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母題七 基本初等函數及其應用 【母題原題1】【2018上海卷，7】已知α∈{－2,－1,－,,1,2,3}，若冪函數為奇函數，且在(0,+∞)上遞減，則α=_____. 【答案】 【解析】冪函數為奇函數，冪指數只能為，又函數在上遞減，，所以 【母題原題2】【2017上海卷，9】已知四個函數：① ；② ；③ ；④ . 從中任選2個，則事件“所選2個函數的圖像有且僅有一個公共點”的概率為________ 【答案】 【母題原題3】【2016上海卷，18】已知點在函數的圖像上，則． 【答案】 【解析】試題分析： 將點（3，9）代入函數中得，所以，用表示得，所以. 【考點】反函數的概念以及指、對數式的轉化 【名師點睛】指數函數與對數函數互為反函數，求反函數的基本步驟是：一解（反解x）、二換（x與y互換）、三注（注意定義域）.本題較為容易. 【命題意圖】主要考查基本初等函數的運算與性質，以及反函數的概念，作差或作商法的應用，不等式的相關性質以及有關函數性質的應用. 【命題規(guī)律】 上海高考近幾年對這部分的考查主要集中在基本初等函數與反函數的綜合，基本初等函數的一系列運算性質，對該部分內容考查一般以選擇填空題形式出現,難度中等。 【答題模板】解答本類題目,以求解有關反比例函數為例，一般考慮如下三步： 第一步：利用解析式反求出x； 第二步：互換式子中的x與y； 第三步：寫出最終解析式，注意定義域。 【方法總結】 1.指數函數圖象的應用技巧：對于有關指數型函數的圖象問題，一般是從最基本的指數函數的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到．特別地，當底數a與1的大小關系不確定時應注意分類討論． 2.有關指數函數性質的問題類型及解題思路 (1)比較指數冪大小問題．常利用指數函數的單調性及中間值(0或1)． (2)簡單的指數不等式的求解問題．解決此類問題應利用指數函數的單調性，要特別注意底數a的取值范圍，并在必要時進行分類討論． (3)求解與指數函數有關的復合函數問題，首先要熟知指數函數的定義域、值域、單調性等相關性質，其次要明確復合函數的構成，涉及值域、單調區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質分析判斷，最終將問題歸結為內層函數相關的問題加以解決． 3.對數運算的一般思路 (1)將真數化為底數的指數冪的形式進行化簡； (2)將同底對數的和、差、倍合并； (3)利用換底公式將不同底的對數式轉化成同底的對數式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應用． 4.對數函數性質及應用中應注意的問題 (1)比較對數值大小時，若底數相同，構造相應的對數函數，利用單調性求解；若底數不同，可以找中間量，也可以用換底公式化成同底的對數再比較． (2)解簡單的對數不等式時，先利用對數的運算性質化為同底數的對數值，再利用對數函數的單調性轉化為一般不等式求解． (3)利用對數函數的性質，求與對數函數有關的復合函數的值域和單調性問題，必須弄清三方面的問題，一是定義域，所有問題都必須在定義域內討論；二是底數與1的大小關系；三是復合函數的構成，即它是由哪些基本初等函數復合而成的． 1．【上海市浦東新區(qū)2018屆高三數學一?！磕呈称返谋ｕr時間（單位：小時）與儲存溫度（單位：℃）滿足函數關系（為自然對數的底數， 、為常數），若該食品在0℃的保鮮時間是192小時，在22℃的保鮮時間是48小時，則該食品在33℃的保鮮時間是（ ）小時 A. 22 B. 23 C. 24 D. 33 【答案】C 2．【上海市虹口區(qū)2018屆高三下學期教學質量監(jiān)控（二模）】已知函數 ，則_________． 【答案】-2 【解析】，則。 3．【上海市松江、閔行區(qū)2018屆高三下學期質量監(jiān)控（二模）】若函數 沒有最小值，則的取值范圍是____________. 【答案】 【解析】分類討論： 當時，，函數沒有最小值， 當時，應滿足有解，故， 綜上可得，的取值范圍是. 4．【上海市松江、閔行區(qū)2018屆高三下學期質量監(jiān)控（二模）】定義在上的函數的反函數為，則________. 【答案】 【解析】求解指數方程：可得：， 由反函數的定義與性質可得. 5．【上海市普陀區(qū)2018屆高三下學期質量調研（二模）】設函數（且），若是等比數列（）的公比，且，則的值為_________. 【答案】 【解析】 ， ， ，故答案為. 6．【上海市普陀區(qū)2018屆高三下學期質量調研（二模）】若函數的反函數為，則函數的零點為________. 【答案】 【解析】 7．【上海市黃浦區(qū)2018屆高三4月模擬（二模）】方程的解_________． 【答案】 【解析】 或（舍） 即，解得 即答案為2. 8．【上海市長寧、嘉定區(qū)2018屆高三第一次質量調研（一模）】已知函數， 是函數的反函數，若的圖象過點，則的值為 . 【答案】4 【解析】試題分析：根據原函數與反函數的關系進行分析，原函數過點（4,2），代入即可得到a值； 由題f（x）過點（4,2）,所以 考點：反函數 9．【上海市崇明區(qū)2018屆高三第一次高考模擬】若函數的反函數的圖象經過點，則_____． 【答案】 10．【上海市上海師范大學附屬中學2017－2018學年上學期高三期中考試】已知，則實數的取值范圍是_________. 【答案】 【解析】因為是R上的增函數，所以，解得或，故填. 11．【上海市七寶中學2017屆高三上學期第一次月考】若對任意恒成立，則實數的取值范圍是________ 【答案】. 【點睛】解對數不等式應將兩邊都化成同底數的對數，利用對數函數的單調性比較真數的大小。不等式對任意恒成立，可轉化為不等式對任意恒成立，分與兩種情況討論。時結合二次函數的圖像得結論。 12．【上海市浦東新區(qū)2017-2018學年第一學期高三數學期中質量檢測】（1）解方程： ； （2）已知關于的不等式的解集為，求關于的不等式的解集． 【答案】（1）1；（2） 【解析】試題分析：（1）統一指數的底數為5,再把當整體，原方程轉化為一元二次方程，可解得t，進一步解得x.(2)由題意可得方程的兩個根為和， 且，進一步求得a,b，代入不等式，可求得不等式的解集． 試題解析：（1）令，則，解得或，即或，解得或. （2）由題意可知，方程的兩個根為和， 且則由韋達定理可得，于是不等式為，則其解集為． 【點睛】對于一個方程或不等式中有多個指數形式的，常把指數化同底，再應用整體思想，把指數結構整體換元。從而進一步求解。