第05節(jié) 導數(shù)的綜合應用A基礎鞏固訓練1.定義在區(qū)間0,1上的函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，以為頂點的ABC的面積記為函數(shù)S(x)，則函數(shù)S(x)的導函數(shù)的大致圖象為（ ）【答案】D【解析】因為 底邊長一定，點由到的過程中，當與 、 共線時不能組成三角形，所以函數(shù)與其導函數(shù)都不連續(xù)，故排除選項、，又點由到的過程中面積先增后減，再增再減，因此導函數(shù)應該先正后負，再正再負，所以選項D符合題意，故選D.2.【2018屆湖南省湘潭市四?！恳阎x在上的奇函數(shù)滿足（），則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根據(jù)條件的結構特點構造函數(shù)，利用導數(shù)以及已知條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后轉化求解即可詳解：設g（x）=，定義在R上的奇函數(shù)f（x），所以g（x）是奇函數(shù)，x0時，g（x）=，因為函數(shù)f（x）滿足2f（x）xf（x）0（x0），所以g（x）0，所以g（x）是增函數(shù)，g（）=，可得：故選：B3.已知是定義在上的偶函數(shù)，其導函數(shù)為,若 ，且，則不等式的解集為（ ）A B C. D【答案】A【解析】可取特殊函數(shù)，故選A.4.定義在上的函數(shù)，是它的導函數(shù)，且恒有成立，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：把給出的等式變形得到，由此聯(lián)想構造輔助函數(shù),由其導函數(shù)的符號得到其在上為增函數(shù)，則，整理就得到答案.5.【2018屆四川省沖刺演練（一）】已知函數(shù)，則函數(shù)的零點的個數(shù)為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根據(jù)與時的解析式，分別判斷出函數(shù)的單調(diào)性，即可得出函數(shù)零點及其范圍，再結合函數(shù)的圖象即可得出函數(shù)的零點的個數(shù).詳解：當時，則.當時，；當時，.在時取得極大值為3，函數(shù)在，上各有1個零點當時，的零點為2和3.由，得或或或，其中，.結合函數(shù)的圖象可知，方程的解的個數(shù)為2，方程的解的個數(shù)為1，方程的解的個數(shù)為3，方程的解的個數(shù)為2.函數(shù)的零點的個數(shù)為8個B能力提升訓練1【2018屆寧夏銀川一中三模】設函數(shù)是定義在上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，且有，則不等式 的解集為A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根據(jù)題意，設g（x）=x2f（x），x0，求出導數(shù)，分析可得g（x）0，則函數(shù)g（x）在區(qū)間（，0）上為減函數(shù)，結合函數(shù)g（x）的定義域分析可得：原不等式等價于，解可得x的取值范圍，即可得答案詳解：根據(jù)題意，設g（x）=x2f（x），x0，其導數(shù)g（x）=x2f（x）=2xf（x）+x2f（x）=x（2f（x）+xf（x），又由2f（x）+xf（x）x20，且x0，則g（x）0，則函數(shù)g（x）在區(qū)間（，0）上為減函數(shù)，（x+2018）2f（x+2018）4f（2）0（x+2018）2f（x+2018）（2）2f（2）g（x+2018）g（2），又由函數(shù)g（x）在區(qū)間（，0）上為減函數(shù)，則有，解可得：x2020，即不等式（x+2018）2f（x+2018）4f（2）0的解集為（，2020）；故選：B2設函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是（ ）A B C D【答案】D3已知定義在上的函數(shù)滿足：函數(shù)的圖象關于直線對稱，且當成立(是函數(shù)的導函數(shù)), 若，, 則的大小關系是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A【解析】函數(shù)的圖象關于直線對稱，關于軸對稱， 函數(shù)為奇函數(shù). 因為， 當時，函數(shù)單調(diào)遞減， 當時，函數(shù)單調(diào)遞減.， ，故選A.4.【2018屆福建省寧德市5月檢查】已知定義在上的函數(shù)滿足且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為_ 【答案】【解析】分析：求出f（x）的解析式為f（x）=ex，結合函數(shù)圖象即可得出a的范圍詳解：0，f（x）為增函數(shù)，f（f（x）ex）=1，存在唯一一個常數(shù)x0，使得f（x0）=1，f（x）ex=x0，即f（x）=ex+x0，令x=x0可得+x0=1，x0=0，故而f（x）=ex，f（x）ax+a恒成立，即exa（x+1）恒成立y=ex的函數(shù)圖象在直線y=a（x+1）上方，不妨設直線y=k（x+1）與y=ex的圖象相切，切點為（x0，y0），則，解得k=1當0a1時，y=ex的函數(shù)圖象在直線y=a（x+1）上方，即f（x）ax+a恒成立，：故答案為：0，15已知函數(shù)，（）討論函數(shù)的單調(diào)性；（）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍【答案】（）當時，上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（）【解析】（） 當上單調(diào)遞減； 當.函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 綜上：當上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（）當由（）得上單調(diào)遞減，函數(shù)不可能有兩個零點；當a>0時，由（）得，且當x趨近于0和正無窮大時，都趨近于正無窮大，故若要使函數(shù)有兩個零點，則的極小值，即，解得,綜上所述，的取值范圍是 C 思維拓展訓練1【浙江省寧波市六校2017-2018學年高二下學期期末聯(lián)考】已知函數(shù)，為常數(shù)（）若時，已知在定義域內(nèi)有且只有一個極值點，求的取值范圍；（）若，已知，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2） （），法1： 因，恒成立，則內(nèi)，先必須遞增，即先必須，即先必須，因其對稱軸，有圖知（此時在 ），所以 法2： 因，所以，所以， 令，因， ，所以遞增，所以， 點睛：本題考查了含有參量的導數(shù)極值問題和恒成立問題，在解答此類題目時將參數(shù)代入，然后根據(jù)題意進行轉化，結合導數(shù)的單調(diào)性進行證明，本題有一定難度. 2.【浙江省麗水市2017-2018學年高二下學期期末】已知函數(shù),（）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（）證明:；（）當時，恒成立，求實數(shù)的值.【答案】(1) f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)證明見解析.(3) .【解析】分析：() 求導，由，即可得到函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間； () 記h(x)f(x) g(x),設法證明，即可證明 . () 由題即易證,當時取到等號，由 得,由此可求的值.詳解： () 因為由，得所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是. () 記h(x)f(x) g(x),所以在R上為減函數(shù)因為所以存在唯一，使即，,當時，；當時，.所以 所以 . () 因為,所以,易證,當時取到等號，由 得,所以即. 3【2018屆浙江省臺州中學模擬】已知函數(shù)，（1）求曲線在點處的切線方程；（2）當時，求證：.【答案】(1)；(2)證明見解析.（2）當時，令，所以在上單調(diào)遞增，且，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以.點睛：該題考查的是有關導數(shù)的定義和應用導數(shù)證明不等式的問題，在解題的過程中，注意曲線在某個點處的切線方程的求解步驟，以及應用導數(shù)證明不等式恒成立的解題思路，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，通過最值所滿足的條件，求得結果.4【2018屆浙江省杭州市第二中學6月熱身】已知函數(shù).（）求曲線在點處的切線方程；（）求證：.【答案】(1).(2)證明見解析.【解析】分析：（）先求，再求切線的斜率即可得到曲線在處的切線.（）要證，只要，而，故應考慮在上的零點，又，此方程在僅有一個根且為的最小值點，所以待證成立，可估算，故成立.詳解：（）所以，則切線方程為.（）令，則，設的兩根為，由于，不妨設，則在是遞減的，在是遞增的.而，所在上存在唯一零點，且，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.所以，因為，,，所以.點睛：解決曲線的切線問題，核心是切點的橫坐標，因為函數(shù)在橫坐標處的導數(shù)就是切線的斜率.函數(shù)不等式的證明，可歸結為函數(shù)的最值來處理，有時最小值點難以計算時，須估算最小值點的范圍.5【2018年浙江卷】已知函數(shù)f(x)=lnx（）若f(x)在x=x1，x2(x1x2)處導數(shù)相等，證明：f(x1)+f(x2)>88ln2；（）若a34ln2，證明：對于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點【答案】（）見解析 （）見解析詳解：（）函數(shù)f（x）的導函數(shù)，由得，因為，所以由基本不等式得因為，所以由題意得設，則，所以x（0，16）16（16，+）-0+2-4ln2所以g（x）在256，+）上單調(diào)遞增，故，即（）令m=，n=，則f（m）kma>|a|+kka0，f（n）kna<<0，所以，存在x0（m，n）使f（x0）=kx0+a，所以，對于任意的aR及k（0，+），直線y=kx+a與曲線y=f（x）有公共點由f（x）=kx+a得設h（x）=，則h（x）=，其中g（x）=由（）可知g（x）g（16），又a34ln2，故g（x）1+ag（16）1+a=3+4ln2+a0，所以h（x）0，即函數(shù)h（x）在（0，+）上單調(diào)遞減，因此方程f（x）kxa=0至多1個實根綜上，當a34ln2時，對于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f（x）有唯一公共點 點睛：利用導數(shù)證明不等式常見類型及解題策略：(1)構造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關系，進而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉化為對應項之間大小關系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉化為一元函數(shù).