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1、第一章 函數(shù)與極限習(xí)題詳解 第一章 函數(shù)與極限 習(xí) 題 1-1 1．求下列函數(shù)的自然定義域： （1）； 解：依題意有，則函數(shù)定義域． （2）； 解：依題意有，則函數(shù)定義域． （3）； 解：依題意有，則函數(shù)定義域． （4）； 解：依題意有，則函數(shù)定義域． （5） 解：依題意有定義域． （6）. 解：依題意有，則函數(shù)定義域． 2．已知定義域?yàn)?，? ()的定義域． 解：因?yàn)槎x域?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，得函數(shù)的定義域?yàn)椋? 當(dāng)時(shí)，得函數(shù)定義域?yàn)椋? 當(dāng)時(shí)，得函數(shù)定義域?yàn)椋? 當(dāng)時(shí)，得函數(shù)定義域?yàn)椋海?）若，；（2）若，；（3）若，． 3．設(shè)

2、其中求函數(shù)值． 解：因?yàn)?，則 ，． 4．設(shè)，求與，并做出函數(shù)圖形． 解：，即， ，即，函數(shù)圖形略． 5．設(shè)試證： 證明：，即，得證． 6．下列各組函數(shù)中，與是否是同一函數(shù)？為什么？ （1） ； 不是，因?yàn)槎x域和對(duì)應(yīng)法則都不相同． （2）； 是． （3）； 不是，因?yàn)閷?duì)應(yīng)法則不同． （4）； 不是，因?yàn)槎x域不同． 7．確定下列函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性： （1），； 解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，也是單調(diào)遞增，則在內(nèi)也是遞增的． （2），． 解：，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則是單調(diào)遞減的，故原函數(shù)是單調(diào)遞減的． 8. 判定下列函數(shù)的奇偶性． （1

3、）； 解：因?yàn)椋? 所以是奇函數(shù)． （2）； 解：因?yàn)?，所以是偶函?shù)． （3）； 解：因?yàn)?，，所以既非奇函?shù)，又非偶函數(shù)． （4）. 解：因?yàn)?，所以函?shù)是偶函數(shù)． 9．設(shè)是定義在上的任意函數(shù)，證明： （1）是偶函數(shù)，是奇函數(shù)； （2）可表示成偶函數(shù)與奇函數(shù)之和的形式. 證明：（1）令，則 ，所以是偶函數(shù)，是奇函數(shù)． （2）任意函數(shù)，由（1）可知是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，所以命題得證． 10．證明：函數(shù)在區(qū)間上有界的充分與必要條件是：函數(shù)在上既有上界又有下界. 證明：（必要性）若函數(shù)在區(qū)間上有界，則存在正數(shù)，使得，都有成立，顯然，即證得函數(shù)在區(qū)間上

4、既有上界又有下界 （充分性）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上既有上界，又有下界，即有，取，則有，即函數(shù)在區(qū)間上有界． 11．下列函數(shù)是否是周期函數(shù)？對(duì)于周期函數(shù)指出其周期： （1）； 周期函數(shù)，周期為． （2）； 周期函數(shù)，周期為2． （3）； 不是周期函數(shù)． （4）. 周期函數(shù)，周期為． 12．求下列函數(shù)的反函數(shù)： （1）； 　 解：依題意，，則，所以反函數(shù)為 ． （2）； 解：依題意，，則反函數(shù)． （3）； 解：依題意，，所以反函數(shù)． （4）． 解：依題意，，所以反函數(shù)． 13．在下列各題中，求由所給

5、函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，并求這函數(shù)分別對(duì)應(yīng)于給定自變量值和的函數(shù)值： （1）； （2）． 解：（1） （2），，． 14．在一圓柱形容器內(nèi)倒進(jìn)某種溶液，該容器的底半徑為，高為．當(dāng)?shù)惯M(jìn)溶液后液面的高度為時(shí)，溶液的體積為．試把表示為的函數(shù)，并指出其定義區(qū)間． 解：依題意有，則． 15．某城市的行政管理部門，在保證居民正常用水需要的前提下，為了節(jié)約用水，制定了如下收費(fèi)方法：每戶居民每月用水量不超過(guò)4.5噸時(shí)，水費(fèi)按0.64元／噸計(jì)算．超過(guò)部分每噸以5倍價(jià)格收費(fèi)．試建立每月用水費(fèi)用與用水?dāng)?shù)量之間的函數(shù)關(guān)系．并計(jì)算用水量分別為3.5噸、4.5噸、5.5噸的用水費(fèi)用． 解：依題意有，所以 ．

6、 習(xí) 題 1-2 1．設(shè)， （1） 求的值； （2） 求，使當(dāng)時(shí)，不等式成立； （3） 求，使當(dāng)時(shí)，不等式成立． 解：(1) ． （2） 要使 即 ， 則只要 取N＝ 故當(dāng)n>1110時(shí)，不等式成立． （3）要使成立， 取，那么當(dāng)時(shí)， 成立. 2．根據(jù)數(shù)列極限的定義證明： （1）；　　　　　?。?）． 解：（1）， 要使， 只要取， 所以，對(duì)任意，存在，當(dāng)時(shí)，總有，則. (2) ,要使, 即,只要取,所以,對(duì)任意的>0,存在, 當(dāng), 總有, 則. 3．若證明．并舉例說(shuō)明：如果數(shù)列有極限，但數(shù)列未必有極限．

7、證明: 因?yàn)? 所以, , 當(dāng)時(shí), 有.不妨假設(shè)a>0, 由收斂數(shù)列的保號(hào)性可知:, 當(dāng)時(shí), 有, 取, 則對(duì), , 當(dāng)時(shí), 有.故. 同理可證時(shí), 成立. 反之,如果數(shù)列有極限, 但數(shù)列未必有極限.如：數(shù)列, ， 顯然, 但不存在． 4．設(shè)數(shù)列有界，又．證明：． 證明: 依題意,存在M>0, 對(duì)一切n都有， 又, 對(duì), 存在, 當(dāng)時(shí), , 因?yàn)閷?duì)上述, 當(dāng)時(shí), ,由的任意性, 則． 5．設(shè)數(shù)列的一般項(xiàng)，求． 解: 因?yàn)? , 所以 . 6．對(duì)于數(shù)列，若，，證明：． 證明: 由于, 所以, , , 當(dāng)時(shí)，有, 同理, ,, 當(dāng)時(shí), 有．取=m

8、ax, , 當(dāng)時(shí), 成立, 故． 習(xí) 題 1-3 1．當(dāng)時(shí)，．問(wèn)等于多少，使當(dāng)時(shí)，？ 解：令 ，則，要使 ， 只要，所以取，使當(dāng) 時(shí)，成立． 2．當(dāng)時(shí)，．問(wèn)等于多少，使當(dāng)時(shí)，？ 解：要使<0.001, 只要, 即. 因此,只要就可以了,所以?。? 3．根據(jù)函數(shù)極限的定義證明： （1）；　　　　?。?）； （3）；　　　?。?）. 證明:(1) 由于, 任給,要使,只要．因此取,則當(dāng)時(shí), 總有,故． (2) 由于,任給, 要使,只要,即或, 因?yàn)?所以, 取，則當(dāng)時(shí), 對(duì),總有,

9、故有． (3)由于,任給,,要使,只要,因此取,則當(dāng)時(shí),總有,故. (4) 由于,任給,要使,只要,即,因此取,則當(dāng)x>M時(shí),總有,故. 4．用或語(yǔ)言，寫出下列各函數(shù)極限的定義： （1）；　　　　?。?）； （3）；　　　　?。?）． 解: (1) , 當(dāng)x<-M時(shí), 總有; (2) , 當(dāng), 總有; (3) , 當(dāng)時(shí), 總有; (4) 當(dāng)時(shí), 總有． 5．證明:. 證明: 由于, ,所以. 6．證明：若及時(shí)，函數(shù)的極限都存在且都等于，則． 證明: 由于,則對(duì),,當(dāng)時(shí),有．又,則,當(dāng),有.取那么對(duì),當(dāng)時(shí),總有,故有. 習(xí) 題 1-4

10、 1．根據(jù)定義證明： （1）為當(dāng)時(shí)的無(wú)窮??； （2）為當(dāng)時(shí)的無(wú)窮??； （3）為當(dāng)時(shí)的無(wú)窮大． 證明: (1) ,因?yàn)?取,則當(dāng)時(shí), 總有,故 ． (2) ,因?yàn)?取, 則當(dāng)時(shí), 總有 , 故. (3) , ,當(dāng)時(shí),總有,所以 . 2．函數(shù)在內(nèi)是否有界？該函數(shù)是否為時(shí)的無(wú)窮大？ 解答: 取,則,因此當(dāng)時(shí), 故函數(shù) 當(dāng)時(shí),不是無(wú)窮大量． 下證該函數(shù)在內(nèi)是無(wú)界的. , 且, ，取, ,有，所以是無(wú)界的. 3．證明：函數(shù)在區(qū)間

11、上無(wú)界，但這函數(shù)不是時(shí)的無(wú)窮大． 證明: 令,類似第2題可得． 習(xí) 題 1-5 1．求下列極限： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14）； （15）； （16）． 解: (1) = ． (2) = = ． (3) =． (4) =． (5) ==． (6) =． (7) = ==． (8) =． (9) ==． (10) == =． (11) =． (12) = ==． (13) =． (1

12、4) =． (15) =． 2．設(shè)　問(wèn)當(dāng)為何值時(shí)，極限存在． 解：因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，存在． 3．求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限． 解：因?yàn)? 所以不存在。 4．已知，其中為常數(shù)，求和的值． 解：因?yàn)? ，所以，則． 5．計(jì)算下列極限： （1）；　　　　　　　　　?。?）; （3）；　　　　　　　　　?。?）． 6．試問(wèn)函數(shù)在處的左、右極限是否存在？當(dāng)時(shí)，的極限是否存在？ 解：，，因?yàn)?，所以? 習(xí) 題 1-6 1． 計(jì)算下列極限： （1）；　　 （2）； （3）；　　　　　　?。?）． 解：（1）．（2）．

13、 （3）． （4） ． 2．計(jì)算下列極限： （1）；　　　　　　　　 　(2) ； （3）； （4）； （5）；　　　　　　　　?。?）為不等于零的常數(shù)）． 解： ．． ?。? ．． 3．利用極限存在準(zhǔn)則證明： （1）數(shù)列，，，的極限存在； 證明：先用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列單調(diào)遞增。由于。假設(shè)成立，則，所以數(shù)列單調(diào)遞增． 下證有界性 ，假設(shè)，則 ，故，即數(shù)列有界 根據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則知存在．不妨設(shè)，則有，解得，（舍去），即有． （2）； 證明：因?yàn)? ，又，所以． (3) ； 證明：因?yàn)椋? 又，所以原式成立． (4)

14、 ． 　　 證明：對(duì)任一，有，則當(dāng)時(shí)，有．于是 （1）當(dāng)時(shí)，，由夾逼準(zhǔn)則得． （2）當(dāng)時(shí)，，同樣有． 習(xí) 題 1-7 1． 當(dāng)時(shí)，與相比，哪一個(gè)是高階無(wú)窮??？ 解：因?yàn)?，所以是比高階無(wú)窮?。? 2． 證明：當(dāng)時(shí)，． 證明：因?yàn)?，又，則，故． 3． 利用等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)，求下列極限： （1）為正整數(shù)）； （2）； （3）；　　　　　　 （4）； （5）；　　　　　　 （6）； （7）；　　　　　　 （8）； （9）,其中,均為常數(shù). 解：． ． ． ． ． 　　　　　　　　　?。? ． ．．

15、 　　　　　　?。? ４．當(dāng)時(shí)，若與是等價(jià)無(wú)窮小，試求． 解：依題意有， 因?yàn)? ，，則 ，故． 習(xí) 題 1-8 1．研究下列函數(shù)的連續(xù)性： ?。?） （2） 解答：（1）在和內(nèi)連續(xù)，為跳躍間斷點(diǎn)； （2）在上處處不連續(xù)。 2．討論下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并指出其類型．如果是可去間斷點(diǎn)，則補(bǔ)充或改變函數(shù)的定義使其連續(xù)． （1）；　　　　　　　 　 解答：在和內(nèi)連續(xù)，為跳躍間斷點(diǎn)． （2） 解：在上是連續(xù)的． （3）；　 解：在（，1），（1，2）和（2，）內(nèi)連續(xù)，x=1為可去向斷點(diǎn)，若令,則在x=1

16、連續(xù)；x=2為第二類向斷點(diǎn)． （4）； 解：在（，0）和內(nèi)連續(xù)，x=0為第二類向斷點(diǎn)； （5）； 解：在，（－1，0），（0，1）和內(nèi)連續(xù)；x=是第二類間斷點(diǎn)；x=0是跳躍間斷點(diǎn)；x=1是可去間斷點(diǎn)，若令，則在x=1處連續(xù)． （6） 解：在和內(nèi)連續(xù)，x＝3為跳躍間斷點(diǎn)． 3．討論下列函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)，判別其類型． （1）； 解： 為跳躍間斷點(diǎn)； （2）． 解： 為跳躍間斷點(diǎn)． 4．設(shè)函數(shù)試確定的值，使函數(shù)在處連續(xù)． 解：因?yàn)樗?，依題意有=2. 5．設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，求和的值． 解：因?yàn)?，依題意有為任意實(shí)數(shù)． 6

17、．試分別舉出具有以下性質(zhì)的函數(shù)的例子： (1) 是的所有間斷點(diǎn)，且它們都是無(wú)窮間斷點(diǎn)，例如： ； (2) 在上處處不連續(xù)，但在上處處連續(xù)；例如： (3) 在上處處有定義，但僅在一點(diǎn)連續(xù)，例如： 習(xí) 題 1-9 1．研究下列函數(shù)的連續(xù)性： （1）； 解答：因?yàn)樵谏鲜浅醯群瘮?shù)，所以在上連續(xù)． （2）； 解答：顯然當(dāng)時(shí)，無(wú)意義，但，則是函數(shù)的可去間斷點(diǎn)． （3）； 解答：當(dāng)時(shí)，即時(shí)，連續(xù)． ２．求下列極限： （1）； 解： （2）； 解： ＝ ； （3）； 解： （4）； 解：； （5）； 解： ； （

18、6）； 解： （7）； 解： ； （8）； 解： ； （9）． 解： ； 3．設(shè)函數(shù)與在點(diǎn)連續(xù)，證明函數(shù) ， 在點(diǎn)也連續(xù)． 證明：略． 4．若函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，則和的關(guān)系是（ ）． A．． B．． C．． D ．不能確定． 解答：因?yàn)橐李}意有． 5．設(shè)且，求常數(shù)的值． 解：因?yàn)?，則，所以． 習(xí) 題 1-10 1. 證明方程在內(nèi)至少有一實(shí)根． 證明：令，則在上連續(xù)，又，根據(jù)零點(diǎn)定理， 在開區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)使，即在內(nèi)至少有一實(shí)根． 2．證明方程有正實(shí)根． 證明：令，則在內(nèi)連續(xù)

19、，又，， 根據(jù)零點(diǎn)定理，在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使，即有正實(shí)根． 3．設(shè)函數(shù)對(duì)于閉區(qū)間上的任意兩點(diǎn)、，恒有，其中為正常數(shù)，且．證明：至少有一點(diǎn)，使得． 證明：任取，取，使，依題意有，則，即，由的任意性，可知在內(nèi)連續(xù)，同理可證在點(diǎn)右連續(xù)，點(diǎn)左連續(xù)，那么，在上連續(xù)。而且，根據(jù)零點(diǎn)定理，至少有一點(diǎn)，使得． 4．若在上連續(xù)，，則在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使． 證明：因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以在上有最小值，最大值，使得,，，，因此， 由介值定理得，在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使. ５．若在上連續(xù)，，且．試證至少 存在一點(diǎn)使得． 證明：因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以在上有最小值，最大值，使得,，，，那么，，，即，又，故，由介

20、值定理可知，至少存在一點(diǎn)使得 ． 6．證明：若在內(nèi)連續(xù)，且存在，則必在內(nèi)有界． 證明：因?yàn)榇嬖?，則必有，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，有，因此，在區(qū)間及區(qū)間上有界，即當(dāng)，存在，有，同時(shí)，在上連續(xù)，有由有界性定理知，存在，當(dāng)，取，則當(dāng)時(shí)，總有，即在內(nèi)有界． 復(fù)習(xí)題A 1.設(shè), , 求及其定義域. 解: , 其定義域?yàn)榍? 即;. ,其定義域?yàn)? . 2.求函數(shù)的反函數(shù). 解: 因, 所以, 3．單項(xiàng)選擇題 (1)下列各式中正確的是（　?。? A．；　　　　　　　　B．； C．；　　　　　　　 D．． (2)當(dāng)時(shí)，下列四個(gè)無(wú)窮小量中，

21、哪一個(gè)是比其它三個(gè)更高階的無(wú)窮?。ā。? A．；　　　　　　　　　　　　　　B．； C．；　　　　　　　 　　　D．． (3)極限為（　?。? A．；　　　　B．；　　　　C．；　　　 D．不存在但不為． (4) 若當(dāng)時(shí)，和都是無(wú)窮小，則當(dāng)時(shí)，下列表達(dá)式中哪一個(gè)不一定是無(wú)窮小（　?。? A．；　　　　　　　　　　B．和； C．；　　　　　　　　 D． ． (5) 設(shè)適合，則以下結(jié)果正確的是（?。? A．；　　　　　　　　B．可取任意實(shí)數(shù)； C．可取任意實(shí)數(shù)；　　　　D．都可取任意實(shí)數(shù)． 解答： (1) A; (2) D; (3) D: (4)

22、D; (5) C． 4.求下列極限: (1) ; (2) ; (3) ; =; (4) ; (5) (6) =; (7) (8) (9) (10) ． 5．設(shè)當(dāng)時(shí)，是比高階的無(wú)窮?。C明：當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無(wú)窮?。? 證明: 由已知得則即是等價(jià)無(wú)窮小． 6．已知，求常數(shù)與的值． 解：因?yàn)?，所以，則，． 7.設(shè)并求此極限． 證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明此數(shù)列的單調(diào)性．因?yàn)?及，可知假設(shè)則 ，所以單調(diào)遞減，又顯然，即有下界，由單調(diào)有界準(zhǔn)則知存在極限，設(shè)，兩邊取極限，有A=，解之得A=3或A=（舍去） ，即得=3．

23、 8.確定常數(shù)a與b的值，使得函數(shù)=處處連續(xù)． 解：當(dāng)時(shí)，=和當(dāng)時(shí)，=，顯然它們都是連續(xù)的，又f（x）==3， f（x）===，當(dāng)時(shí)，=a,要使f（x）在x=0點(diǎn)也連續(xù)，則=3=a,即a=3,b=ln3． 9.求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判斷其類型． （1）=； 解：因?yàn)?=，==，又時(shí)，連續(xù)，所以只有x=0為間斷點(diǎn)，x=0為跳躍間斷點(diǎn)． （2）=； 解：當(dāng)tanx=0時(shí)，有x=0或x=n（n=1,2,…）因?yàn)?1，所以x=0為可去間斷點(diǎn)．又=（n=1,2,…），所以（n=1,2,…）為無(wú)窮間斷點(diǎn)．當(dāng)（n=1,2,…）時(shí)，=0，所以（n=1,2,…）是可去間斷點(diǎn)．

24、 （3）； 解：=，因f（x）=0， =1，所以x=0為跳躍間斷點(diǎn)． 復(fù)習(xí)題B 1．單項(xiàng)選擇題 （1）當(dāng)時(shí)，下列無(wú)窮小量中與不等價(jià)的是（ ）． A．． B．． C．． D．． （2）下列極限不存在的是（ ）． A．． B．． C．． D．． （3）極限（ ）等于． A．． B．． C．． D．． （4）設(shè)，數(shù)列，如果，則的值為（?。? A．． B．． C．． D．． （5）已知，其中與為常數(shù)．則（ ）． A．，． B．，． C．，． D．，． （6）設(shè)函數(shù)，則（ ）． A．有無(wú)窮多個(gè)第一類間斷點(diǎn)

25、． B．只有個(gè)可去間斷點(diǎn)． C．有個(gè)跳躍間斷點(diǎn)． D．有個(gè)可去間斷點(diǎn)． 解答： （1）D;（2）C;（3）B;（4）B;（5）C;（6）D（提示：x=0，1為可去間斷點(diǎn)） 2．填空題 （1）設(shè)函數(shù)的定義域是，則的定義域是_________． （2）計(jì)算=_________． （3）設(shè)，則=_________，　　　　?。? （4）設(shè)時(shí)，與是同階無(wú)窮小，則　　　　?。? （5）設(shè)，則　　　　　，　　　　?。? （6） 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中選擇一個(gè)正確的填入空格內(nèi)：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的　　　　條件；函數(shù)的極限存在是在的某一去心

26、鄰域內(nèi)有界的　　　　條件；函數(shù)在的某一去心鄰域內(nèi)無(wú)界是的　　　　條件；函數(shù)在左連續(xù)且右連續(xù)是在連續(xù)的　　　　條件． 答案：（1）；（2）1；（3）a=1；b為任意實(shí)數(shù)；（4）;（5）0，0；（6）必要，充分，必要，充要． （2）題解答過(guò)程：= ====1． （3）題解答過(guò)程： 因?yàn)?，所以，a=1，b為任意實(shí)數(shù)． （4）題解答過(guò)程： 因?yàn)?===c（常數(shù)），所以u(píng)=． （5）題解答過(guò)程：因?yàn)?，所以=　(其中為當(dāng)x時(shí)的無(wú)窮小量)，那么=，=，故=0，=0． 3．求下列極限： （1）；　?。?）； （3）．；（4）； （5）；　　　　　　　　　　?。?/p>

27、6）； （7）；　　　　　　　 （8）； （9）； （10）． 解答： （1） （2）． （3） ==． （4）=． （5） =． （6）， 其中|2|2，即2是有界量，，故． （7）因?yàn)?，又，所以? （8）因?yàn)椋? ，所以，． （9） . （10） . 4．已知函數(shù)，試確定的間斷點(diǎn)及其類型． 解：因?yàn)椋? 所以， 因此，均為可去間斷點(diǎn)。 5．設(shè)函數(shù)求，使在處連續(xù)． 解： 因?yàn)椋? ，要使在處連續(xù)，則，解得，. 6．求證方程在區(qū)間上至少有一個(gè)根． 證明：令，顯然在上連續(xù)，又， ，由零點(diǎn)定理可知，在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即方程 在內(nèi)至少有一個(gè)根. 7．設(shè)，任取，令（其中）．證明數(shù)列收斂．并求極限． 證明：首先證明是單調(diào)的，（1）若，則，即單調(diào)遞增有上界。（2）若，則，即 單調(diào)遞減有上界，綜（1）（2）知數(shù)列有極限存在；令，則，解之得或（舍去），即. 8．成本—效益模型　從某工廠的污水池清除污染物的百分比與費(fèi)用是由下列模型給出： ． 如果費(fèi)用允許無(wú)限增長(zhǎng)，試求出可被清除污染物的百分比．實(shí)際上，可以完全清除污染嗎？ 解：所以如果費(fèi)用C允許無(wú)限增長(zhǎng)，可被清除污染物的百分比為100%，實(shí)際上是不可能完全清除污染的. 27