專題對點(diǎn)練11三角變換與解三角形1.在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b=3,ABAC=-6,SABC=3,求A和a.2.已知a,b,c分別為銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊,且3a=2csin A.(1)求角C;(2)若c=7,且ABC的面積為332,求a+b的值.3.ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2c-a=2bcos A.(1)求角B的大小;(2)若a=2,b=7,求c的長.4.已知ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且asin C=3ccos A.(1)求角A;(2)若b=2,ABC的面積為3,求a.5.在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足2c-ba=cosBcosA.(1)求角A的大小;(2)若D為BC上一點(diǎn),且CD=2DB,b=3,AD=21,求a.6.已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且b=2,c=3,ABC的面積為332,又AC=2CD,CBD=.(1)求a,A,cosABC;(2)求cos 2的值.7.在ABC中,a,b,c分別是角A,B,C所對的邊,且滿足a=3bcos C.(1)求tanCtanB的值;(2)若a=3,tan A=3,求ABC的面積.8.在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且2acos C-c=2b.(1)求角A的大小;(2)若c=2,角B的平分線BD=3,求a.專題對點(diǎn)練11答案1.解 因?yàn)锳BAC=-6,所以bccos A=-6,又SABC=3,所以bcsin A=6,因此tan A=-1,又0<A<,所以A=34.又b=3,所以c=22.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a2=9+8-2322-22=29,所以a=29.2.解 (1)由3a=2csin A及正弦定理得3sin A=2sin Csin A.sin A0,sin C=32.ABC是銳角三角形,C=3.(2)C=3,ABC的面積為332,12absin3=332,即ab=6.c=7,由余弦定理得a2+b2-2abcos3=7,即(a+b)2=3ab+7.將代入得(a+b)2=25,故a+b=5.3.解 (1)2c-a=2bcos A,由正弦定理可得2sin C-sin A=2sin Bcos A,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,2sin Acos B+2cos Asin B-sin A=2sin Bcos A.2sin Acos B=sin A.sin A0,cos B=12,B=3.(2)b2=a2+c2-2accos B,7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,解得c=3或c=-1(舍去),c=3.4.解 (1)asin C=3ccos A,sin Asin C=3sin Ccos A,sin C>0,sin A=3cos A,則tan A=3,由0<A<得A=3.(2)b=2,A=3,ABC的面積為3,12bcsin A=3,則122c32=3,解得c=2,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=4+4-22212=4,則a=2.5.解 (1)由2c-ba=cosBcosA,則(2c-b)cos A=acos B,由正弦定理可知asinA=bsinB=csinC=2R,則a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,(2sin C-sin B)cos A=sin Acos B,整理得2sin Ccos A-sin Bcos A=sin Acos B,即2sin Ccos A=sin(A+B)=sin C,由sin C0,則cos A=12,即A=3,角A的大小為3.(2)過點(diǎn)D作DEAC,交AB于點(diǎn)E,則ADE中,ED=13AC=1,DEA=23,由余弦定理可知AD2=AE2+ED2-2AEEDcos3,又AD=21,AE=4,AB=6.又AC=3,BAC=3,則ABC為直角三角形,a=BC=33,a的值為33.6.解 (1)由ABC的面積為332=12bcsin A,可得1223sin A=332,可得sin A=32,又A為銳角,可得A=3,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=22+32-223cos3=7,解得a=7,可得cosABC=a2+c2-b22ac=(7)2+32-22273=277.(2)由AC=2CD,知CD=1,由ABD為正三角形,即BD=3,且sinABC=1-cos2ABC=217,cos =cos3-ABC=cos3cosABC+sin3sinABC=12277+32217=5714,cos 2=2cos2-1=1114.7.解 (1)由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R可得2Rsin A=32Rsin Bcos C.A+B+C=,sin A=sin(B+C)=3sin Bcos C,即sin Bcos C+cos Bsin C=3sin Bcos C.cos Bsin C=2sin Bcos C,cosBsinCsinBcosC=2,故tanCtanB=2.(2)(方法一)由A+B+C=,得tan(B+C)=tan(-A)=-3,即tanB+tanC1-tanBtanC=-3,將tan C=2tan B 代入得3tanB1-2tan2B=-3,解得tan B=1或tan B=-12,根據(jù)tan C=2tan B得tan C,tan B同正,tan B=1,tan C=2.又tan A=3,可得sin B=22,sin C=255,sin A=31010,代入正弦定理可得331010=b22,b=5,SABC=12absin C=1235255=3.(方法二)由A+B+C=得tan(B+C)=tan(-A)=-3,即tanB+tanC1-tanBtanC=-3,將tan C=2tan B 代入得3tanB1-2tan2B=-3,解得tan B=1或tan B=-12,根據(jù)tan C=2tan B得tan C,tan B同正,tan B=1,tan C=2.又a=3bcos C=3,bcos C=1,abcos C=3.abcos Ctan C=6.SABC=12absin C=126=3.8.解 (1)由2acos C-c=2b及正弦定理得2sin Acos C-sin C=2sin B,2sin Acos C-sin C=2sin(A+C)=2sin Acos C+2cos Asin C,-sin C=2cos Asin C,sin C0,cos A=-12,又A(0,),A=23.(2)在ABD中,c=2,角B的平分線BD=3,由正弦定理得ABsinADB=BDsinA,sinADB=ABsinABD=2323=22,由A=23,得ADB=4,ABC=2-23-4=6,ACB=-23-6=6,AC=AB=2.由余弦定理得a2=BC2=AB2+AC2-2ABACcos A=2+2-222-12=6,a=6.