回扣6立體幾何與空間向量1四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方體、平行六面體、直平行六面體、長方體之間的關(guān)系2三視圖(1)三視圖的正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線畫三視圖的基本要求：正俯一樣長，俯側(cè)一樣寬，正側(cè)一樣高(2)三視圖排列規(guī)則：俯視圖放在正(主)視圖的下面，長度與正(主)視圖一樣；側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖的右面，高度和正(主)視圖一樣，寬度與俯視圖一樣3柱、錐、臺、球體的表面積和體積側(cè)面展開圖表面積體積直棱柱長方形S2S底S側(cè)VS底h圓柱長方形S2r22rlVr2l棱錐由若干三角形構(gòu)成SS底S側(cè)VS底h圓錐扇形Sr2rlVr2h棱臺由若干個(gè)梯形構(gòu)成SS上底S下底S側(cè)V(SS)h圓臺扇環(huán)Sr2(rr)lr2V(r2rrr2)h球S4r2Vr34.平行、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化示意圖(1)(2)兩個(gè)結(jié)論ab，b.5用空間向量證明平行、垂直設(shè)直線l的方向向量為a(a1，b1，c1)，平面，的法向量分別為(a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3)則有：(1)線面平行l(wèi)aa0a1a2b1b2c1c20.(2)線面垂直laaka1ka2，b1kb2，c1kc2.(3)面面平行vva2a3，b2b3，c2c3.(4)面面垂直vv0a2a3b2b3c2c30.6用向量求空間角(1)直線l1，l2的夾角滿足cos |cosl1，l2|(其中l(wèi)1，l2分別是直線l1，l2的方向向量)(2)直線l與平面的夾角滿足sin |cosl，n|(其中l(wèi)是直線l的方向向量，n是平面的法向量)(3)平面，的夾角滿足cos |cosn1，n2|，則二面角l的平面角為或(其中n1，n2分別是平面，的法向量)1混淆“點(diǎn)A在直線a上”與“直線a在平面內(nèi)”的數(shù)學(xué)符號關(guān)系，應(yīng)表示為Aa，a.2在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線為虛線在還原空間幾何體實(shí)際形狀時(shí)一般是以正(主)視圖和俯視圖為主3易混淆幾何體的表面積與側(cè)面積的區(qū)別，幾何體的表面積是幾何體的側(cè)面積與所有底面面積之和，不能漏掉幾何體的底面積；求錐體體積時(shí)，易漏掉體積公式中的系數(shù).4不清楚空間線面平行與垂直關(guān)系中的判定定理和性質(zhì)定理，忽視判定定理和性質(zhì)定理中的條件，導(dǎo)致判斷出錯(cuò)如由，l，ml，易誤得出m的結(jié)論，就是因?yàn)楹鲆暶婷娲怪钡男再|(zhì)定理中m的限制條件5注意圖形的翻折與展開前后變與不變的量以及位置關(guān)系對照前后圖形，弄清楚變與不變的元素后，再立足于不變的元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系去探求變化后的元素在空間中的位置與數(shù)量關(guān)系6幾種角的范圍兩條異面直線所成的角：0<90；直線與平面所成的角：090；二面角：0180.7空間向量求角時(shí)易忽視向量的夾角與所求角之間的關(guān)系，如求解二面角時(shí)，不能根據(jù)幾何體判斷二面角的范圍，忽視向量的方向，誤以為兩個(gè)法向量的夾角就是所求的二面角，導(dǎo)致出錯(cuò)1一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積是()A. B. C. D答案D解析由三視圖可知，該幾何體為球的，其半徑為1，則體積V13.2直三棱柱ABCA1B1C1的直觀圖及三視圖如圖所示，D為AC的中點(diǎn)，則下列命題中是假命題的是()AAB1平面BDC1BA1C平面BDC1C直三棱柱的體積V4D直三棱柱的外接球的表面積為4答案D解析由三視圖可知，直三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面B1C1CB是邊長為2的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，ABBC，ABBC2.連接B1C交BC1于點(diǎn)O，連接OD.在CAB1中，O，D分別是B1C，AC的中點(diǎn)，ODAB1，又OD平面BDC1，AB1平面BDC1，AB1平面BDC1.故A正確；在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，AA1BD.又ABBC2，D為AC的中點(diǎn)，BDAC，又AA1ACA，AA1，AC平面AA1C1C，BD平面AA1C1C，又A1C平面AA1C1C，BDA1C.又A1B1B1C1，A1B1B1B，B1C1B1BB1，B1C1，B1B平面B1C1CB，A1B1平面B1C1CB，又BC1平面B1C1CB，A1B1BC1.BC1B1C，且A1B1B1CB1，A1B1，B1C平面A1B1C，BC1平面A1B1C，又A1C平面A1B1C，BC1A1C，又BDBC1B，BD，BC1平面BDC1，A1C平面BDC1.故B正確；VSABCC1C2224，故C正確；此直三棱柱的外接球的半徑為，其表面積為12，D錯(cuò)故選D.3已知直線l，m和平面，則下列結(jié)論正確的是()A若lm，m，則lB若l，m，則lmC若lm，l，則mD若l，m，則lm答案B解析若lm，m，則l或l，故A錯(cuò)誤；若l，m，則lm，B正確；若lm，l，則m或m，故C錯(cuò)誤；若l，m，則lm或l，m異面，故選B.4已知互相垂直的平面，交于直線l.若直線m，n滿足m，n，則()Aml BmnCnl Dmn答案C解析由題意知，l，l，n，nl.故選C.5已知m，n為異面直線，m平面，n平面，直線l滿足lm，ln，l，l，則()A且lB且lC與相交，且交線垂直于lD與相交，且交線平行于l答案D解析假設(shè)，由m平面，n平面，得mn，這與已知m，n為異面直線矛盾，那么與相交，設(shè)交線為l1，則l1m，l1n，在直線m上任取一點(diǎn)作n1平行于n，那么l1和l都垂直于直線m與n1所確定的平面，所以l1l.6.如圖，正方體AC1的棱長為1，過點(diǎn)A作平面A1BD的垂線，垂足為點(diǎn)H，以下四個(gè)命題：點(diǎn)H是A1BD的垂心；AH垂直于平面CB1D1；直線AH和BB1所成的角為45；AH的延長線經(jīng)過點(diǎn)C1，其中假命題的個(gè)數(shù)為()A0 B1C2 D3答案B解析ABAA1AD，BA1BDA1D，三棱錐 ABA1D為正三棱錐，點(diǎn)H是A1BD的垂心，故正確；平面A1BD與平面B1CD1平行，AH平面A1BD，AH平面CB1D1，故正確；AA1BB1，A1AH就是直線AH和BB1所成的角，在直角三角形AHA1中，AA11，A1H，sinA1AH，故錯(cuò)誤；根據(jù)正方體的對稱性得到AH的延長線經(jīng)過點(diǎn)C1，故正確，故選B.7將正方體紙盒展開如圖，則直線AB，CD在原正方體中的位置關(guān)系是()A平行 B垂直C相交成60角 D異面且成60角答案D解析如圖，直線AB，CD異面因?yàn)镃EAB，所以ECD即為直線AB，CD所成的角，因?yàn)镃DE為等邊三角形，故ECD60.8長方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，其同一頂點(diǎn)處的三條棱長分別為3,4,5，則該球面的表面積為()A25 B50 C75 D.答案B解析設(shè)球的半徑為R，由題意可得(2R)232425250，4R250，球的表面積為S4R250.9.如圖，三棱錐ABCD的棱長全相等，點(diǎn)E為棱AD的中點(diǎn)，則直線CE與BD所成角的余弦值為()A. B.C. D.答案A解析方法一取AB中點(diǎn)G，連接EG，CG.E為AD的中點(diǎn)，EGBD.GEC為CE與BD所成的角設(shè)AB1，則EGBD，CECG，cosGEC.方法二設(shè)AB1，則()()()2cos 60cos 60cos 60.cos，故選A.10已知正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于()A. B.C. D.答案A解析如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正三棱柱的棱長為2，則O(0,0,0)，B(，0,0)，A(0，1,0)，B1(，0,2)，則1(，1,2)，則(，0,0)為側(cè)面ACC1A1的法向量，故sin .11.如圖，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)MAB，點(diǎn)NAD，若，則直線MN與平面BDC的位置關(guān)系是_答案平行解析由，得MNBD.而BD平面BDC，MN平面BDC，所以MN平面BDC.12如圖，在長方體ABCDABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AD，BB，BC，DD的中點(diǎn)，從中任取兩點(diǎn)確定的直線中，與平面ABD平行的有_條答案6解析如圖，連接EG，EH，F(xiàn)G，EF，HG，EHFG且EHFG，EFGH四點(diǎn)共面，由EGAB，EHAD，EGEHE，ABADA，可得平面EFGH與平面ABD平行，符合條件的共有6條13點(diǎn)P在正方形ABCD所在平面外，PA平面ABCD，PAAB，則PB與AC所成角的大小是_答案解析以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，設(shè)正方形ABCD的邊長為1，則A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，(1,0，1)，(1,1,0)，因此cos， ，因此PB和AC所成角的大小為.14設(shè)m，n是不同的直線，是不同的平面，有以下四個(gè)命題：；m；m.其中，正確的命題是_(填序號)答案解析中平行于同一平面的兩平面平行是正確的；中m，可能平行，相交或直線在平面內(nèi)；中由面面垂直的判定定理可知結(jié)論正確；中m，可能平行或線在面內(nèi)15如圖(1)，在邊長為4的菱形ABCD中，DAB60，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD，CB的中點(diǎn)，ACEFO，沿EF將CEF翻折到PEF，連接PA，PB，PD，得到如圖(2)所示的五棱錐PABFED，且PB.(1)求證：BDPA；(2)求四棱錐PBFED的體積(1)證明點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD，CB的中點(diǎn)，BDEF.菱形ABCD的對角線互相垂直，BDAC，EFAC，EFAO，EFPO.AO平面POA，PO平面POA，AOPOO，EF平面POA，BD平面POA，又PA平面POA，BDPA.(2)解設(shè)AOBDH.連接BO，DAB60，ABD為等邊三角形，BD4，BH2，HA2，HOPO，在RtBHO中，BO，在PBO中，BO2PO210PB2，POBO.POEF，EFBOO，EF平面BFED，BO平面BFED，OP平面BFED，梯形BFED的面積S(EFBD)HO3，四棱錐PBFED的體積VSPO33.16.如圖，四棱錐SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SDADa，點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且DEa(0<1)(1)求證：對任意的(0,1，都有ACBE；(2)若二面角CAED的大小為60，求的值(1)證明如圖，以D為原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DS所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，E(0,0，a)(a，a,0)，(a，a，a)，a2a20a0，0對任意(0,1都成立，即對任意的(0,1，都有ACBE.(2)解顯然n(0,1,0)是平面ADE的一個(gè)法向量，設(shè)平面ACE的法向量為m(x，y，z)，(a，a,0)，(a,0，a)，即取z1，則xy，m(，1)，二面角CAED的大小為60，|cosn，m|，(0,1，.