課時分層作業(yè) 十六導數(shù)的綜合應(yīng)用一、選擇題(每小題5分,共25分)1.若不等式2xln x-x2+ax-3對x(0,+)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是 ()A.(-,0)B.(-,4C.(0,+)D.4,+)【解析】選B.2xln x-x2+ax-3,則a2ln x+x+,設(shè)h(x)=2ln x+x+(x>0),則h(x)=.當x(0,1)時,h(x)<0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞減;當x(1,+)時,h(x)>0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞增,所以h(x)min=h(1)=4,所以ah(x)min=4.2.(2018長沙模擬)已知函數(shù)f(x)=,若對任意的x1,2, f(x)x+f(x)>0恒成立,則實數(shù)t的取值范圍是()A.(-,B.C.D.,+)【解析】選B.因為f(x)=,所以對任意的x1,2, f(x)x+f(x)>0恒成立對任意的x1,2,>0恒成立對任意的x1,2,2x2-2tx+1>0恒成立t<=x+恒成立,又g(x)=x+在1,2上單調(diào)遞增,所以g(x)min=g(1)=,所以t<.3.若0<x1<x2<1,則()A.->ln x2-ln x1B.-<ln x2-ln x1C.x2>x1D.x2<x1【解析】選C.設(shè)f(x)=ex-ln x(0<x<1),則f(x)=ex-,而x0(0,1),使f(x0)=0.故f(x)在(0,x0)上為單調(diào)減函數(shù),在(x0,1)上為單調(diào)增函數(shù),故選項A,B均不正確.設(shè)g(x)=,則g(x)=.當0<x<1時,g(x)<0,所以g(x)=在(0,1)上為減函數(shù).又0<x1<x2<1,所以g(x1)>g(x2),即>,所以x2>x1.4.(2018襄陽模擬)若存在x(-1,1,使得不等式e2x-ax<a成立,則實數(shù)a的取值范圍是 ()A.B.C.D.【解題指南】將不等式化為a>,求出f(x)=在(-1,1上的最小值即可得出a的范圍.【解析】選B.因為e2x-ax<a在(-1,1上有解,所以a>在(-1,1上有解,令f(x)=,x(-1,1,則a>f(x)min.則f(x)=,所以當x時,f(x)<0,當x時,f(x)>0,所以f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以當x=-時,f(x)取得最小值f=.所以a>.5.(2018南昌模擬)已知定義在R上的可導函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f(x),滿足f(x)<f(x),且f(x+2)為偶函數(shù),f(4)=1,則不等式f(x)<ex的解集為 ()A.(-2,+)B.(0,+)C.(1,+)D.(4,+)【解析】選B.因為f(x+2)為偶函數(shù),所以f(x+2)的圖象關(guān)于x=0對稱,所以f(x)的圖象關(guān)于x=2對稱,所以f(4)=f(0)=1.設(shè)g(x)=(xR),則g(x)=,又因為f(x)<f(x),所以g(x)<0(xR),所以函數(shù)g(x)在定義域上單調(diào)遞減,因為f(x)<exg(x)=<1,而g(0)=1,所以f(x)<exg(x)<g(0),所以x>0.二、填空題(每小題5分,共15分)6.若存在正數(shù)x,使2x(x-a)<1成立,則實數(shù)a的取值范圍是_.【解析】由2x(x-a)<1得x-a<,即a>x-,即存在正數(shù)x使a>x-成立即可,令h(x)=x-(x>0),則h(x)為增函數(shù),所以當x>0時,h(x)>h(0)=0-=-1,所以a>h(x)min,即a>-1,即a的取值范圍是(-1,+).答案:(-1,+)7.(2018西安模擬)下列說法中,正確的有_ (把所有正確的序號都填上).x0R,使>3的否定是xR,使2x3;函數(shù)y=sinsin的最小正周期是;命題“若函數(shù)f(x)在x=x0處有極值,則f(x0)=0”的否命題是真命題;函數(shù)f(x)=2x-x2的零點有2個.【解析】由特稱命題的否定可知說法正確;由于函數(shù)y=sinsin=sincos=sin,其周期為,故說法錯;根據(jù)導數(shù)與極值的關(guān)系可知命題“若函數(shù)f(x)在x=x0處有極值,則f(x0)=0”為真命題,故說法錯;由于f(x)=2xln 2-2x,當x<0時恒有f(x)>0,即函數(shù)f(x)在(-,0)上單調(diào)遞增,又因為f(-1)f(0)=1<0,所以函數(shù)f(x)在(-1,0)上存在一個零點,還有f(2)=0,f(4)=0,所以函數(shù)f(x)在R上共有3個零點,故錯.答案:8.在平面直角坐標系xOy中,直線l與函數(shù)f(x)=2x2+a2(x>0)和g(x)=2x3+a2(x>0)均相切(其中a為常數(shù)),切點分別為A(x1,y1)和B(x2,y2),則x1+x2的值為_.【解析】因為f(x)=2x2+a2(x>0),所以f(x)=4x,所以f(x1)=4x1,所以曲線f(x)=2x2+a2(x>0)在點A(x1,y1)處的切線方程為y-(2+a2)=4x1(x-x1),即y=4x1x-2+a2.同理,曲線g(x)=2x3+a2(x>0)在點B(x2,y2)處的切線方程為y=6x-4+a2.由題意可得,兩條切線相同,故整理得結(jié)合x1>0,x2>0解得所以x1+x2=+=.答案:三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知函數(shù)f(x)=ln x-ex-a+a(e是自然對數(shù)的底數(shù) ).(1)當a=0時,求證:f(x)<-2.(2)若函數(shù)f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.【解析】(1)當a=0時,f(x)=-ex,令f(x)=0,得x=x0,即=,兩邊取對數(shù)得ln x0=-x0,且f(x)在(0,x0)上單增,在(x0,+)上單減,所以f(x)max=ln x0-=-x0-=-<-2.(2) f(x)=-ex-a,故等價于f(x)在(0,+)上有唯一極大值點x1,且f(x1)>0.因為f(x1)=0=-ln x1=x1-a,得:a=x1+ln x1,故f(x1)=2ln x1-+x1,令h(x)=2ln x-+x,h(1)=0,因為h(x)=+1>0,所以h(x)>0x>1,則x1>1,又因為y=x+ln x在(0,+)上單增,由x1>1,得a=x1+ln x1>1.綜上,a>1.【變式備選】(2018茂名模擬)已知函數(shù)f(x)=x3-x2-ax-2的圖象過點A.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-2m+3有3個零點,求m的取值范圍.【解析】(1)因為函數(shù)f(x)=x3-x2-ax-2的圖象過點A.所以-4a-4a-2=,解得a=2,即f(x)=x3-x2-2x-2,所以f(x)=x2-x-2.由f(x)=x2-x-2<0,解得-1<x<2;由f(x)>0,得x<-1或x>2.所以函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間是(-1,2),遞增區(qū)間是(-,-1),(2,+).(2)由(1)知f(x)的極大值=f(-1)=-+2-2=-,同理,f(x)的極小值=f(2)=-2-4-2=-,由數(shù)形結(jié)合思想,要使函數(shù)g(x)=f(x)-2m+3有三個零點,則-<2m-3<-,解得-<m<.所以m的取值范圍為.10.已知函數(shù)f(x)=xln x. (1)求f(x)的最小值.(2)若對于所有x1,都有f(x)ax-1,求實數(shù)a的取值范圍.【解析】函數(shù)f(x)=xln x的定義域是x|x>0.(1)f(x)=1+ln x,令f(x)=0,解得x=,當x時,f(x)<0,f(x)在上遞減;當x時,f(x)>0,f(x)在上遞增.所以當x=時,函數(shù)f(x)取得最小值f=-.(2)依題意得f(x)ax-1在1,+)上恒成立,即不等式aln x+對于x1,+)恒成立,即a,x1,+).設(shè)g(x)=ln x+(x1),則g(x)=-=0,所以g(x)在1,+)上是增函數(shù),g(x)的最小值是g(1)=1.故a的取值范圍是(-,1.1.(5分)已知函數(shù)f(x)=ln x+x與g(x)=ax2+ax-1(a>0)的圖象有且只有一個公共點,則a所在的區(qū)間為()A.B.C.D.【解析】選D.設(shè)T(x)=f(x)-g(x)=ln x+x-ax2-ax+1,在x>0時,有且僅有1個零點,T(x)=+1-ax-a=-a(x+1)= (x+1)=(x+1)(1-ax),因為a>0,x>0,所以T(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,如圖,當x0時,T(x)-,x+時,T(x)-,所以T=0,即ln+-1+1=0,所以ln+=0,因為y=ln+在x>0上單調(diào),所以ln+=0在a>0上最多有1個零點,a=1時,ln+=>0,a=2時,ln+<0,a=時,ln+<0,所以a.所以D選項是正確的.2.(5分)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=2f,當x1,3時,f(x)=ln x,若在區(qū)間x內(nèi),函數(shù)g(x)=f(x)-ax有三個不同的零點,則實數(shù)a的取值范圍是()A.B.C.D.【解析】選A.因為f(x)=2f,且x1,3時,f(x)=ln x,所以x時,f(x)=2f=2ln=-2ln x.因為函數(shù)g(x)=f(x)-ax與x軸有3個不同的交點,所以曲線y=f(x)與直線y=ax有三個不同交點,作出二者的圖象,則二者在1,3上相切時,因為f(x)=,所以=ax=e,a=;直線y=ax經(jīng)過y=f(x)右側(cè)端點(3,ln 3)時,a=.綜上所述,由函數(shù)圖象可得實數(shù)a的取值范圍是.3.(5分)(2018太原模擬)若對x1(0,2,x21,2,使4x1ln x1 -+3+4x1+8ax1x2-16x10成立,則實數(shù)a的取值范圍為_.【解題指南】問題轉(zhuǎn)化為:8ax2+4x1-4ln x1+16-,令f(x)=x-4ln x+16-,x(0,2,利用導數(shù)可得其最大值.令g(x)=8ax+4x2,x1,2,問題等價于g(x)maxf(x)max.再利用導數(shù)可得g(x)的最大值,即可得出a的范圍.【解析】因為x1>0,所以4x1ln x1-+3+4x1+8ax1x2-16x10,化為8ax2+4x1-4ln x1+16-,令f(x)=x-4ln x+16-,x(0,2,f(x)=1-+=,當0<x<1時,f(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當1<x<2時,f(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.所以當x=1時,函數(shù)f(x)取得最大值,f(1)=14.令g(x)=8ax+4x2,x1,2,因為對x1(0,2,x21,2,使4x1ln x1-+3+4x1+8ax1x2-16x10成立,所以g(x)maxf(x)max.g(x)=8a+8x=8(x+a),當a-1時,g(x)0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,所以當x=2時,g(x)取得最大值,g(x)max=16a+16.由16a+1614,解得a-,滿足條件.當-2<a<-1時,g(x)=8x-(-a),可得當x=-a時,g(x)取得最小值,g(2)=16+16a<0,g(1)=4+8a<0,舍去.當a-2時,經(jīng)過驗證,也不符合條件,舍去.綜上可得:a的取值范圍是.答案:4.(12分)已知函數(shù)f(x)=. (1)求f(x)在1,a(a>1)上的最小值.(2)若關(guān)于x的不等式f2(x)+mf(x)>0只有兩個整數(shù)解,求實數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)f(x)=,令f(x)>0得f(x)的遞增區(qū)間為;令f(x)<0得f(x)的遞減區(qū)間為,因為x1,a,則當1<a時,f(x)在1,a上為增函數(shù),f(x)的最小值為f(1)=ln 2; 當a>時,f(x)在上為增函數(shù),在上為減函數(shù),又f(2)=ln 2=f(1),所以<a2時,f(x)的最小值為f(1)=ln 2,若a>2,f(x)的最小值為f(a)=,綜上,當1<a2時,f(x)的最小值為ln 2;當a>2時,f(x)的最小值為.(2)由(1)知,f(x)的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為,所以f(x)max=f=,又f=0,1<<2,不等式f2(x)+mf(x)>0,即f(x)(f(x)+m)>0只有兩個整數(shù)解,所以解得-ln 2<m-ln 6.即實數(shù)m的取值范圍是.5.(13分)(2017全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.(1)討論f(x)的單調(diào)性.(2)當x0時,f(x)ax+1,求a的取值范圍.【解題指南】導數(shù)的計算,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值,導數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用,意在考查學生的轉(zhuǎn)化、化歸思想和求解運算能力.【解析】(1)f(x)=(1-2x-x2)ex,令f(x)=0得x=-1,當x(-,-1-)時,f(x)<0;當x(-1-,-1+)時,f(x)>0;當x(-1+,+)時,f(x)<0;所以f(x)在(-,-1-),(-1+,+)上單調(diào)遞減;在(-1-,-1+)上單調(diào)遞增.(2)令g(x)=f(x)-ax-1=(1-x2)ex-(ax+1),令x=0,可得g(0)=0,g(x)=(1-x2-2x)ex-a,令h(x)=(1-x2-2x)ex-a,h(x)=-(x2+4x+1)ex,當x0時,h(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,故h(x)h(0)=1-a,即g(x)1-a,要使f(x)-ax-10在x0時恒成立,需要 1-a0,即a1,此時g(x)g(0)=0,故a1,綜上所述,a的取值范圍是1,+).