課時(shí)規(guī)范練13函數(shù)模型及其應(yīng)用基礎(chǔ)鞏固組1.某產(chǎn)品的總成本y(單位:萬元)與產(chǎn)量x(單位:臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,xN*),若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬元,則生產(chǎn)者不虧本時(shí)(銷售收入不小于總成本)的最低產(chǎn)量是()A.100臺(tái)B.120臺(tái)C.150臺(tái)D.180臺(tái)2.某房地產(chǎn)公司計(jì)劃出租70套相同的公寓房.當(dāng)每套房月租金定為3 000元時(shí),這70套公寓能全租出去;當(dāng)月租金每增加50元時(shí)(設(shè)月租金均為50元的整數(shù)倍),就會(huì)多一套房子租不出去.設(shè)租出的每套房子每月需要公司花費(fèi)100元的日常維修等費(fèi)用(設(shè)租不出去的房子不需要花這些費(fèi)用).要使公司獲得最大利潤,每套公寓月租金應(yīng)定為()A.3 000元B.3 300元C.3 500元D.4 000元3.一個(gè)人以6米/秒的速度去追趕停在交通燈前的汽車,當(dāng)他離汽車25米時(shí)交通燈由紅變綠,汽車開始變速直線行駛(汽車與人前進(jìn)方向相同),汽車在時(shí)間t內(nèi)的路程為s=12t2米,那么,此人()A.可在7秒內(nèi)追上汽車B.可在9秒內(nèi)追上汽車C.不能追上汽車,但期間最近距離為14米D.不能追上汽車,但期間最近距離為7米4.某企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測,A產(chǎn)品的利潤與投資成正比,其關(guān)系如圖;B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖(注:利潤和投資單位:萬元).圖圖(1)分別將A,B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式;(2)已知該企業(yè)已籌集到18萬元資金,并將全部資金投入到A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)中.若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品,可獲得多少利潤?如果你是廠長,怎樣分配這18萬元投資,才能使該企業(yè)獲得最大利潤?其最大利潤為多少萬元?導(dǎo)學(xué)號(hào)241907285.某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥,如果成年人按規(guī)定的劑量服用,據(jù)監(jiān)測:服藥后每毫升血液中的含藥量y(單位:g)與時(shí)間t(單位:h)之間的關(guān)系近似滿足如圖所示的曲線.(1)寫出第一次服藥后y與t之間的函數(shù)解析式y(tǒng)=f(t);(2)據(jù)進(jìn)一步測定:當(dāng)每毫升血液中含藥量不少于0.25 g時(shí),治療有效.求服藥一次后治療有效的時(shí)間.6.A,B兩城相距100 km,在兩城之間距A城x km處建一核電站給A,B兩城供電,為保證城市安全,核電站與城市距離不得小于10 km.已知供電費(fèi)用等于供電距離(單位:km)的平方與供電量(單位:億千瓦時(shí))之積的0.25倍,若A城供電量為每月20億千瓦時(shí),B城供電量為每月10億度.(1)求x的取值范圍;(2)把月供電總費(fèi)用y表示成x的函數(shù);(3)核電站建在距A城多遠(yuǎn),才能使供電總費(fèi)用y最少?導(dǎo)學(xué)號(hào)24190729綜合提升組7.某市明年計(jì)劃投入600萬元加強(qiáng)民族文化基礎(chǔ)設(shè)施改造.據(jù)調(diào)查,改造后預(yù)計(jì)該市在一個(gè)月內(nèi)(以30天計(jì)),民族文化旅游人數(shù)f(x)(單位:萬人)與時(shí)間x(單位:天)的函數(shù)關(guān)系近似滿足f(x)=41+1x,人均消費(fèi)g(x)(單位:元)與時(shí)間x(單位:天)的函數(shù)關(guān)系近似滿足g(x)=104-|x-23|.(1)求該市旅游日收益p(x)(單位:萬元)與時(shí)間x(1x30,xN*)的函數(shù)關(guān)系式;(2)若以最低日收益的15%為純收入,該市對(duì)純收入按1.5%的稅率來收回投資,按此預(yù)計(jì)兩年內(nèi)能否收回全部投資.8.(2017江蘇無錫模擬)某沿海地區(qū)養(yǎng)殖的一種特色海鮮上市時(shí)間僅能持續(xù)5個(gè)月,預(yù)測上市初期和后期會(huì)因供應(yīng)不足使價(jià)格呈持續(xù)上漲態(tài)勢(shì),而中期又將出現(xiàn)供大于求使價(jià)格連續(xù)下跌.現(xiàn)有三種價(jià)格模擬函數(shù):f(x)=pqx;f(x)=px2+qx+1;f(x)=x(x-q)2+p(以上三式中p,q均為常數(shù),且q>1).(1)為準(zhǔn)確研究其價(jià)格走勢(shì),應(yīng)選哪種價(jià)格模擬函數(shù)(不必說明理由)?(2)若f(0)=4,f(2)=6,求出所選函數(shù)f(x)的解析式(注:函數(shù)定義域是0,5,其中x=0表示8月1日,x=1表示9月1日,以此類推);(3)在(2)的條件下研究下面課題:為保證養(yǎng)殖戶的經(jīng)濟(jì)效益,當(dāng)?shù)卣?jì)劃在價(jià)格下跌期間積極拓寬外銷,請(qǐng)你預(yù)測該海鮮將在哪幾個(gè)月內(nèi)價(jià)格下跌.導(dǎo)學(xué)號(hào)241907309.現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉庫,它由上下兩部分組成,上部的形狀是底面為正方形的四棱錐P-A1B1C1D1,下部的形狀是正四棱柱(底面為正方形的直棱柱)ABCD-A1B1C1D1(如圖所示),并要求正四棱柱的高O1O是四棱錐的高PO1的4倍,O1,O分別為底面中心.(1)若AB=6 m,PO1=2 m,則倉庫的容積是多少?(2)若四棱錐的側(cè)棱長為6 m,則當(dāng)PO1為多少時(shí),倉庫的容積最大?創(chuàng)新應(yīng)用組10.(2017江蘇南京、鹽城二模)在一張足夠大的紙板上截取一個(gè)面積為3 600平方厘米的矩形紙板ABCD,然后在矩形紙板的四個(gè)角上切去邊長相等的小正方形,再把它的邊沿虛線折起,做成一個(gè)無蓋的長方體紙盒(如圖).設(shè)小正方形的邊長為x厘米,矩形紙板的兩邊AB,BC的長分別為a厘米和b厘米,其中ab.(1)當(dāng)a=90時(shí),求紙盒側(cè)面積的最大值;(2)試確定a,b,x的值,使得紙盒的體積最大,并求出最大值.答案：1.C設(shè)利潤為f(x)萬元,則f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 000(0<x<240,xN*).令f(x)0,得x150,生產(chǎn)者不虧本時(shí)的最低產(chǎn)量是150臺(tái).2.B由題意,設(shè)利潤為y元,租金定為(3 000+50x)元(0x70,xN),則y=(3 000+50x)(70-x)-100(70-x)=(2 900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)5058+x+70-x22=204 800,當(dāng)且僅當(dāng)58+x=70-x,即x=6時(shí),等號(hào)成立,故每月租金定為3 000+300=3 300(元)時(shí),公司獲得最大利潤,故選B.3.D已知s=12t2,車與人的間距d=(s+25)-6t=12t2-6t+25=12(t-6)2+7.當(dāng)t=6時(shí),d取得最小值7.4.解 (1)設(shè)A,B兩種產(chǎn)品都投資x萬元(x0),所獲利潤分別為f(x)萬元、g(x)萬元,由題意可設(shè)f(x)=k1x,g(x)=k2x,根據(jù)題圖可得f(x)=0.25x(x0),g(x)=2x(x0).(2)由(1)得f(9)=2.25,g(9)=29=6,故總利潤y=8.25(萬元).設(shè)B產(chǎn)品投入x萬元,A產(chǎn)品投入(18-x)萬元,該企業(yè)可獲總利潤為y萬元,則y=14(18-x)+2x,0x18.令x=t,t0,32 ,則y=14(-t2+8t+18)=-14(t-4)2+172.故當(dāng)t=4時(shí),ymax=172=8.5,此時(shí)x=16,18-x=2.所以當(dāng)A,B兩種產(chǎn)品分別投入2萬元、16萬元時(shí),可使該企業(yè)獲得最大利潤8.5萬元.5.解 (1)根據(jù)所給的曲線,可設(shè)y=kt,0t1,12t-a,t>1.當(dāng)t=1時(shí),由y=4,得k=4,由121-a=4,得a=3.則y=4t,0t1,12t-3,t>1.(2)由y0.25,得0t1,4t0.25或t>1,12t-30.25,解得116t5.因此服藥一次后治療有效的時(shí)間為5-116=7916(h).6.解 (1)由題意可知x的取值范圍為10x90.(2)y=5x2+52(100-x)2(10x90).(3)因?yàn)閥=5x2+52(100-x)2=152x2-500x+25 000=152x-10032+50 0003,所以當(dāng)x=1003時(shí),ymin=50 0003.故核電站建在距A城1003 km處,才能使供電總費(fèi)用y最少.7.解 (1)由題意知p(x)=f(x)g(x)=41+1x(104-|x-23|)(1x30,xN*).(2)由p(x)=41+1x(81+x)(1x23,xN*),41+1x(127-x)(23<x30,xN*).當(dāng)1x23時(shí),p(x)=41+1x(81+x)=482+x+81x482+2x81x=400,當(dāng)且僅當(dāng)x=81x,即x=9時(shí),p(x)取得最小值400.當(dāng)23<x30時(shí),p(x)=41+1x(127-x)=4126+127x-x.設(shè)h(x)=127x-x,則有h(x)=-127x2-1<0,故h(x)在(23,30上為減函數(shù),則p(x)在(23,30上也是減函數(shù),所以當(dāng)x=30時(shí),p(x)min=4126+12730-30=400730>400.所以當(dāng)x=9時(shí),p(x)取得最小值400萬元.因?yàn)閮赡陜?nèi)的稅收為40015%301221.5%=648>600,所以600萬元的投資可以在兩年內(nèi)收回.8.解 (1)因?yàn)樯鲜谐跗诤秃笃趦r(jià)格呈持續(xù)上漲態(tài)勢(shì),而中期又將出現(xiàn)價(jià)格連續(xù)下跌,所以在給出的函數(shù)中應(yīng)選模擬函數(shù)f(x)=x(x-q)2+p.(2)對(duì)于f(x)=x(x-q)2+p,由f(0)=4,f(2)=6,可得p=4,(2-q)2=1,又q>1,所以q=3,所以f(x)=x3-6x2+9x+4(0x5).(3)因?yàn)閒(x)=x3-6x2+9x+4(0x5),所以f(x)=3x2-12x+9,令f(x)<0,得1<x<3.所以函數(shù)f(x)在(1,3)內(nèi)單調(diào)遞減,所以可以預(yù)測這種海鮮將在9月、10月兩個(gè)月內(nèi)價(jià)格下跌.9.解 (1)由PO1=2 m知O1O=4PO1=8 m.因?yàn)锳1B1=AB=6 m,所以四棱錐P-A1B1C1D1的體積V錐=13A1B12PO1=13622=24(m3);正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積V柱=AB2O1O=628=288(m3).所以倉庫的容積V=V錐+V柱=24+288=312(m3).(2)設(shè)A1B1=a m,PO1=h m,則0<h<6,O1O=4h.連接O1B1.因?yàn)樵赗tPO1B1中,O1B12+PO12=PB12,所以2a22+h2=36,即a2=2(36-h2).于是倉庫的容積V=V柱+V錐=a24h+13a2h=133a2h=263(36h-h3),0<h<6,從而V=263(36-3h2)=26(12-h2).令V=0,得h=23或h=-23(舍).當(dāng)0<h<23時(shí),V>0,V是單調(diào)增函數(shù);當(dāng)23<h<6時(shí),V<0,V是單調(diào)減函數(shù).故h=23時(shí),V取得極大值,也是最大值.因此,當(dāng)PO1=23 m時(shí),倉庫的容積最大.10.解 (1)因?yàn)榫匦渭埌錋BCD的面積為3 600平方厘米,故當(dāng)a=90時(shí),b=40,所以紙盒的側(cè)面積S=2x(90-2x)+2x(40-2x)=-8x2+260x,x(0,20).因?yàn)镾=-8x2+260x=-8x-6542+4 2252,故當(dāng)x=654時(shí),側(cè)面積最大,最大值為4 2252平方厘米.(2)紙盒的體積V=(a-2x)(b-2x)x=xab-2(a+b)x+4x2,x0,b2,b60.V=xab-2(a+b)x+4x2x(ab-4abx+4x2)=x(3 600-240x+4x2)=4x3-240x2+3 600x.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=60時(shí)等號(hào)成立.設(shè)f(x)=4x3-240x2+3 600x,x(0,30).則f(x)=12(x-10)(x-30).于是當(dāng)0<x<10時(shí),f(x)>0,所以f(x)在(0,10)內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)10<x<30時(shí),f(x)<0,所以f(x)在(10,30)內(nèi)單調(diào)遞減.因此當(dāng)x=10時(shí),f(x)有最大值f(10)=16 000,此時(shí)a=b=60,x=10.故當(dāng)a=b=60,x=10時(shí)紙盒的體積最大,最大值為16 000立方厘米.