高考專題突破三高考中的三角函數(shù)與解三角形問題題型一三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)例1已知函數(shù)f(x)5sinxcosx5cos2x(其中xR)，求：(1)函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)函數(shù)f(x)圖象的對稱軸和對稱中心解(1)因?yàn)閒(x)sin2x(1cos2x)55sin，所以函數(shù)的最小正周期T.(2)由2k2x2k(kZ)，得kxk (kZ)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ)(3)由2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函數(shù)f(x)的對稱軸方程為x(kZ)由2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函數(shù)f(x)的對稱中心為(kZ)思維升華三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，通常先將三角函數(shù)化為yAsin(x)k的形式，然后將tx視為一個整體，結(jié)合ysint的圖象求解跟蹤訓(xùn)練1(2018“七彩陽光聯(lián)盟”期初聯(lián)考)已知f(x)2cos2xsin2x1(xR)，求：(1)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)x時，求f(x)的值域解由題意得f(x)sin2x(2cos2x1)1sin2xcos2x12sin1.(1)由2k2x2k(kZ)，得2k2x2k(kZ)，kxk(kZ)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ.(2)x，2x，sin，f(x)0,3故f(x)的值域?yàn)?,3題型二解三角形例2ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinAcosA0，a2，b2.(1)求角A和邊長c；(2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且ADAC，求ABD的面積解(1)sinAcosA0，tanA，又0<A<，A，由余弦定理可得a2b2c22bccosA，即284c222c，即c22c240，解得c6(舍去)或c4，故c4.(2)c2a2b22abcosC，16284222cosC，cosC，CD，CDBC，SABCABACsinBAC422，SABDSABC.思維升華根據(jù)三角形中的已知條件，選擇正弦定理或余弦定理求解；在解決有關(guān)角的范圍問題時，要注意挖掘題目中隱含的條件，對結(jié)果進(jìn)行正確的取舍跟蹤訓(xùn)練2(2018浙江省第二次聯(lián)盟校聯(lián)考)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且bsinBasinA(ca)sinC.(1)求B；(2)若3sinC2sinA，且ABC的面積為6，求b.解(1)由bsinBasinA(ca)sinC及正弦定理，得b2a2(ca)c，即a2c2b2ac.由余弦定理，得cosB，因?yàn)锽(0，)，所以B.(2)由(1)得B，所以ABC的面積為acsinBac6，得ac24.由3sinC2sinA及正弦定理，得3c2a，所以a6，c4.由余弦定理，得b2a2c22accosB36162428.所以b2.題型三三角函數(shù)和解三角形的綜合應(yīng)用例3已知在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且tanB(tanC1)tanC.(1)求角A的大小；(2)若a，ab，求bc的取值范圍解(1)由tanB(tanC1)tanC得tanBtanC(tanBtanC1)，tan(BC)，tanA，0<A<，A.(2)由正弦定理得2，得b2sinB，c2sinC，bc2sinBsinC2sinBsinsinBcosBsin.ab，B<，B<，bcsin.思維升華三角函數(shù)和解三角形的綜合問題要利用正弦定理、余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，要注意角的范圍對變形過程的影響跟蹤訓(xùn)練3(2018嘉興市教學(xué)測試)已知函數(shù)f(x)cos(sinxcosx)2.(1)求函數(shù)f(x)的最大值和最小正周期；(2)設(shè)ABC的三邊a，b，c所對的角分別為A，B，C，若a2，c，f，求b的值解(1)f(x)cos2xsin2x(1sin2x)sin，所以f(x)的最大值為1，最小正周期T.(2)因?yàn)閒sincos，所以cos0，又C(0，)，所以C.由余弦定理c2a2b22abcosC可得b22b30，因?yàn)閎>0，所以b3.1在ABC中，A60，ca.(1)求sinC的值；(2)若a7，求ABC的面積解(1)在ABC中，因?yàn)锳60，ca，所以由正弦定理得sinC.(2)因?yàn)閍7，所以c73.由余弦定理a2b2c22bccosA，得72b2322b3，解得b8或b5(舍去)所以ABC的面積SbcsinA836.2(2018溫州適應(yīng)性測試)已知函數(shù)f(x)4cosxcos1.(1)求f的值；(2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間解(1)f4coscos14coscos1412.(2)f(x)4cosxcos14cosx12cos2xsin2x1sin2xcos2x2sin.所以f(x)的最小正周期為，當(dāng)2k2x2k(kZ)，即kxk，(kZ)時，f(x)單調(diào)遞增，即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)3(2018浙江省金華市名校第二次統(tǒng)練)已知在ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，S為ABC的面積，且2Sc2.(1)證明：；(2)若，求tanB.(1)證明根據(jù)三角形的面積公式及2Sc2得，absinCc2，根據(jù)正弦定理得，sinAsinBsinC.又在ABC中，ABC，sin(AB)sin(C)sinC，sinAsinBsinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，兩邊同時除以sinAsinB，得1.根據(jù)正弦定理，得sinA，sinB，代入化簡得，.(2)解由，得c2a2bcb2，根據(jù)余弦定理得，cosA，又A(0，)，sinA，又由(1)知sinAsinBsinAcosBcosAsinB，sinBcosBsinB，故tanB.4(2018浙江省六校協(xié)作體期末聯(lián)考)已知f(x)cosxsin1.(1)求f(x)在0，上的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在ABC中，若角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且f(B)，sinAsinCsin2B，求ac的值解f(x)cosxsin1cosx1sin2x1sin2xcos2xsin.(1)由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，又x0，f(x)在0，上的單調(diào)遞增區(qū)間是和.(2)由f(B)sin，得sin1.又B是ABC的內(nèi)角，2B，B，由sinAsinCsin2B及正弦定理可得acb2.在ABC中，由余弦定理b2a2c22accosB，得ac(ac)22acac，則ac0.5.已知a，b，c分別為ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且acosCasinCbc0.(1)求A；(2)若AD為BC邊上的中線，cosB，AD，求ABC的面積解(1)acosCasinCbc0，由正弦定理得sinAcosCsinAsinCsinBsinC，即sinAcosCsinAsinCsin(AC)sinC，亦即sinAcosCsinAsinCsinAcosCcosAsinCsinC，則sinAsinCcosAsinCsinC.又sinC0，所以sinAcosA1，所以sin(A30).在ABC中，0<A<180，則30<A30<150，所以A3030，得A60.(2)在ABC中，因?yàn)閏osB，所以sinB.所以sinCsin(AB).由正弦定理，得.設(shè)a7x，c5x(x>0)，則在ABD中，AD2AB2BD22ABBDcosB，即25x249x225x7x，解得x1(負(fù)值舍去)，所以a7，c5，故SABCacsinB10.6已知函數(shù)f(x)cos2xsin2xt(>0)，若f(x)的圖象上相鄰兩條對稱軸的距離為，圖象過點(diǎn)(0,0)(1)求f(x)的表達(dá)式和f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)yg(x)的圖象，若函數(shù)F(x)g(x)k在區(qū)間上有且只有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解(1)f(x)cos2xsin2xt2sint，f(x)的最小正周期為，2，f(x)的圖象過點(diǎn)(0,0)，2sint0，t1，即f(x)2sin1.令2k4x2k，kZ，求得x，kZ，故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為，kZ.(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度，可得y2sin12sin1的圖象，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)g(x)2sin1的圖象x，2x，sin，故g(x)2sin1在區(qū)間上的值域?yàn)?若函數(shù)F(x)g(x)k在區(qū)間上有且只有一個零點(diǎn)，由題意可知，函數(shù)g(x)2sin1的圖象和直線yk有且只有一個交點(diǎn)，根據(jù)圖象(圖略)可知，k1或1<k1.故實(shí)數(shù)k的取值范圍是1(1，1