第4講幾何證明選講、不等式選講考情考向分析1.考查三角形及相似三角形的判定與性質(zhì)；圓的相交弦定理，切割線(xiàn)定理； 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定，屬B級(jí)要求.2.考查含絕對(duì)值的不等式解法、不等式證明的基本方法、利用不等式性質(zhì)求最值以及幾個(gè)重要不等式的應(yīng)用，屬B級(jí)要求熱點(diǎn)一三角形相似的判定及應(yīng)用例1(2018徐州模擬)如圖， AB是圓O的直徑，弦BD, CA的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)E, EF垂直BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.求證： AB2BEBDAEAC.證明連結(jié)AD，BC，因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以ADBD，又EFAB，則A，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，所以BDBEBABF.又ABCAEF，所以，即ABAFAEAC，所以BEBDAEACBABFABAFABAB2.思維升華在證明線(xiàn)段的乘積相等時(shí)，通常用三角形相似或圓的切割線(xiàn)定理同時(shí)，要注意等量的代換跟蹤演練1如圖，AB和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D，C，AC經(jīng)過(guò)圓心O，且BC2OC.求證：AC2AD.證明連結(jié)OD.因?yàn)锳B和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D，C，所以ADOACB90.又因?yàn)锳A，所以RtADORtACB.所以.又BC2OC2OD，故AC2AD.熱點(diǎn)二圓有關(guān)定理、性質(zhì)的應(yīng)用例2(2018江蘇南京師大附中模擬)在A(yíng)BC中，已知ACAB，CM是ACB的角平分線(xiàn)，AMC的外接圓交BC邊于點(diǎn)N，求證：BN2AM.證明如圖，在A(yíng)BC中，因?yàn)镃M是ACB的角平分線(xiàn)，所以.又ACAB，所以，因?yàn)锽A與BC是圓O過(guò)同一點(diǎn)B的弦，所以BMBABNBC，即由可知，所以BN2AM.思維升華本題使用三角形內(nèi)角平分線(xiàn)定理和圓的切割線(xiàn)定理，靈活進(jìn)行等量代換，較好體現(xiàn)了化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想跟蹤演練2(1)(2018南通、徐州、揚(yáng)州等六市模擬)如圖，A，B，C是O上的3個(gè)不同的點(diǎn)，半徑OA交弦BC于點(diǎn)D.求證： DBDCOD2OA2.證明如圖，延長(zhǎng)AO交O于點(diǎn)E，則DBDCDEDA.OEOA，DBDCOA2OD2.DBDCOD2OA2.(2)(2018江蘇鹽城中學(xué)模擬)如圖，過(guò)點(diǎn)A的圓與BC切于點(diǎn)D，且與AB，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn).已知AD為BAC的平分線(xiàn)求證： EFBC.證明如圖，連結(jié)ED.因?yàn)閳A與BC切于D，所以BDEBAD.因?yàn)锳D平分BAC.所以BADDAC.又DACDEF，所以BDEDEF.所以EFBC.熱點(diǎn)三不等式的證明例3(1)(2018南通、徐州、揚(yáng)州等六市模擬)已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且abc，求證： 2.證明a, b, c為正實(shí)數(shù)，2(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取“”)故原式成立(2)已知x0，y0，證明：(1xy2)(1x2y)9xy.證明因?yàn)閤0，y0，所以1xy230,1x2y30，故(1xy2)(1x2y)339xy.當(dāng)且僅當(dāng)xy1時(shí)，等號(hào)成立思維升華證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等；依據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，也可以直接使用柯西不等式進(jìn)行證明跟蹤演練3已知ab0，求證：2a3b32ab2a2b.證明2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因?yàn)閍b0，所以ab0，ab0,2ab0，從而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.熱點(diǎn)四 柯西不等式例4(1)(2018淮安等四市模擬)已知a，b，c，d都是正實(shí)數(shù)，且abcd1，求證： .證明(1a)(1b)(1c)(1d)2(abcd)21，當(dāng)且僅當(dāng)abcd時(shí)，等號(hào)成立又(1a)(1b)(1c)(1d)5，.(2)(2018南京模擬)已知a，b，c，且abc1，求的最大值解因?yàn)?121212)()2()2()2(111)2，即()29(abc)因?yàn)閍bc1，所以()29, 所以3，當(dāng)且僅當(dāng)，即abc時(shí)等號(hào)成立所以的最大值為3.思維升華利用柯西不等式證明不等式或求最值時(shí)，要先根據(jù)柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征對(duì)式子變形，使之與柯西不等式有相似的結(jié)構(gòu)跟蹤演練4(2018江蘇丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué)模擬)已知正數(shù)x，y，z滿(mǎn)足xyz4，求z2的最小值解由柯西不等式得， 2 2 16，所以z2，當(dāng)且僅當(dāng)，即x，y，z時(shí)取“”所以z2的最小值為.1(2018江蘇)如圖，圓O的半徑為2，AB為圓O的直徑，P為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)P作圓O的切線(xiàn)，切點(diǎn)為C.若PC2，求BC的長(zhǎng)證明如圖，連結(jié)OC.因?yàn)镻C與圓O相切，所以O(shè)CPC.又因?yàn)镻C2，OC2，所以O(shè)P4.又因?yàn)镺B2，從而B(niǎo)為RtOCP斜邊的中點(diǎn)，所以BC2.2(2018江蘇)若x，y，z為實(shí)數(shù)，且x2y2z6，求x2y2z2的最小值證明由柯西不等式，得(x2y2z2)(122222)(x2y2z)2.因?yàn)閤2y2z6，所以x2y2z24，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式取等號(hào)，此時(shí)x，y，z，所以x2y2z2的最小值為4.3(2017江蘇)如圖，AB為半圓O的直徑，直線(xiàn)PC切半圓O于點(diǎn)C，APPC，P為垂足求證：(1)PACCAB；(2)AC2APAB.證明(1)因?yàn)镻C切半圓O于點(diǎn)C，所以PCACBA，因?yàn)锳B為半圓O的直徑，所以ACB90，因?yàn)锳PPC，所以APC90.因此PACCAB.(2)由(1)知PACCAB，故，即AC2APAB.4(2017江蘇)已知a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且a2b24，c2d216，證明：acbd8.證明由柯西不等式，得(acbd)2(a2b2)(c2d2)，因?yàn)閍2b24，c2d216，所以(acbd)264，因此acbd8.1(2018蘇錫常鎮(zhèn)四市調(diào)研)如圖所示，AB為O的直徑，AE平分BAC交O于E點(diǎn)，過(guò)E作O的切線(xiàn)交AC于點(diǎn)D，求證：ACDE.證明連結(jié)OE，因?yàn)镋D是O切線(xiàn)，所以O(shè)EED.因?yàn)镺AOE，所以1OEA.又因?yàn)?2，所以2OEA，所以O(shè)EAC，所以ACDE.2.如圖，在A(yíng)BC中，ABAC，ABC的外接圓O的弦AE交BC于點(diǎn)D.求證：ABDAEB.證明因?yàn)锳BAC，所以ABDC.又因?yàn)镃E，所以ABDE，又BAE為公共角，可知ABDAEB.3如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓上位于A(yíng)B異側(cè)的兩點(diǎn)，連結(jié)BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使BDDC，連結(jié)AC，AE，DE.求證：EC.證明連結(jié)OD，因?yàn)锽DDC，O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)DAC，于是ODBC.因?yàn)镺BOD，所以O(shè)DBB，于是BC.因?yàn)辄c(diǎn)A，E，B，D都在圓O上，且D，E為圓O上位于A(yíng)B異側(cè)的兩點(diǎn)，所以E和B為同弧所對(duì)的圓周角，故EB.所以EC.4解不等式x|2x3|2.解原不等式可化為或解得x5或x.綜上，原不等式的解集是.5(2018江蘇南京師大附中模擬)已知a>0，b>0，ab1，求證：.證明方法一因?yàn)閍0，b0，ab1，所以(2a1)(2b1)14529.而(2a1)(2b1)4，所以.當(dāng)且僅當(dāng)即a，b時(shí)，等號(hào)成立方法二因?yàn)閍0，b0，由柯西不等式得(2a1)(2b1)2(12)29.由ab1，得 (2a1)(2b1)4，所以.當(dāng)且僅當(dāng)即a，b時(shí)等號(hào)成立6(2016江蘇)設(shè)a0，|y2|，求證：|2xy4|a.證明由a0，|x1|可得|2x2|，又|y2|，|2xy4|(2x2)(y2)|2x2|y2|a.即|2xy4|a.7(2018全國(guó)大聯(lián)考江蘇卷)如圖，AD，BC，CD是以AB為直徑的圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，P，AC和BD交于Q點(diǎn)求證：PQAB.證明AD，BC是以AB為直徑的圓的切線(xiàn)，ADAB，BCAB，ADBC，CQBAQD，.又DA，DP是以AB為直徑的圓的切線(xiàn)，DADP，同理，CPCB，PQDA，又DAAB，PQAB.8已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x23y21，求當(dāng)xy取最大值時(shí)x的值解由柯西不等式，得x2(y)22，即(x23y2)(xy)2.而x23y21，所以(xy)2，所以xy， 由得所以當(dāng)且僅當(dāng)x，y時(shí)，(xy)max.所以當(dāng)xy取最大值時(shí)x的值為.