第1講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)考情考向分析1.以圖象為載體，考查三角函數(shù)的最值、單調(diào)性、對(duì)稱性、周期性.2.考查三角函數(shù)式的化簡、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、角的求值，重點(diǎn)考查分析、處理問題的能力，是高考的必考點(diǎn)熱點(diǎn)一三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式及同角關(guān)系式例1(1)已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的正半軸重合，若它的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2，1)，則tan_.答案7解析由角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的正半軸重合，若它的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)，可得x2，y1，tan ，tan 2，tan7.(2)已知曲線f(x)x32x2x在點(diǎn)(1，f(1)處的切線的傾斜角為，則cos22cos23sin(2)cos()的值為_答案解析由f(x)x32x2x可知f(x)3x24x1，tan f(1)2，cos22cos23sincos(sin )22cos23sin cos sin22cos23sin cos .思維升華(1)涉及與圓及角有關(guān)的函數(shù)建模問題(如鐘表、摩天輪、水車等)，常常借助三角函數(shù)的定義求解應(yīng)用定義時(shí)，注意三角函數(shù)值僅與終邊位置有關(guān)，與終邊上點(diǎn)的位置無關(guān)(2)應(yīng)用誘導(dǎo)公式時(shí)要弄清三角函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)；利用同角三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行化簡的過程要遵循一定的原則，如切化弦、化異為同、化高為低、化繁為簡等跟蹤演練1(1)在平面直角坐標(biāo)系中，若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P，則sin()_.答案解析由誘導(dǎo)公式可得，sinsinsin，coscoscos，即P，由三角函數(shù)的定義可得，sin ，則sinsin .(2)已知sin(3)2sin，則_.答案解析sin(3)2sin，sin 2cos ，即sin 2cos ，則.熱點(diǎn)二三角函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2(1)(2018江蘇揚(yáng)州中學(xué)模擬)函數(shù)ycos(2x)()的圖象向右平移個(gè)單位長度后，與函數(shù)ysin的圖象重合，則_.答案解析ycos(2x)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，得到y(tǒng)cossinsinsin，2k，kZ，又，.(2)函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)在區(qū)間上的值域?yàn)?,2，則_.答案解析由函數(shù)f(x)的圖象可知，A2，解得T，所以2，即f(x)2sin(2x)，當(dāng)x時(shí)，f2sin0，又|<，解得，所以f(x)2sin，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，所以g(x)2sin2cos 2x，若函數(shù)g(x)在區(qū)間上的值域?yàn)?,2，則2cos 21，則k，kZ，或k，kZ，所以.思維升華(1)已知函數(shù)yAsin(x)(A>0，>0)的圖象求解析式時(shí)，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或特殊點(diǎn)求A；由函數(shù)的周期確定；確定常根據(jù)“五點(diǎn)法”中的五個(gè)點(diǎn)求解，其中一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口，可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置(2)在圖象變換過程中務(wù)必分清是先相位變換，還是先周期變換變換只是相對(duì)于其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個(gè)系數(shù)提取后再確定變換的單位長度數(shù)和方向跟蹤演練2(1)將函數(shù)y3sin的圖象向左平移個(gè)單位長度后，所在圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為_答案y3sin解析把函數(shù)y3sin的圖象向左平移個(gè)單位長度，所得圖象的解析式是y3sin3sin.(2)函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖象如圖所示，則_；函數(shù)f(x)在區(qū)間上的零點(diǎn)為_答案2解析從圖中可以發(fā)現(xiàn)，相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，從而求得函數(shù)的最小正周期為T2，根據(jù)T可求得2.再結(jié)合題中的條件可以求得函數(shù)的解析式為f(x)2sin，令2xk(kZ)，解得x(kZ)，結(jié)合所給的區(qū)間，整理得出x.熱點(diǎn)三三角函數(shù)的性質(zhì)例3已知函數(shù)f(x)4cos xsin(>0)的最小正周期是.(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求f(x)在上的最大值和最小值解(1)f(x)4cos xsin4cos x2sin xcos x2cos2x11sin 2xcos 2x12sin1，因?yàn)樽钚≌芷谑?，所?，從而f(x)2sin1.令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，所以函數(shù)f(x)在(0，)上的單調(diào)遞增區(qū)間為和.(2)當(dāng)x時(shí)，2x，2sin，所以f(x)在上的最大值和最小值分別為1，1.思維升華函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)及應(yīng)用類題目的求解思路第一步：先借助三角恒等變換及相應(yīng)三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成yAsin(x)B的形式；第二步：把“x”視為一個(gè)整體，借助復(fù)合函數(shù)性質(zhì)求yAsin(x)B的單調(diào)性及奇偶性、最值、對(duì)稱性等問題跟蹤演練3(1)(2018江蘇泰州中學(xué)調(diào)研)若函數(shù)f(x)sin(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，且在y軸右側(cè)的第一個(gè)極值點(diǎn)為x，則f_.答案解析由題意得f(x)為奇函數(shù)，0，又f1，(>0)，3，fsin.(2)已知x，則函數(shù)f(x)cos 2xsin xsincos2x的最小值為_答案解析因?yàn)閒(x)cos 2xsin xsincos2x，所以f(x)2sin2xsin xcos2xsin2x21.設(shè)tsin x，則y21.因?yàn)閤，所以t1.又函數(shù)y21在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t時(shí)，y21取得最小值，且ymin21，即函數(shù)f(x)的最小值為.1(2018全國)已知函數(shù)f(x)2sin xsin 2x，則f(x)的最小值是_答案解析f(x)2cos x2cos 2x2cos x2(2cos2x1)2(2cos2xcos x1)2(2cos x1)(cos x1)cos x10，當(dāng)cos x<時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)cos x>時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)cos x時(shí)，f(x)有最小值又f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)，當(dāng)sin x時(shí)，f(x)有最小值，即f(x)min2.2(2016江蘇)定義在區(qū)間0,3上的函數(shù)ysin 2x的圖象與ycos x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是_答案7解析在區(qū)間0,3上分別作出ysin 2x和ycos x的簡圖如下：由圖象可得兩圖象有7個(gè)交點(diǎn)3(2018江蘇)已知函數(shù)ysin(2x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，則的值為_答案解析由題意得fsin1，k，kZ，k，kZ.，取k0，得.4(2018全國)函數(shù)f(x)cos在0，上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_答案3解析由題意可知，當(dāng)3xk(kZ)時(shí)，f(x)cos0.x0，3x，當(dāng)3x的取值為，時(shí)，f(x)0，即函數(shù)f(x)cos在0，上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.5(2018江蘇溧陽中學(xué)聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)Acos(x)的部分圖象如圖所示，f，則f(0)_.答案解析由題圖知，T，3.又fA，cos1，2k，kZ，可取，fAcos，A，f(0)cos.6如圖，函數(shù)f(x)Asin(x) 與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)P，Q，R滿足P(2,0)，PQR，M為QR的中點(diǎn)，PM2，則A的值為_答案解析由題意設(shè)Q(a,0)，R(0，a)(a>0)則M，由兩點(diǎn)間距離公式，得PM2，解得a18，a24(舍去)，由此得826，即T12，故，由P(2,0)及|，得，代入f(x)Asin(x)，得f(x)Asin，從而f(0)Asin8，得A.7(2018江蘇海安高級(jí)中學(xué)模擬)若函數(shù)f(x)2sin(x)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，M，N分別是這段圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為1,7.記點(diǎn)P(2，f(2)，點(diǎn)Q(5，f(5)，則的值為_答案4解析由題圖知T12，又f(1)2，sin1，2k，kZ.又|<，f(x)2sin，f(2)，f(5)1，P(2，)，Q(5，1)，(1，2)(2,1)4.A組專題通關(guān)1點(diǎn)P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓x2y21逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長到達(dá)Q點(diǎn)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_答案解析設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，y)，則xcos，ysin .點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.2已知tan 2，且<<，則sin cos _.答案解析因?yàn)閠an 2，且<<，sin2cos21，故sin ，cos ，所以sin cos .3若函數(shù)f(x)sin(>0)的最小正周期為，則f的值是_答案解析T，2，fsinsin .4(2018南通市通州區(qū)模擬)將函數(shù)f(x)2sin的圖象向左平移(>0)個(gè)單位長度，若所得到圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值為_答案解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)2sin的圖象向左平移(>0)個(gè)單位長度得g(x)2sin，所以2k(kZ)，所以(kZ)，因?yàn)?gt;0，所以min.5.已知函數(shù)f(x)sin x2cos21(>0)，將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長度，所得函數(shù)g(x)的部分圖象如圖所示，則的值為_答案解析f(x)sin x2cos21sin xcos x2sin，則g(x)2sin2sin.由題圖知T2，2，g(x)2sin，則g2sin2sin2，即22k，kZ，k，kZ.又0<<，的值為.6已知函數(shù)f(x)2sin(x)，f(x1)2，f(x2)0，若|x1x2|的最小值為，且f1，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為_答案，kZ解析由f(x1)2，f(x2)0，且|x1x2|的最小值為，可知，T2，又f1，則2k，kZ，0<<，f(x)2sin.令2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ.7(2017全國改編)設(shè)函數(shù)f(x)cos，則下列結(jié)論正確的是_(填序號(hào))f(x)的一個(gè)周期為2；yf(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱；f(x)的一個(gè)零點(diǎn)為x；f(x)在上單調(diào)遞減答案解析因?yàn)閒(x)cos的周期為2k(kZ)，所以f(x)的一個(gè)周期為2，正確；因?yàn)閒(x)cos圖象的對(duì)稱軸為直線xk(kZ)，所以yf(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，正確；f(x)cos.令xk(kZ)，得xk，當(dāng)k1時(shí)，x，所以f(x)的一個(gè)零點(diǎn)為x，正確；因?yàn)閒(x)cos的單調(diào)減區(qū)間為(kZ)，單調(diào)增區(qū)間為(kZ)，所以f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，錯(cuò)誤8設(shè)函數(shù)f(x)(xR)滿足f(x)f(x)sin x，當(dāng)<x0時(shí)，f(x)0，則f_.答案解析f(x)f(x)sin x，f(x)f(x)sin x，則f(x)f(x)sin(x)f(x)sin x.f(x)f(x)，即f(x2)f(x)函數(shù)f(x)的周期為2，ffffsin.當(dāng)<x0時(shí)，f(x)0，f0sin.9(2018揚(yáng)州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)14cos x4sin2x，x，則f(x)的值域?yàn)開答案4,5解析f(x)14cos x4sin2x14cos x4(1cos2x)4cos2x4cos x3424，因?yàn)閤，所以cos x，所以4244,5，故函數(shù)的值域?yàn)?,510已知向量m(sin x,1)，n(cos x，cos2x1)，設(shè)函數(shù)f(x)mnb.(1)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，且當(dāng)0,3時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)在(1)的條件下，當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍解m(sin x,1)，n(cos x，cos2x1)，f(x)mnbsin xcos xcos2x1bsin 2xcos 2xbsinb.(1)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，2k(kZ)，解得3k1(kZ)，0,3，1，f(x)sinb，由2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(kZ)(2)由(1)知，f(x)sinb，x，2x，當(dāng)2x，即x時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)2x，即x時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減又f(0)f，當(dāng)f>0f或f0時(shí)，函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即sinb<sin或1b0，b的取值范圍為.B組能力提高11.如圖，單位圓O與x軸的正半軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)C，B在圓O上，且點(diǎn)C位于第一象限，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，AOC，若BC1，則cos2sin cos 的值為_答案解析點(diǎn)B的坐標(biāo)為，設(shè)AOB，sin(2)，cos(2)，即sin ，cos ，AOC，BC1，則，則cos2sin cos cos sin coscossin .12函數(shù)y2sin(0x9)的最大值與最小值之差為_答案2解析因?yàn)?x9，所以，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)y2sin取得最大值，即ymax212.當(dāng)時(shí)，函數(shù)y2sin取得最小值，即ymin2sin，因此y2sin(0x9)的最大值與最小值之差為2.13已知函數(shù)f(x)3sin(>0)和g(x)3cos(2x)的圖象的對(duì)稱中心完全相同，若x，則f(x)的取值范圍是_答案解析由兩個(gè)三角函數(shù)圖象的對(duì)稱中心完全相同可知，兩函數(shù)的周期相同，故2，所以f(x)3sin，那么當(dāng)x時(shí)，2x，所以sin1，故f(x).14(2018株洲質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)2sin(x)1，其圖象與直線y3相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，若f(x)>2對(duì)x恒成立，則的取值范圍是_答案解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)2sin(x)1，其圖象與直線y3相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，所以函數(shù)周期為T，2，當(dāng)x時(shí)，2x，且|，由f(x)>2知，sin(2x)>，所以解得.