1.5 用樣本估計(jì)總體 教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)與技能（1） 理解樣本標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。（2）能根據(jù)實(shí)際問題的需要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差），并作合理的解釋。2、過程與方法在解決統(tǒng)計(jì)問題的過程中，進(jìn)一步體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想，理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和邏輯推理的數(shù)學(xué)思想方法。3、情感態(tài)度價(jià)值觀通過對(duì)樣本分析和總體估計(jì)的過程，感受數(shù)學(xué)對(duì)實(shí)際生活的需要，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)源于生活并指導(dǎo)生活的事實(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：利用樣本估計(jì)總體的數(shù)字特征。教學(xué)難點(diǎn): 樣本標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算。教學(xué)過程： 統(tǒng)計(jì)的基本思想就是用樣本估計(jì)總體，如何能更合理、更直觀，這里有兩種估計(jì)手段：用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布用樣本的數(shù)字特征（平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等）估計(jì)總體的數(shù)字特征。下面我們先來看第一種：（一）課題引入1895年，在英國倫敦有106塊男性頭蓋骨被挖掘出土。經(jīng)考證，頭蓋骨的主人死于16651666年之間的大瘟疫。人類學(xué)家分別測(cè)量了這些頭蓋骨的寬度，數(shù)據(jù)如下所示（單位mm）： 146 141 139 140 145 141 142 131 142 140 144 140138 139 147 139 141 137 141 132 140 140 141 143134 146 134 142 133 149 140 140 143 143 149 136141 143 143 141 138 136 138 144 136 145 143 137142 146 140 148 140 140 139 139 144 138 146 153148 152 143 140 141 145 148 139 136 141 140 139158 135 132 148 142 145 145 121 129 143 148 138149 146 141 142 144 137 153 148 144 138 150 148138 145 145 142 143 143 148 141 145 141請(qǐng)大家思考：用什么統(tǒng)計(jì)圖可以直觀表示上述數(shù)據(jù)的分布狀況？你能根據(jù)上述估計(jì)在16651666年之間英國男性頭蓋骨寬度的分布情況嗎？（二）探求新知問題1、我們學(xué)習(xí)了哪些統(tǒng)計(jì)圖？不同的統(tǒng)計(jì)圖適合描述什么樣的數(shù)據(jù)？問題2、這道題目，我們用什么統(tǒng)計(jì)圖描述比較合適？問題3、如何畫頻數(shù)分布條形圖？ 關(guān)鍵：確定組距和組數(shù)組距：把所有數(shù)據(jù)等距離地分成若干組，每個(gè)小組的兩個(gè)端點(diǎn)之間的距離（組內(nèi)數(shù)據(jù)的取值范圍）縱坐標(biāo)表示頻數(shù)，橫坐標(biāo)表示組距問題4、你能不能畫出給定數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖？基本步驟是什么？1、計(jì)算最大值和最小值的差；2、決定組距和組數(shù)，通常第一組起點(diǎn)稍微減小一點(diǎn)；組距：把所有數(shù)據(jù)等距離地分成若干組，每個(gè)小組的兩個(gè)端點(diǎn)之間的距離（組內(nèi)數(shù)據(jù)的取值范圍）3、列頻率分布表對(duì)落在各個(gè)小組內(nèi)的數(shù)據(jù)進(jìn)行累計(jì)，得到各個(gè)小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)（叫做頻數(shù)），再計(jì)算出每一組出現(xiàn)的頻率，整理可得頻率分布表；4、畫頻率分布直方圖縱坐標(biāo)表示頻率與組距的比值，小長方形的面積=組距頻率組距=頻率。由于各組頻率之比等于小矩形的面積之比，也等于各矩形的高度之比，所以我們畫頻率分布直方圖的時(shí)候，通常先確定高度最低的矩形，然后再按比例畫其它矩形。頻率分布直方圖中的每個(gè)小矩形的面積代表數(shù)據(jù)落在這個(gè)區(qū)域的頻率，所有小矩形的面積之和=1。頻率分布表和頻率分布直方圖，是從各個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度來表示數(shù)據(jù)分布的規(guī)律，可以讓我們更清楚地看到整個(gè)樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況（原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了）。問題5、你能根據(jù)上述數(shù)據(jù)估計(jì)在16651666年之間英國男性頭蓋骨寬度的分布情況嗎？解：如果把總體看作是16651666年之間英國男性頭蓋骨的寬度，就要通過上面出土得到的樣本信息來估計(jì)總體的分布情況。但從上面的數(shù)據(jù)很難直接估計(jì)出總體的分布情況，為此，先將以上數(shù)據(jù)按每個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)和頻率繪成表。寬度/mm頻數(shù)頻率寬度/mm頻數(shù)頻率12110.00914270.06612910.009143100.09413110.00914450.04713220.01914580.07513310.00914650.04713420.01914710.00913510.00914880.07513640.03814930.02813730.02815010.00913870.06615220.01913970.06615310.009140120.11315810.009141120.113從表格中，我們就能估計(jì)出總體大致的分布情況了，但是，這些關(guān)于分布情況的描述仍不夠形象，為了得到更為直觀的信息，可以再將表中的數(shù)據(jù)按照下面的方式分組：頻率分布表寬度分組頻數(shù)頻率頻率/組距120125mm10.0090.0018125130mm10.0090.0018130135mm60.0570.0114135140mm220.2080.0416140145mm460.4340.0868145150mm250.2360.0472150155mm40.0380.0076155160mm10.0090.0018從而得到頻數(shù)分布條形圖、頻率分布直方圖觀察直方圖，回答問題：（1）頭蓋骨的寬度位于哪個(gè)范圍的最多？140145mm（2）頭蓋骨的寬度位于140145mm的頻率約是多少？43.4%（3）頭蓋骨的寬度小于140mm的頻率約是多少？28.3%（4）頭蓋骨的寬度位于137142mm的頻率約是多少？。歸納總結(jié)：1、頻率分布表和頻率分布直方圖，是從各個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度來表示數(shù)據(jù)分布的規(guī)律，可以讓我們更清楚地看到整個(gè)樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況，但是，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了。2、畫頻率分布直方圖的步驟：（1）、計(jì)算一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，即求極差；（2）、決定組距與組數(shù)；（3）、將數(shù)據(jù)分組；（4）、列頻率分布表；（5）、畫頻率分布直方圖。問題6、當(dāng)數(shù)據(jù)的樣本量發(fā)生變化的時(shí)候，會(huì)對(duì)頻率分布直方圖有什么樣的影響？用什么方法能減少樣本容量對(duì)數(shù)據(jù)分布的影響?3、頻率分布折線圖在頻率分布直方圖中，按照分組原則，再在左邊和右邊各加一個(gè)區(qū)間。從所加左邊區(qū)間的中點(diǎn)開始，用線段依次連接頻率分布直方圖中各小長方形上段的中點(diǎn)，直至所加的右邊區(qū)間的中點(diǎn)就得到頻率分布折線圖。樣本容量越大，用樣本的頻率分布去估計(jì)總體的分布就越精確。當(dāng)樣本容量增大時(shí)，為使所得的頻率分布直方圖更好地反映總體的分布情況，我們往往將劃分的區(qū)間數(shù)相應(yīng)增多，每個(gè)區(qū)間的長度則會(huì)相應(yīng)減少，這樣得到的頻率折線圖也會(huì)越來越接近一條光滑的曲線總體密度曲線，這條曲線就反映了總體的分布情況?？傮w密度曲線與橫軸圍成的區(qū)域面積=1，并且總體在任意區(qū)間取值的概率等于該區(qū)域的面積。（三）知識(shí)應(yīng)用例1、為了了解高二學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖，圖中從左到右各小長方形面積之比為2:4:17:15:9:3，第二組頻數(shù)為12.（1）第二組的頻率是多少？樣本容量是多少？（2）若次數(shù)在110以上（含110次）為達(dá)標(biāo)，試估計(jì)該學(xué)校全體高二學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少？（3）在這次測(cè)試中，學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在哪個(gè)組內(nèi)？請(qǐng)說明理由。解：（1）由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各組內(nèi)的頻率大小，因此第二組的頻率為：；因?yàn)榈诙M頻率=第二組頻數(shù)樣本容量，所以樣本容量為；（2）由圖可估計(jì)該學(xué)校高二學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約為 ； （3）由已知可得各組的頻數(shù)依次為6,12,51,45,27,9，所以前三組的頻數(shù) 之和為69，前四組的頻數(shù)之和為114，所以跳繩次數(shù)的中位數(shù)落 在第四組內(nèi)。例2、某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為A配方和B配方）做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測(cè)量了每產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到時(shí)下面試驗(yàn)結(jié)果：A配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值分組90，94）94，98）98，102）102，106）106，110頻數(shù)82042228B配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值分組90，94）94，98）98，102）102，106）106，110頻數(shù)412423210（1）分別估計(jì)用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；（2）已知用B配方生產(chǎn)的一種產(chǎn)品利潤y（單位：元）與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為，計(jì)算生產(chǎn)100件B產(chǎn)品獲得的利潤。解析：（1）由試驗(yàn)結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)的平率為，所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.3。由試驗(yàn)結(jié)果知,用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為，所以用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.42。（2）用B配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中，其質(zhì)量指標(biāo)值落入?yún)^(qū)間的頻數(shù)分別為4，54，42，因此生產(chǎn)100件B產(chǎn)品獲得的利潤為4（-2）+542+424=268。（五）課堂小結(jié)1、這節(jié)課進(jìn)一步學(xué)習(xí)了頻率分布直方圖的畫法，并利用頻率分布直方圖估計(jì)數(shù)據(jù)的總體分布?？傮w分布指的是總體取值的頻率分布規(guī)律，由于總體分布不易知道，因此我們往往用樣本的頻率分布去估計(jì)總體的分布。2、總體密度曲線。