3.1變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算A組基礎(chǔ)題組1.曲線y=xex-1在點(diǎn)(1,1)處切線的斜率等于() A.2eB.eC.2D.1答案Cy=xex-1+x(ex-1)=(1+x)ex-1,曲線在點(diǎn)(1,1)處切線的斜率為y|x=1=2.故選C.2.函數(shù)f(x)=(2x)2的導(dǎo)數(shù)為()A.f (x)=4xB.f (x)=42xC.f (x)=82xD.f (x)=16x答案Cf(x)=(2x)2=42x2,f (x)=82x.3.曲線y=x3+x-2在點(diǎn)P0處的切線平行于直線y=4x-1,則點(diǎn)P0的坐標(biāo)為()A.(1,0),(-1,-4)B.(0,1)C.(1,0)D.(-1,-4)答案A設(shè)P0(x0,y0).因?yàn)?f(x)=x3+x-2,故f (x0)=3x02+1=4,解得x0=1,當(dāng)x0=1時,y0=0,當(dāng)x0=-1時,y0=-4,故選A.4.已知函數(shù)f(x)=axn(a,nR)的圖象在點(diǎn)(1,2)處的切線方程是y=4x-2,則下列說法正確的是()A.函數(shù)f(x)是偶函數(shù)且有最大值B.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且有最大值C.函數(shù)f(x)是偶函數(shù)且有最小值D.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且有最小值答案C對函數(shù)f(x)求導(dǎo)得f (x)=anxn-1,則由題意得f(1)=a1n=2,f (1)=an1n-1=4,解得n=2,a=2,則函數(shù)為二次函數(shù)f(x)=2x2,其圖象開口向上,有最小值,且為偶函數(shù).故選C.5.曲線f(x)=xln x在點(diǎn)(1, f(1)處的切線的傾斜角為()A.6B.4C.3D.2答案B因?yàn)閒(x)=xln x,所以f (x)=ln x+x1x=ln x+1,所以f (1)=1,所以曲線f(x)=xln x在點(diǎn)(1, f(1)處的切線的傾斜角為4.6.設(shè)曲線y=ax-ln(x+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=2x,則a=()A.0B.1C.2D.3答案Dy=a-1x+1,x=0時,y=a-1=2,a=3,故選D.7.曲線y=ex在點(diǎn)A處的切線與直線x+y+3=0垂直,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為()A.(-1,e-1)B.(0,1)C.(1,e)D.(0,2)答案B與直線x+y+3=0垂直的直線的斜率為1,所以切線的斜率為1,對y=ex求導(dǎo)得y=ex,令y=ex=1,解得x=0,此時y=e0=1,即點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1),選B.8.(2018寧波調(diào)研)直線y=kx+1與曲線y=x3+ax+b相切于點(diǎn)A(1,3),則2a+b的值為()A.2B.-1C.1D.-2答案C對y=x3+ax+b求導(dǎo)得y=3x2+a,則13+a+b=3,312+a=k,k+1=3,解得a=-1,b=3,k=2,所以2a+b=1,故選C.9.(2016課標(biāo)全國文,16,5分)已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x0時, f(x)=e-x-1-x,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,2)處的切線方程是.答案y=2x解析當(dāng)x>0時,-x<0, f(-x)=ex-1+x,而f(-x)=f(x),所以f(x)=ex-1+x(x>0),點(diǎn)(1,2)在曲線y=f(x)上,易知f (1)=2,故曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,2)處的切線方程是y-2=f (1)(x-1),即y=2x.10.已知函數(shù)f(x)=(2x+1)ex, f (x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f (0)的值為.答案3解析f (x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,f (0)=3.11.若曲線y=e-x在點(diǎn)P處的切線平行于直線2x+y+1=0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.答案(-ln 2,2)解析令f(x)=y=e-x,則f (x)=-e-x.令P(x0,y0),則f (x0)=-e-x0=-2,解得x0=-ln 2,所以y0=e-x0=eln 2=2,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-ln 2,2).12.已知函數(shù)f(x)=axln x,x(0,+),其中a為實(shí)數(shù), f (x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).若f (1)=3,則a的值為.答案3解析f (x)=aln x+a,f (1)=aln 1+a=3,解得a=3.13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若曲線y=ax2+bx(a,b為常數(shù))過點(diǎn)P(2,-5),且該曲線在點(diǎn)P處的切線與直線7x+2y+3=0平行,則a+b的值是.答案-3解析y=ax2+bx,y=2ax-bx2,由題意可得4a+b2=-5,4a-b4=-72,解得a=-1,b=-2.a+b=-3.B組提升題組1.已知f(x)=14x2+sin2+x, f (x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f (x)的大致圖象是()答案Af(x)=14x2+sin2+x=14x2+cos x,f (x)=12x-sin x,它是一個奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,故排除B,D.又f (x)=12-cos x,當(dāng)-3<x<3時,cos x>12,f (x)<0,故函數(shù)y=f (x)在區(qū)間-3,3上單調(diào)遞減,故排除C.故選A.2.(2016課標(biāo)全國理,15,5分)已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x<0時,f(x)=ln(-x)+3x,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,-3)處的切線方程是.答案y=-2x-1解析令x>0,則-x<0, f(-x)=ln x-3x,又f(-x)=f(x),f(x)=ln x-3x(x>0),則f (x)=1x-3(x>0),f (1)=-2,在點(diǎn)(1,-3)處的切線方程為y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.3.已知曲線y=x+ln x在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,則a=.答案8解析令f(x)=y=x+ln x,求導(dǎo)得f (x)=1+1x, f (1)=2,又f(1)=1,所以曲線y=x+ln x在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y-1=2(x-1),即y=2x-1.設(shè)直線y=2x-1與曲線y=ax2+(a+2)x+1的切點(diǎn)為P(x0,y0),則y|x=x0=2ax0+a+2=2,得a(2x0+1)=0,a=0或x0=-12,又ax02+(a+2)x0+1=2x0-1,即ax02+ax0+2=0,當(dāng)a=0時,顯然不滿足此方程,x0=-12,此時a=8.4.已知函數(shù)f(x)=aex+x2,g(x)=cos x+bx,直線l與曲線y=f(x)切于點(diǎn)(0, f(0),且與曲線y=g(x)切于點(diǎn)(1,g(1),則a+b=,直線l的方程為.答案-2;x+y+1=0解析f (x)=aex+2x,g(x)=-sin x+b,f(0)=a,g(1)=cos +b=b-1,f (0)=a,g(1)=b,由題意可得f (0)=g(1),則a=b,又f (0)=b-1-a1-0=a,則a=b=-1,a+b=-2,直線l的方程為x+y+1=0.5.若直線l與曲線C滿足下列兩個條件:(i)直線l在點(diǎn)P(x0,y0)處與曲線C相切;(ii)曲線C在點(diǎn)P附近位于直線l的兩側(cè),則稱直線l在點(diǎn)P處“切過”曲線C.下列命題正確的是(寫出所有正確命題的編號).直線l:y=0在點(diǎn)P(0,0)處“切過”曲線C:y=x3;直線l:x=-1在點(diǎn)P(-1,0)處“切過”曲線C:y=(x+1)2;直線l:y=x在點(diǎn)P(0,0)處“切過”曲線C:y=sin x;直線l:y=x在點(diǎn)P(0,0)處“切過”曲線C:y=tan x;直線l:y=x-1在點(diǎn)P(1,0)處“切過”曲線C:y=ln x.答案解析直線l:y=0在P(0,0)處與曲線C:y=x3相切,且曲線C在點(diǎn)P(0,0)附近位于直線l的兩側(cè),正確;直線l:x=-1不是曲線C:y=(x+1)2在P(-1,0)處的切線,錯;中y=cos x,cos 0=1,因此曲線C:y=sin x在P(0,0)處的切線為l:y=x,設(shè)f(x)=x-sin x,則f (x)=1-cos x0,即f(x)是增函數(shù),又f(0)=0,從而當(dāng)x<0時, f(x)<0x<sin x,當(dāng)x>0時, f(x)>0x>sin x,即曲線C:y=sin x在P(0,0)附近位于直線l的兩側(cè),正確;中y=sinxcosx=1cos2x,1cos20=1,因此曲線C:y=tan x在P(0,0)處的切線為l:y=x,設(shè)g(x)=x-tan x,則g(x)=1-1cos2x0-2<x<2,即g(x)在-2,2上是減函數(shù),且g(0)=0,同得正確;中y=1x,11=1,因此曲線C:y=ln x在P(1,0)處的切線為l:y=x-1,設(shè)h(x)=x-1-ln x(x>0),則h(x)=1-1x=x-1x,當(dāng)0<x<1時,h(x)<0,當(dāng)x>1時,h(x)>0,因此當(dāng)x=1時,h(x)min=h(1)=0,因此曲線C在P(1,0)附近位于直線l的一側(cè),故錯誤.因此答案為.