第57練 空間角的問題基礎(chǔ)保分練1.(2019麗水模擬)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB1，BCCC12，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A.B.C.D.2.平面過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，則m，n所成角的正弦值為()A.B.C.D.3.(2019湖州模擬)如圖，已知三棱錐DABC滿足AC>AB>BC，D在底面的投影O為ABC的外心，分別記直線DO與平面ABD，ACD，BCD所成的角為，則()A.<<B.<<C.<<D.<<4.(2019紹興柯橋模擬)如圖，二面角l中，Pl，射線PA，PB分別在平面，內(nèi)，點(diǎn)A在平面內(nèi)的射影恰好是點(diǎn)B，設(shè)二面角l、PA與平面所成的角、PB與平面所成的角的大小分別為，則()A.B.C.D.5.(2019嘉興模擬)已知兩個(gè)平面，和三條直線m，a，b，若m，a且am，b，設(shè)和所成的一個(gè)二面角的大小為1，直線a和平面所成的角的大小為2，直線a，b所成的角的大小為3，則()A.123B.312C.13，23D.12，326.(2019杭州模擬)在三棱錐PABC中，PA平面ABC，BAC90，D，E分別是BC，AB的中點(diǎn)，ABAC，且AC>AD.設(shè)PC與DE所成的角為，PD與平面ABC所成的角為，二面角PBCA為，則()A.<<B.<<C.<<D.<<7.如圖，四邊形ABCD為矩形，平面PCD平面ABCD，且PCPDCD2，BC2，O，M分別為CD，BC的中點(diǎn)，則異面直線OM與PD所成角的余弦值為()A.B.C.D.8.(2019紹興上虞區(qū)模擬)點(diǎn)P為棱長是2的正方體ABCDA1B1C1D1的內(nèi)切球O球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為B1C1的中點(diǎn)，若滿足DPBM，則B1P與平面CDP所成角的正切值的最小值是()A.B.C.D.9.(2019嘉興模擬)已知三棱錐DABC的底面ABC是直角三角形，ACAB，ACAB4，DA平面ABC，E是BD的中點(diǎn).若此三棱錐的體積為，則異面直線AE與DC所成角的大小為_.10.(2019溫州模擬)如圖1，在ABC中，BABC6，ABC120，2，過點(diǎn)D作DEAC交AC于點(diǎn)E，連接CD.現(xiàn)將ADE與BCD分別沿DE與CD翻折，使DA與DB重合(如圖2)，則二面角EADC的平面角的余弦值為_.能力提升練1.ABC是邊長為1的正三角形，PA平面ABC，且PA，點(diǎn)A關(guān)于平面PBC的對(duì)稱點(diǎn)為A，則異面直線AC與AB所成的角等于()A.B.C.D.2.(2019學(xué)軍中學(xué)模擬)已知在矩形ABCD中，ADAB，沿直線BD將ABD折成ABD，使得點(diǎn)A在平面BCD上的射影在BCD內(nèi)(不含邊界)，設(shè)二面角ABDC的大小為，直線AD，AC與平面BCD所成的角分別為，則()A.<<B.<<C.<<D.<<3.(2019金華十校聯(lián)考)已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)E，O分別在線段B1D1和BD上，EB1B1D1，DOBO，動(dòng)點(diǎn)F在線段AA1上，且滿足AFA1A，分別記二面角FOB1E，F(xiàn)OEB1，F(xiàn)EB1O的平面角為，則()A.>>B.>>C.>>D.>>4.如圖，已知點(diǎn)E是正方形ABCD的邊AD上一動(dòng)點(diǎn)(端點(diǎn)除外)，現(xiàn)將ABE沿BE所在直線翻折成ABE，并連接AC，AD，記二面角ABEC的大小為(0<<180)，則()A.存在，使得BA平面ADEB.存在，使得BA平面ACDC.存在，使得EA平面ACDD.存在，使得EA平面ABC5.(2019金華模擬)過正四棱錐的頂點(diǎn)與四個(gè)側(cè)面所成的銳二面角都相等的平面有_個(gè).6.(2019余姚中學(xué)模擬)如圖，已知平面，l，A，B是直線l上的兩點(diǎn)，C，D是平面內(nèi)的兩點(diǎn)，且DAl，CBl，AD3，AB6，CB6.P是平面上的一動(dòng)點(diǎn)，且直線PD，PC與平面所成的角相等，則二面角PBCD的余弦值的最小值是_.答案精析基礎(chǔ)保分練1D2.A3.D4.A5.D6.A7.C8C960解析DA平面ABC，SABCABAC8，三棱錐的體積VSABCDADA，DA4，BD4，CD4.設(shè)BC的中點(diǎn)為F，連接EF，AF，如圖，則EFCD2，AFBC2，AEBD2，AEF是正三角形，AEF60.E是DB的中點(diǎn)，則EFDC，AEF是異面直線AE與DC所成的角，即異面直線AE與DC所成角的大小為60.10.解析由題意得DEAE，DECE，AECEE，則DE平面AEC，又DE平面DEA，所以平面DEA平面AEC，過點(diǎn)C作CGEA交EA的延長線于點(diǎn)G，如圖所示，則GC平面ADE，過點(diǎn)G作GHDA交DA的延長線于點(diǎn)H，連接CH，可證得CHHD，所以GHC即為二面角EADC的平面角因?yàn)樵贏BC中，BABC6，ABC120，2，所以在RtBHC中，BHC90，HBC60，BC6，所以BH3，CH3，在RtHAG中，AHG90，AH1，HAG30，所以HGAHtanHAG，在RtCGH中，cos GHC.能力提升練1C由于點(diǎn)A，A關(guān)于平面PBC對(duì)稱，則連線AA平面PBC，所以BCAA.設(shè)AA與平面PBC相交于點(diǎn)O，延長PO交BC于點(diǎn)E，連接AE，因?yàn)镻A平面ABC，所以BCPA，又AAPAA，所以BC平面PAE.所以BCAE，可得E為BC的中點(diǎn)，因?yàn)锳BACBC1，所以AE.在RtPAE中，利用等面積法可得AO，在RtAEO中，OE.取AB的中點(diǎn)D，連接DE，DO，由中位線的性質(zhì)知DEAC，ODAB，且ODAB，因?yàn)锳A平面PBC，OC平面PBC，所以AAOC，且O為AA的中點(diǎn)，所以ACAC1，所以DEAC，又OE，則在ODE中，ODDEOE，所以O(shè)DE，又ODAB，DEAC，則直線AC與AB所成角的大小為ODE，故選C.2D設(shè)點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影為點(diǎn)O，過點(diǎn)A作BD的垂線，垂足為點(diǎn)E，設(shè)AB1，則在RtABD中易得AE，ADO，ACO，AEO，且，均為銳角，tanADO，tanACO，tanAEO，又由翻折及解三角形，易得當(dāng)點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影在BCD內(nèi)(不含邊界)時(shí)，有OE<OC<OD，所以<<，即tanADO<tanACO<tanAEO，所以ADO<ACO<AEO，即<<，故選D.3D作FF平面BB1D1D，則FF，作FKOB1，F(xiàn)MOE，F(xiàn)NB1D1，所以tantanFKF，tantanFMF，tantanFNF，又FKOFsinB1OF，F(xiàn)MOFsinEOF，且AFAA1<AA1，EB1B1D1，所以FN>OF>FK>FM，所以tan>tan>tan，所以>>，故選D.4D在正方形ABCD內(nèi)，過點(diǎn)A作AFBE于點(diǎn)F，交DC于點(diǎn)G，易得在翻折過程中，點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的投影在線段AG上，設(shè)正方形ABCD的邊長為1，則AB1，BD，AEED1>AD，BAD90，故A和B錯(cuò)誤；二面角ABEC的大小為(0<<)，不存在EAAC，不可能存在，使得EA平面ACD，故C錯(cuò)誤；RtABE繞BE旋轉(zhuǎn)得到的幾何體是兩個(gè)圓錐的組合體，ABE<45，45<AEB<90，某個(gè)位置存在母線AEAE，即AEBC，二面角ABEC的大小為(0<<180)，存在，使得EA平面ABC，故D正確，故選D.53解析如圖，過正四棱錐的頂點(diǎn)與四個(gè)側(cè)面所成的銳二面角都相等的平面，根據(jù)對(duì)稱性可得，平面ABCD，平面PAC，平面PBD，故有三個(gè)面6.解析DAl，l，AD，AD，同理BC.DPA為直線PD與平面所成的角，CPB為直線PC與平面所成的角DPACPB，又DAPCBP90，DAPCBP，.在平面內(nèi)，以AB為x軸，以AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(3,0)，B(3,0)，設(shè)P(x，y)(y>0)2，整理可得(x5)2y216.P在內(nèi)的軌跡為以M(5,0)為圓心，以4為半徑的上半圓平面PBC平面BC，PBBC，ABBC.PBA為二面角PBCD的平面角，當(dāng)PB與圓相切時(shí)，PBA最大，cosPBA取得最小值此時(shí)PM4，MB8，MPPB，PB4，cosPBA.