第06節(jié) 正弦定理和余弦定理【考綱解讀】考 點(diǎn)考綱內(nèi)容5年統(tǒng)計(jì)分析預(yù)測正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用2014浙江文18；理10，18；2015浙江文16；理16；2016浙江文16；理16；2017浙江14；2018浙江13.1.正弦定理或余弦定理獨(dú)立命題；2.正弦定理與余弦定理綜合命題；3.與三角函數(shù)的變換結(jié)合命題；4.考查較為靈活，題型多變，選擇題、填空題的形式往往獨(dú)立考查正弦定理或余弦定理，解答題往往綜合考查定理在確定三角形邊角中的應(yīng)用，多與三角形周長、面積有關(guān)；有時(shí)也會與平面向量、三角恒等變換、立體幾何等結(jié)合考查.5.備考重點(diǎn)： (1) 掌握正弦定理、余弦定理；(2) 掌握幾種常見題型的解法.【知識清單】1.正弦定理正弦定理：2R，其中R是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形為：abcsin Asin Bsin C；a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；sin A，sin B，sin C等形式，以解決不同的三角形問題面積公式Sabsin Cbcsin Aacsin B2. 余弦定理余弦定理： ， ， .變形公式cos A，cos B，os C3. 正弦定理與余弦定理的綜合運(yùn)用 應(yīng)熟練掌握正、余弦定理及其變形解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡捷就用哪一個(gè)定理【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】考點(diǎn)1 正弦定理【1-1】【2018屆河南省新鄉(xiāng)市第一中學(xué)】在中，內(nèi)角的對邊分別為， ，則 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ,故選A.【1-2】【2018屆浙江省嘉興市高三上期末】在銳角中，內(nèi)角所對的邊分別是，若，則的取值范圍是_ 【答案】 【1-3】在中，角的對邊分別為，若角依次成等差數(shù)列，且，則 .【答案】【解析】依次成等差數(shù)列，由正弦定理，或（舍去），.【領(lǐng)悟技法】已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可已知兩邊和一邊對角，解三角形時(shí)，利用正弦定理求另一邊的對角時(shí)要注意討論該角，這是解題的難點(diǎn)，應(yīng)引起注意已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時(shí)，注意解的情況如已知a，b，A，則A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Aabsin Absin Aabababab解的個(gè)數(shù)無解一解兩解一解一解無解【觸類旁通】【變式1】【2018屆安徽合肥一中、馬鞍山二中等六校第一次聯(lián)考】在中，角的對邊分別為.已知，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由得，由正弦定理，所以，故選A.【變式2】【2017浙江臺州上學(xué)期】已知在中，內(nèi)角的對邊分別為且，則的面積為_【答案】【解析】由題設(shè)條件得，則由可得， 與聯(lián)立可得，故，由正弦定理，則，所以的面積，應(yīng)填答案.考點(diǎn)2 余弦定理【2-1】【2018屆浙江省紹興市3月模擬】在中，內(nèi)角為鈍角，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由題得，由余弦定理得 故選A.【2-2】【2018年浙江卷】在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c若a=，b=2，A=60，則sin B=_，c=_【答案】 (1). (2). 3【解析】分析:根據(jù)正弦定理得sinB,根據(jù)余弦定理解出c.詳解：由正弦定理得,所以由余弦定理得（負(fù)值舍去）.【2-3】在中，內(nèi)角，的對邊分別為，若，則_，的面積_【答案】【解析】由余弦定理可得；由三角形的面積公式可得，應(yīng)填答案 和 .【領(lǐng)悟技法】 已知三邊，由余弦定理求，再由求角，在有解時(shí)只有一解. 已知兩邊和夾角，余弦定理求出對對邊.【觸類旁通】【變式1】【2018屆廣東茂名五大聯(lián)盟9月】的內(nèi)角的對邊分別是，已知，則等于( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B【解析】由余弦定理得，即，所以，應(yīng)選答案B.【變式2】【2018屆安徽合肥調(diào)研】在中，角對應(yīng)的邊分別為， ，則的面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】A 考點(diǎn)3 正弦定理與余弦定理的綜合運(yùn)用【3-1】【2018屆安徽省安慶市第一中學(xué)熱身考】已知銳角的三個(gè)內(nèi)角的對邊分別為，若，則的值范圍是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由、倍角公式和正弦定理得，故，根據(jù)是銳角三角形可得，于是可得所求范圍詳解：，由正弦定理得，是銳角三角形，解得，即的值范圍是【3-2】【2018屆廣東省陽春市第一中學(xué)月考】在中，內(nèi)角的對邊分別為，且（1）求；（2）若，求【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）由正弦定理將邊化為角得，即得再根據(jù)三角形內(nèi)角范圍得（2）由正弦定理將角化為邊得，再根據(jù)余弦定理得，解方程組可得 （2）由及正弦定理，得，由余弦定理得， 即，由，解得【3-3】【2018年天津卷理】在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.（I）求角B的大??；（II）設(shè)a=2，c=3，求b和的值.【答案】()；()，.（）在ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=由，可得因?yàn)閍<c，故因此，所以，【領(lǐng)悟技法】依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時(shí)，主要有如下兩種方法：(1)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀；(2)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用ABC這個(gè)結(jié)論注意 在上述兩種方法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解判斷三角形的形狀的基本思想是：利用正、余弦定理進(jìn)行邊角的統(tǒng)一即將條件化為只含角的三角函數(shù)關(guān)系式，然后利用三角恒等變換得出內(nèi)角之間的關(guān)系式；或?qū)l件化為只含有邊的關(guān)系式，然后利用常見的化簡變形得出三邊的關(guān)系結(jié)論一般為特殊的三角形如等邊三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等另外，在變形過程中要注意A，B，C的范圍對三角函數(shù)值的影響提醒：1在ABC中有如下結(jié)論sin Asin Bab.2當(dāng)b2c2a20時(shí)，角A為銳角，若可判定其他兩角也為銳角，則三角形為銳角三角形；當(dāng)b2c2a20時(shí)，角A為直角，三角形為直角三角形；當(dāng)b2c2a20時(shí)，角A為鈍角，三角形為鈍角三角形【觸類旁通】【變式1】在中，內(nèi)角所對的邊分別是.已知，則的值為_.【答案】【解析】由正弦定理得：，.【變式2】【2018屆河南省名校聯(lián)盟第一次段考】銳角的內(nèi)角，的對邊分別為，已知的外接圓半徑為，且滿足.（1）求角的大?。唬?）若，求周長的最大值.【答案】（1）；（2）當(dāng)為正三角形時(shí)，周長的最大值為6.【解析】試題分析：（1）根據(jù)已知條件，由正弦定理，求出角；（2）由余弦定理和基本不等式求出，再求出周長的最大值.試題解析：（1）由正弦定理，得，再結(jié)合，得，解得，由為銳角三角形，得. 【易錯(cuò)試題常警惕】易錯(cuò)典例：在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊長，a，b，12cos(BC)0，求邊BC上的高易錯(cuò)分析：忽視三角形中“大邊對大角”的定理，產(chǎn)生了增根正確解析：在ABC中，cos(BC)cos A，又12cos(BC)0，12cos A0，A.在ABC中，根據(jù)正弦定理，得sin B.B或.ab，B.溫馨提醒：應(yīng)用正弦定理解三角形，最易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，就是角的增解問題.解題過程中應(yīng)特別注意，一般要注意利用“大邊對大角”結(jié)合已知角確定取舍.【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休數(shù)形結(jié)合思想我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過:"數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.""數(shù)"與"形"反映了事物兩個(gè)方面的屬性.我們認(rèn)為，數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系.數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形"即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.【典例】【山東、湖北部分重點(diǎn)中學(xué)2018年高考沖刺模擬（二）】已知中，為內(nèi)一點(diǎn)，且.（）當(dāng)時(shí)，求的長；（）若，令，求的值.【答案】()；(). 試題解析：（）如圖，在中，.所以，由余弦定理得：， ， （），由內(nèi)角和定理得.在直角中，在中，由正弦定理得：即，即：，整理可得：，解得.