 解析　由已知可得m≥tan x恒成立． 設(shè)f(x)＝tan x，顯然該函數(shù)為增函數(shù)， 故f(x)的最大值為f＝tan＝， 由不等式恒成立可得m≥ ，即實(shí)數(shù)m的最小值為. 14．若命題“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 考點(diǎn)　全稱命題的真假性判斷 題點(diǎn)　恒成立求參數(shù)的取值范圍 答案　[－3,0] 解析　由題意，可得ax2－2ax－3≤0恒成立． 當(dāng)a＝0時，－3≤0，成立； 當(dāng)a≠0時，得 解得－3≤a＜0. 故－3≤a≤0. 15．已知命題p：(x－3)(x＋1)>0，命題q：x2－2x＋1－m2>0(m>0)，若命題p是命題q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 考點(diǎn)　充分不必要條件的概念及判斷 題點(diǎn)　由充分不必要條件求參數(shù)的取值范圍 答案　(0,2] 解析　p：(x－3)(x＋1)>0等價于x<－1或x>3，q：x2－2x＋1－m2>0?x<－m＋1或x>m＋1，它們的取值范圍分別用集合A，B表示，由題意知AB， ∴其中等號不能同時成立， ∴m≤2，又m>0，∴0<m≤2. 16．設(shè)p：方程x2＋2mx＋1＝0有兩個不相等的正根，q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0無實(shí)根，則使p與q一真一假的實(shí)數(shù)m的取值范圍是________________． 答案　(－∞，－2]∪[－1,3) 解析　由題意知，p，q一真一假． 若方程x2＋2mx＋1＝0有兩個不相等的正根， 則 ∴m＜－1. 若方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0無實(shí)根， 則Δ＝4(m－2)2－4(－3m＋10)＜0， ∴－2＜m＜3. 綜上可知，若p真q假，則m≤－2； 若p假q真，則－1≤m＜3. 故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，－2]∪[－1,3)． 三、解答題(本大題共6小題，共70分) 17．(10分)判斷下列命題的真假，并寫出它們的否定． (1)?α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β； (2)?x0，y0∈Z,3x0－4y0＝20； (3)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，有些一元二次方程無解． 考點(diǎn)　“非”的概念 題點(diǎn)　寫出命題p的否定綈p 解　(1)假命題，否定為?α0，β0∈R，sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0； (2)真命題，否定為?x，y∈Z,3x－4y≠20； (3)真命題，否定為在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，所有的一元二次方程都有解． 18．(12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝(n＋1)2＋c，n≥1，n∈N*，探究{an}是等差數(shù)列的充要條件． 解　當(dāng){an}是等差數(shù)列時， ∵Sn＝(n＋1)2＋c， ∴當(dāng)n≥2時，Sn－1＝n2＋c， ∴an＝Sn－Sn－1＝2n＋1， ∴an＋1－an＝2為常數(shù)． 又a1＝S1＝4＋c， ∴a2－a1＝5－(4＋c)＝1－c＝2， ∴c＝－1. 反之，當(dāng)c＝－1時，Sn＝n2＋2n，可得an＝2n＋1(n≥1，n∈N)*， 故{an}為等差數(shù)列， ∴{an}為等差數(shù)列的充要條件是c＝－1. 19．(12分)已知p：x∈[－2,2]，關(guān)于x的不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，若p是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　設(shè)f(x)＝x2＋ax＋3－a，則當(dāng)x∈[－2,2]時， f(x)min≥0. ①當(dāng)－＜－2，即a＞4時， f(x)在[－2,2]上單調(diào)遞增， f(x)min＝f(－2)＝7－3a≥0， 解得a≤， 又因?yàn)閍＞4，所以a不存在． ②當(dāng)－2≤－≤2，即－4≤a≤4時， f(x)min＝f＝≥0， 解得－6≤a≤2， 又因?yàn)椋?≤a≤4，所以－4≤a≤2. ③當(dāng)－＞2，即a＜－4時， f(x)在[－2,2]上單調(diào)遞減， f(x)min＝f(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7， 又因?yàn)閍＜－4，所以－7≤a＜－4. 綜上所述，a的取值范圍是[－7,2]． 20．(12分)已知函數(shù)f(x)＝4sin2－2cos 2x－1，且給定條件p：≤x≤. (1)求f(x)的最大值及最小值； (2)若給定條件q：|f(x)－m|<2，且p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 考點(diǎn)　充分條件的概念及判斷 題點(diǎn)　由充分條件求參數(shù)的取值范圍 解　(1)f(x)＝2－2cos 2x－1 ＝2sin 2x－2cos 2x＋1＝4sin＋1. ∵≤x≤，∴≤2x－≤. ∴3≤4sin＋1≤5. ∴f(x)max＝5，f(x)min＝3. (2)∵|f(x)－m|<2，∴m－2<f(x)<m＋2. 又∵p是q的充分條件， ∴ 解得3<m<5. 21．(12分)已知兩個命題：r(x)：sin x＋cos x>m，s(x)：x2＋mx＋1>0，如果對?x∈R，r(x)與s(x)有且僅有一個為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 考點(diǎn)　復(fù)合命題真假性的判斷 題點(diǎn)　由復(fù)合命題的真假求參數(shù)的取值范圍 解　∵對?x∈R，sin x＋cos x＝sin(x＋)≥－， ∴當(dāng)r(x)是真命題時，m<－. 又∵對?x∈R，s(x)是真命題，即x2＋mx＋1>0恒成立， 有Δ＝m2－4<0，∴－2<m<2. ∴當(dāng)r(x)為真命題，s(x)為假命題，m<－，同時m≤－2或m≥2，即m≤－2； 當(dāng)r(x)為假命題，s(x)為真命題時，m≥－且－2<m<2，即－≤m<2. 綜上，m的取值范圍是{m|m≤－2或－≤m<2}． 22．(12分)已知p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的兩個實(shí)根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|對任意的m∈[－1,1]恒成立，q：不等式ax2＋2x－1＞0有解，若p是真命題，q是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　∵x1，x2是方程x2－mx－2＝0的兩個實(shí)根， ∴ ∴|x1－x2|＝＝， ∴當(dāng)m∈[－1,1]時，|x1－x2|max＝3， ∴由不等式a2－5a－3≥|x1－x2|對任意的m∈[－1,1]恒成立， 得a2－5a－3≥3，∴a≥6或a≤－1. ∵不等式ax2＋2x－1＞0有解， ∴當(dāng)a＞0時，顯然有解； 當(dāng)a＝0時，2x－1＞0有解； 當(dāng)a＜0時，Δ＝4＋4a＞0，解得－1＜a＜0. ∴當(dāng)不等式ax2＋2x－1＞0有解時，a＞－1. 又q是假命題，∴a≤－1. 故當(dāng)p是真命題，q是假命題時，a的取值范圍為(－∞，－1]．