第06節(jié) 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)【考綱解讀】考 點(diǎn)考綱內(nèi)容5年統(tǒng)計(jì)分析預(yù)測(cè)對(duì)數(shù)運(yùn)算1. 理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算，會(huì)用換底公式.2理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用.3.了解對(duì)數(shù)函數(shù)的變化特征.2014浙江文8；理7；2015浙江文9；理10，12；2016浙江文,5；理12；2018浙江10，22.1.對(duì)數(shù)運(yùn)算；2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及其應(yīng)用；3.除單獨(dú)考查外，在大題中考查對(duì)數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用是熱點(diǎn).4.備考重點(diǎn)：（1）對(duì)數(shù)運(yùn)算（2）對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，如比較函數(shù)值的大??；（3）圖象過定點(diǎn)；（4）底數(shù)分類討論問題.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)【知識(shí)清單】1. 對(duì)數(shù)的概念如果axN(a>0，且a1)，那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作xlogaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).對(duì)點(diǎn)練習(xí)設(shè)2a5bm，且2，則m等于()A. B.10 C.20 D.100【答案】A【解析】由已知，得，則.解得.2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì)(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：alogaNN；logaabb(a>0，且a1)(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則如果a>0且a1，M>0，N>0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；logamMnlogaM(m，nR，且m0).(3)對(duì)數(shù)的重要公式換底公式：logbN(a，b均大于零且不等于1)；logab，推廣logablogbclogcdlogad.3.對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)ylogax(a>0，且a1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，).(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，)值域：R當(dāng)x1時(shí)，y0，即過定點(diǎn)(1，0)當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0在(0，)上是增函數(shù)在(0，)上是減函數(shù)【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】考點(diǎn)1 對(duì)數(shù)的化簡、求值【1-1】【2018年新課標(biāo)I卷文】已知函數(shù)，若，則_【答案】-7【解析】分析：首先利用題的條件，將其代入解析式，得到，從而得到，從而求得，得到答案.【1-2】【2018屆安徽省宿州市第三次檢測(cè)】已知，則（ ）A. -2 B. 2 C. D. 【答案】C【解析】分析：由題意首先求得m,n的關(guān)系，然后結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.本題選擇C選項(xiàng).【1-3】若則_,用表示為_.【答案】 12 ，.【解析】loga2=m,loga3=n,am=2,an=3，a2m+n=(am)2an=223=12，.【領(lǐng)悟技法】1.對(duì)數(shù)運(yùn)算法則是在化為同底的情況下進(jìn)行的，因此，經(jīng)常會(huì)用到換底公式及其推論；在對(duì)含有字母的對(duì)數(shù)式化簡時(shí)，必須保證恒等變形2. (a>0且a1)是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問題的有效方法，在運(yùn)算中要注意靈活運(yùn)用3.利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，在真數(shù)的積、商、冪與對(duì)數(shù)的和、差、倍之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化4.有限制條件的對(duì)數(shù)化簡、求值問題，往往要化簡已知和所求，利用“代入法”.【觸類旁通】【變式一】【2017北京】根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與最接近的是（ ）（參考數(shù)據(jù)：lg30.48）（A）1033 （B）1053（C）1073 （D）1093【答案】D【變式二】【2018屆浙江省寧波市高三上期末】已知，則_【答案】2【解析】 ， ， ，故答案為.【變式三】【2017屆浙江省麗水市高三下學(xué)期測(cè)試】計(jì)算： _； 三個(gè)數(shù)最大的是_【答案】 【解析】；,因此最大的數(shù)是.考點(diǎn)2 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)及其應(yīng)用【2-1】【2018屆湖南省張家界市高三第三次?！吭谕恢苯亲鴺?biāo)系中，函數(shù)， （，且）的圖象大致為（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】由題意，當(dāng)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，若時(shí)，函數(shù)與的零點(diǎn)，且函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)；若時(shí)，函數(shù)與的零點(diǎn)，且函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù).綜上得，正確答案為A.【2-2】【2018屆河南省南陽市第一中學(xué)第十四次考】函數(shù)，則使得成立的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先判斷出偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，然后根據(jù)對(duì)稱性將函數(shù)不等式化為絕對(duì)值不等式求解詳解：由題意知函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，兩邊平方后化簡得且，解得或，故使不等式成立的取值范圍是故選B【2-3】【2018年天津卷理】已知，則a，b，c的大小關(guān)系為A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由題意結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：，據(jù)此可得：.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：對(duì)于指數(shù)冪的大小的比較，我們通常都是運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時(shí)候，因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較這就必須掌握一些特殊方法在進(jìn)行指數(shù)冪的大小比較時(shí)，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷對(duì)于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準(zhǔn)確【2-4】已知函數(shù)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ( )A B C D【答案】D【解析】在時(shí)，是增函數(shù)，值域?yàn)?，在時(shí)，是減函數(shù)，值域是，因此方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則有.【2-5】【2017課標(biāo)1】已知函數(shù)，則A在（0，2）單調(diào)遞增B在（0，2）單調(diào)遞減Cy=的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱 Dy=的圖像關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱【答案】C【領(lǐng)悟技法】1. 的底數(shù)變化，其圖象具有如下變化規(guī)律：（1）上下比較：在直線的右側(cè)，時(shí)，底大圖低（靠近軸）；時(shí)，底大圖高（靠近軸）（2）左右比較（比較圖象與的交點(diǎn)）：交點(diǎn)橫坐標(biāo)越大，對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大.2. 涉及對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域問題，要考慮底數(shù)大于零且不為1，真數(shù)大于零3.涉及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性問題，要注意底數(shù)的不同取值情況4. 比較兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小，若同底數(shù)，考慮應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性；若底數(shù)不同，首先化同底數(shù).5.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、值域問題，要考慮底數(shù)大于零且不為1，真數(shù)大于零6.數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，是本節(jié)的一突出特點(diǎn)【觸類旁通】【變式一】【2018屆四川省南充市三診】在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象都正確的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的對(duì)稱性可得解.詳解：因?yàn)椋?所以函數(shù)單調(diào)遞減，排除B，D.與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱.排除A.故選A.【變式二】【2017天津，理6】已知奇函數(shù)在R上是增函數(shù)，.若，則a，b，c的大小關(guān)系為（A）（B）（C）（D）【答案】 【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)且在上是增函數(shù)，所以在時(shí)，從而是上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，又，則，所以即，所以，故選C【變式三】【2017河南（中原名校）模擬】若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是，則（ ）A. B. C. D. 以上都不對(duì)【答案】C【解析】【變式四】【2017課標(biāo)II】函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是A. B. C. D. 【答案】D【解析】函數(shù)有意義，則： ，解得： 或 ，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)同增異減的原則可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 .故選D.【變式五】【2018屆福建省泉州市第二次（5月）質(zhì)量檢查】已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根據(jù)偶函數(shù)的定義，以及f（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，這樣根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義以及冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤，從而選出正確選項(xiàng)詳解：f（x）為偶函數(shù)，且在（0，+）上單調(diào)遞增；Af（3e）=f（3e），且2e3e；f（2e）f（3e）；f（2e）f（3e），該選項(xiàng)錯(cuò)誤；Bf（e3）=f（e3），且e2e3；f（e2）f（e3）；f（e2）f（e3），該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.，；f（x）是偶函數(shù)，且在（0，+）上單調(diào)遞增；f（x）在（，0）上單調(diào)遞減；，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.，；，該選項(xiàng)正確故答案為：D【易錯(cuò)試題常警惕】易錯(cuò)典例：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A(3，) B(，1)C(，1)(3，) D(0，)易錯(cuò)分析：解答本題，易于因?yàn)楹鲆暫瘮?shù)的定義域，而導(dǎo)致錯(cuò)誤而函數(shù)在(0，)上是減函數(shù)，的單調(diào)遞減區(qū)間為(3，)，單調(diào)遞增區(qū)間為(，1)溫馨提醒：(1)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，遵循“同增異減”；(2)注意遵循“定義域優(yōu)先”的原則.【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休數(shù)形結(jié)合思想我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過:"數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。""數(shù)"與"形"反映了事物兩個(gè)方面的屬性。我們認(rèn)為，數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形"即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.向量的幾何表示，三角形、平行四邊形法則，使向量具備形的特征，而向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運(yùn)算又具備數(shù)的特征，因此，向量融數(shù)與形于一身，具備了幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”.因此，在應(yīng)用向量解決問題或解答向量問題時(shí)，要注意恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將復(fù)雜問題簡單化、將抽象問題具體化，達(dá)到事半功倍的效果.【典例】【2017浙江溫州中學(xué)3月模擬】已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷正確的是（ ）A. 當(dāng)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)B. 無論為何值，均有2個(gè)零點(diǎn)C. 當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)D. 無論為何值，均有4個(gè)零點(diǎn)【答案】A【解析】畫出函數(shù)的圖像如圖，結(jié)合圖像可知：由題設(shè)可得若，則問題轉(zhuǎn)化為存在多少個(gè)的值使得函數(shù)值，且使得。則當(dāng)時(shí)，因與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，即函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，存在唯一與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足使得，故函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，分別存在兩個(gè)值使得與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足題設(shè)，故函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn).應(yīng)選答案A.。