第09節(jié) 函數(shù)的綜合問題與實際應(yīng)用【考綱解讀】考 點考綱內(nèi)容5年統(tǒng)計分析預(yù)測函數(shù)的簡單應(yīng)用能將一些簡單的實際問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問題，并給予解決.2014浙江理10；2015浙江文20；理18；2016浙江文12，20；理18；2017浙江17.；2018浙江7,11，15.1.會從實際問題中抽象出函數(shù)模型，進而利用函數(shù)知識求解；2.函數(shù)的綜合應(yīng)用.3.常與二次函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、基本不等式及導(dǎo)數(shù)等知識交匯4.備考重點（1）一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)以及其他函數(shù)模型.（2）函數(shù)的綜合應(yīng)用.【知識清單】1. 常見的幾種函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型：ykxb(k0).(2)反比例函數(shù)模型：y(k0).(3)二次函數(shù)模型：yax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0).(4)指數(shù)函數(shù)模型：yabxc(b>0，b1，a0).(5)對數(shù)函數(shù)模型：ymlogaxn(a>0，a1，m0).2.指數(shù)、對數(shù)及冪函數(shù)三種增長型函數(shù)模型的圖象與性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)yax(a>1)ylogax(a>1)yxn(n>0)在(0，)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當x>x0時，有l(wèi)ogax<xn<ax【重點難點突破】考點1 一次函數(shù)與分段函數(shù)模型【1-1】 甲、乙兩人同時從A地趕往B地，甲先騎自行車到中點改為跑步，而乙則是先跑步，到中點后改為騎自行車，最后兩人同時到達B地. 已知甲騎自行車比乙騎自行車快. 若每人離開甲地的距離與所用時間的函數(shù)用圖象表示，則甲、乙兩人的圖象分別是( )A 甲是(1)，乙是(2)B甲是(1)，乙是(4)C 甲是(3)，乙是(2) D甲是(3)，乙是(4)【答案】B【解析】顯然甲圖象為(1)或(3)，乙圖象為(2)或(4).又因為 甲騎車比乙騎車快，即甲前一半路程圖象的中隨的變化比乙后一半路程隨的變化要快，所以 甲為(1)，乙為(4).選B.【1-2】【2018屆廣東省深圳中學高三第一次測試】中國移動通信公司早前推出“全球通”移動電話資費“個性化套餐”,具體方案如下：方案代號基本月租（元）免費時間（分鐘）超過免費時間的話費（元/分鐘）1304806029817006031683300504268600045538810000406568170003577882588030（I）寫出“套餐”中方案的月話費（元）與月通話量（分鐘）（月通話量是指一個月內(nèi)每次通話用時之和）的函數(shù)關(guān)系式；（II）學生甲選用方案，學生乙選用方案，某月甲乙兩人的電話資費相同,通話量也相同，求該月學生甲的電話資費；（III）某用戶的月通話量平均為320分鐘，則在表中所列出的七種方案中，選擇哪種方案更合算，說明理由.【答案】(1) （2）元. （3）見解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意分和兩種情況求得關(guān)系式，寫成分段函數(shù)的形式；（2）設(shè)該月甲乙兩人的電話資費均為元,通話量均為分鐘，分， 和三種情形分別求解判斷；（3）分別求出三種方案中的月話費，通過比較大小可得結(jié)論。（2）設(shè)該月甲乙兩人的電話資費均為元,通話量均為分鐘.當時, 甲乙兩人的電話資費分別為元, 元,不相等； 當時, 甲乙兩人的電話資費分別為（元）, 元, ,； 當時, 甲乙兩人的電話資費分別為（元）, （元）, 解得 所以該月學生甲的電話資費元. （3）月通話量平均為320分鐘，方案的月話費為：30+0.6（320-48）=193.2（元）； 方案的月話費為：98+0.6（320-170）=188（元）； 方案的月話費為168元. 其它方案的月話費至少為268元. 經(jīng)比較, 選擇方案更合算.【領(lǐng)悟技法】1在現(xiàn)實生活中，很多問題的兩變量之間的關(guān)系是一次函數(shù)模型，其增長特點是直線上升(自變量的系數(shù)大于0)或直線下降(自變量的系數(shù)小于0)2在現(xiàn)實生活中，很多問題的兩變量之間的關(guān)系，不能用同一個關(guān)系式給出，而是由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成分段函數(shù)如出租車票價與路程之間的關(guān)系，就是分段函數(shù)分段函數(shù)主要是每一段上自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其作為幾個不同問題，將各段的規(guī)律找出來，再將其合在一起要注意各段變量的范圍，特別是端點【觸類旁通】【變式一】小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間，后為了趕時間加快速度行駛與以上事件吻合得最好的圖象是()【答案】C【解析】出發(fā)時距學校最遠，先排除A，中途堵塞停留，距離沒變，再排除D，堵塞停留后比原來騎得快，因此排除B.【變式二】某網(wǎng)民用電腦上因特網(wǎng)有兩種方案可選：一是在家里上網(wǎng)，費用分為通訊費(即電話費)與網(wǎng)絡(luò)維護費兩部分現(xiàn)有政策規(guī)定：通訊費為0.02元/分鐘，但每月30元封頂(即超過30元則只需交30元)，網(wǎng)絡(luò)維護費1元/小時，但每月上網(wǎng)不超過10小時則要交10元；二是到附近網(wǎng)吧上網(wǎng)，價格為1.5元/小時（）將該網(wǎng)民某月內(nèi)在家上網(wǎng)的費用y(元)表示為時間t(小時)的函數(shù)；（）試確定在何種情況下，該網(wǎng)民在家上網(wǎng)更便宜？【答案】考點2 二次函數(shù)模型 【2-1】【山東省青島市2018年春季高考第二次模擬】山東省壽光市綠色富硒產(chǎn)品和特色農(nóng)產(chǎn)品在國際市場上頗具競爭力，其中香菇遠銷日本和韓國等地.上市時，外商李經(jīng)理按市場價格元/千克在本市收購了千克香菇存放入冷庫中.據(jù)預(yù)測，香菇的市場價格每天每千克將上漲元，但冷庫存放這批香菇時每天需要支出各種費用合計元，而且香菇在冷庫中最多保存天，同時，平均每天有千克的香菇損壞不能出售.（1）若存放天后，將這批香菇一次性出售，設(shè)這批香菇的銷售總金額為元，試寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）李經(jīng)理如果想獲得利潤元，需將這批香菇存放多少天后出售？（提示：利潤=銷售總金額-收購成本-各種費用）（3）李經(jīng)理將這批香菇存放多少天后出售可獲得最大利潤？最大利潤是多少？【答案】（1）（2）將這批香菇存放天后出售（3）存放天后出售可獲得最大利潤為元.【解析】分析：（1）根據(jù)銷售總金額的定義寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式.(2)根據(jù)利潤=銷售總金額-收購成本-各種費用得到關(guān)于x的方程，解方程即得解.(3)先寫出利潤的函數(shù)關(guān)系式，再求函數(shù)的最大利潤.（3）設(shè)利潤為，則由（2）得，；因此當時，；又因為，所以李經(jīng)理將這批香菇存放天后出售可獲得最大利潤為元.【2-2】【2018屆上海市松江、閔行區(qū)二模】某公司利用線上、實體店線下銷售產(chǎn)品，產(chǎn)品在上市天內(nèi)全部售完.據(jù)統(tǒng)計，線上日銷售量、線下日銷售量（單位：件）與上市時間 天的關(guān)系滿足： ，產(chǎn)品每件的銷售利潤為(單位：元)（日銷售量線上日銷售量線下日銷售量）.（1）設(shè)該公司產(chǎn)品的日銷售利潤為，寫出的函數(shù)解析式；（2）產(chǎn)品上市的哪幾天給該公司帶來的日銷售利潤不低于元？【答案】(1)(2)第5天至第15天該公司日銷售利潤不低于元.【解析】試題分析：（1）由題意分類討論，分別求得銷售量，然后與相應(yīng)的利潤相乘可得利潤函數(shù)的解析式為 （2）結(jié)合(1)中的利潤函數(shù)分類討論求解二次不等式可得第5天至第15天給該公司帶來的日銷售利潤不低于元.試題解析：（1）由題意可得：當時，銷售量為，銷售利潤為：；當時，銷售量為，銷售利潤為：；當時，銷售量為，銷售利潤為：；綜上可得： （2）當時，由，解得；當時，由，解得；當時，由，無解.故第5天至第15天給該公司帶來的日銷售利潤不低于元.【領(lǐng)悟技法】有些問題的兩變量之間是二次函數(shù)關(guān)系，如面積問題、利潤問題、產(chǎn)量問題等構(gòu)建二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)圖象與單調(diào)性解決在解決二次函數(shù)的應(yīng)用問題時，一定要注意定義域【觸類旁通】【變式一】某汽車銷售公司在、兩地銷售同一中品牌的車，在地的銷售利潤（位：萬元）為，在地的銷售利潤（單位：萬元）為，其中為銷售量（單位：輛），若該公司在兩地共銷售16輛這種品牌車，則能獲得的最大利潤是（ ） A B. 萬元 C. 萬元 D. 萬元【答案】C【變式二】某廠有容量300噸的水塔一個,每天從早六點到晚十點供應(yīng)生活和生產(chǎn)用水,已知:該廠生活用水每小時10噸,工業(yè)用水總量(噸)與時間(單位:小時,規(guī)定早晨六點時)的函數(shù)關(guān)系為,水塔的進水量有10級,第一級每小時進水10噸,以后每提高一級, 進水量增加10噸.若某天水塔原有水100噸,在供應(yīng)同時打開進水管.問該天進水量應(yīng)選擇幾級,既能保證該廠用水(即水塔中水不空),又不會使水溢出?【答案】4級.【解析】設(shè)水塔進水量選擇第級,在時刻水塔中的水容量等于水塔中的存水量100噸加進水量噸,減去生產(chǎn)用水噸,在減去工業(yè)用水噸,即()；若水塔中的水量既能保證該廠用水,又不會使水溢出,則一定有.即,所以對一切恒成立.因為,所以,即.即進水選擇4級. 考點3 指數(shù)函數(shù)模型【3-1】【2018屆安徽省淮南市第二中學、宿城第一中學第四次考試】某食品的保鮮時間（單位：小時）與儲存溫度（單位： ）滿足函數(shù)關(guān)系（為自然對數(shù)的底數(shù)， 為常數(shù)），若該食品在的保鮮時間是小時，在的保鮮時間是小時，則該食品在的保鮮時間是（ ）小時.A. B. C. D. 【答案】D【解析】由題意可得時， x=22時，y=48代入可得， 即有 則當時， 故選D【3-2】某工廠一年中十二月份的產(chǎn)量是一月份產(chǎn)量的倍，那么該工廠這一年中的月平均增長率是（ ）A. B. C.1 D.1【答案】D【解析】設(shè)該廠一月份產(chǎn)量為，這一年中月平均增長率為.則，解得.故選D.【領(lǐng)悟技法】1指數(shù)函數(shù)模型，常與增長率相結(jié)合進行考查，在實際問題中有人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來表示2應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時，關(guān)鍵是對模型的判斷，先設(shè)定模型將有關(guān)數(shù)據(jù)代入驗證，確定參數(shù)，從而確定函數(shù)模型3ya(1x)n通常利用指數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解4對于直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長的特點要注意區(qū)分：直線上升：勻速增長，其增長量固定不變；指數(shù)增長：先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；對數(shù)增長：先快后慢，其增長速度緩慢公司的利潤選擇直線上升或指數(shù)模型增長，而員工獎金選擇對數(shù)模型增長1在解答本題時有兩點容易造成失分：忽視實際問題對變量x的限制即定義域?qū)?cè)面積、容積求錯，從而造成后續(xù)的求解不正確2解決函數(shù)模型應(yīng)用的解答題，還有以下幾點容易造成失分，在備考中要高度關(guān)注：讀不懂實際背景，不能將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型對涉及的相關(guān)公式，記憶錯誤在求解的過程中計算錯誤另外需要熟練掌握求解方程、不等式、函數(shù)最值的方法，才能快速正確地求解【觸類旁通】【變式一】【2018屆湖南省衡陽縣12月聯(lián)考】某科技股份有限公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年增加研發(fā)資金投入，若該公司2016年全年投入的研發(fā)資金為100萬無，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長10%，則該公司全年投入的研發(fā)獎金開始超過200萬元年年份是（ ）（參考數(shù)據(jù)： ）A. 2022年 B. 2023年 C. 2024年 D. 2025年【答案】C【變式二】衣柜里的樟腦丸，隨著時間會揮發(fā)而體積縮小，剛放進的新丸體積為，經(jīng)過天后體積與天數(shù)的關(guān)系式為：，若新丸經(jīng)過50天后，體積變?yōu)?；若一個新丸體積變?yōu)?，則需經(jīng)過的天數(shù)為A75天 B100天 C125天 D150天【答案】A.【解析】由題意，得，解得；令，即，即需經(jīng)過的天數(shù)為75天.考點4 對數(shù)函數(shù)模型【4-1】我們知道，燕子每年秋天都要從北方飛南方過冬，研究燕子的科學家發(fā)現(xiàn)，兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數(shù)，單位，其中表示燕子的耗氧量. 則當燕子靜止時的耗氧量時單位和當一只燕子的耗氧量是個單位時的飛行速度分別是（ ）A10 個 15 B. 10 個 8 C. 15 個 15 D. 50 個 15 【答案】A【解析】由題意知，當燕子靜止時，它的速度，代入，即，解得個單位. 所以 . 【4-2】某種放射性元素的原子數(shù)隨時間變化規(guī)律是，其中、為正的常數(shù). 由放射性元素的這種性質(zhì)，可以制造高精度的時鐘，用原子數(shù)表示時間為 .【答案】 【解析】因為，所以，兩邊取以為底的對數(shù)，所以.【領(lǐng)悟技法】解答函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟：審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學模型；建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應(yīng)的數(shù)學模型；求模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結(jié)論；還原：將數(shù)學問題還原為實際問題的意義【觸類旁通】【變式一】 2008年我國人口總數(shù)為14億，如果人口的自然年增長率控制在1.25%，則_年我國人口將超過20億(0.301 0，0.477 1，0.845 1)【答案】2037【解析】由已知條件：%），所以，則，即.【變式二】某公司為了實現(xiàn)2013年銷售利潤1 000萬元的目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：從銷售利潤達到10萬元開始，按銷售利潤進行獎勵，且獎金數(shù)額y(單位：萬元)隨銷售利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金數(shù)額不超過5萬元，同時獎金數(shù)額不超過銷售利潤的25%.現(xiàn)有三個獎勵模型：y0.025x，y1.003x，yln x1，問其中是否有模型能完全符合公司的要求？請說明理由(參考數(shù)據(jù)：，)【答案】獎勵模型yln x1能完全符合公司的要求【解析】由題意，符合公司要求的模型需同時滿足：當x10，1 000時， 函數(shù)為增函數(shù)；函數(shù)的最大值不超過5；yx25%.（1）對于y0.025x，易知滿足，但當x>200時，y>5，不滿足公司的要求；（2）對于y1.003x，易知滿足，但當x>538時，不滿足公司的要求；（3）對于yln x1，易知滿足.當x10,1 000時，yln 1 0001.下面證明ln 1 0001<5.ln 1 00015ln 1 0004(ln 1 0008)(ln 1 000ln 2 981)<0，滿足.再證明ln x1x25%，即2ln x4x0.設(shè)F(x)2ln x4x，則F(x)1<0，x10,1 000，F(xiàn)(x)在10,1 000上為減函數(shù)，F(xiàn)(x)maxF(10)2ln 104102ln 1062(ln 103)<0，滿足.綜上，獎勵模型yln x1能完全符合公司的要求考點5 函數(shù)的綜合應(yīng)用【5-1】【2018年浙江卷】我國古代數(shù)學著作張邱建算經(jīng)中記載百雞問題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一，凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”設(shè)雞翁，雞母，雞雛個數(shù)分別為，則當時，_，_【答案】 8 11【解析】分析:將z代入解方程組可得x,y值.詳解：點睛：實際問題數(shù)學化，利用所學的知識將陌生的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的性質(zhì)，是解決這類問題的突破口【5-2】【騰遠2018年（浙江卷）紅卷】已知函數(shù)，函數(shù).若對任意的，都存在，使得成立，則的取值范圍是_【答案】【解析】分析：由題意，若對任意的，都存在，使得成立，即有成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和絕對值不等式，分別求解函數(shù)和的最小值，得到不等式，即可求解.詳解：因為函數(shù)，所以，由題意，若對任意的，都存在，使得成立，即有成立，又由，因為，且，所以，當時取等號，即的最小值為，所以，解得，即的取值范圍是.【5-3】已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值4和最小值1，設(shè)（）求的值；（）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（）;（） （）由已知可得，所以可化為， 化為，令，則，因，故，記，因為，故， 所以的取值范圍是 【領(lǐng)悟技法】1.函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法：(1)直接求零點，令f(x)0，有幾個解就有幾個零點；(2)零點存在性定理，要求函數(shù)在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)0，再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定函數(shù)零點個數(shù)；(3)利用圖象交點個數(shù)，作出兩函數(shù)圖象，觀察其交點個數(shù)即得零點個數(shù).2.求函數(shù)最值常利用基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法、函數(shù)的單調(diào)性等方法.在求分段函數(shù)的最值時，應(yīng)先求每一段上的最值，然后比較得最大值、最小值.【觸類旁通】【變式一】【2017天津，文8】已知函數(shù)設(shè)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】【解析】【變式二】已知函數(shù),當時，設(shè)的最大值為，則的最小值為_【答案】【解析】設(shè)，則，由于，則，所以將以上三式兩邊相加可得，即，應(yīng)填答案.【易錯試題常警惕】易錯典例：如圖所示，在矩形中，已知，（，在、上分別截取、都等于，當為何值時，四邊形的面積最大？求出這個最大面積.易錯分析：忽略了實際問題中自變量的取值范圍，由于，所以當時，自變量不能取到，面積不能取得最大值.綜上所述，若，當時面積取得最大值；若，當時面積取得最大值.溫馨提醒：解決此類問題，關(guān)鍵是利用已知條件，建立函數(shù)模型，然后化簡整理函數(shù)解析式.【學科素養(yǎng)提升之思想方法篇】數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休數(shù)形結(jié)合思想我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過:"數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。""數(shù)"與"形"反映了事物兩個方面的屬性。我們認為，數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形"即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.向量的幾何表示，三角形、平行四邊形法則，使向量具備形的特征，而向量的坐標表示和坐標運算又具備數(shù)的特征，因此，向量融數(shù)與形于一身，具備了幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”.因此，在應(yīng)用向量解決問題或解答向量問題時，要注意恰當?shù)剡\用數(shù)形結(jié)合思想，將復(fù)雜問題簡單化、將抽象問題具體化，達到事半功倍的效果.利用函數(shù)處理方程解的問題，方法如下：(1)方程f(x)a在區(qū)間I上有解ay|yf(x)，xIyf(x)與ya的圖象在區(qū)間I上有交點(2)方程f(x)a在區(qū)間I上有幾個解yf(x)與ya的圖象在區(qū)間I上有幾個交點一般地，在探究方程解的個數(shù)或已知解的個數(shù)求參數(shù)的范圍時，常采用轉(zhuǎn)化與化歸的思想將問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，從而可利用數(shù)形結(jié)合的方法給予直觀解答【典例】【2018屆天津市河東區(qū)二?！恳阎瘮?shù)滿足，當時，若在區(qū)間上方程有兩個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：首先根據(jù)題意，求得函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間上的解析式，之后在同一個坐標系內(nèi)畫出函數(shù)的圖像，之后將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)曲線交點的個數(shù)問題，結(jié)合圖形，得到結(jié)果.詳解：當時， ，在同一坐標系內(nèi)畫出的圖像，動直線過定點，當再過時，斜率，由圖象可知當時，兩圖象有兩個不同的交點，從而有兩個不同的零點，故選D.