星火益佰精品課件 2.2.4 4 二次函數(shù)二次函數(shù) 基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí) 要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理 1二次函數(shù)的三種表示形式二次函數(shù)的三種表示形式 (1)一般式：一般式： . (2)頂點(diǎn)式：若二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為頂點(diǎn)式：若二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(k，h)，則其解，則其解 析式為析式為 . (3)兩根式：若二次函數(shù)圖像與兩根式：若二次函數(shù)圖像與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 (x1,0)，(x2,0)，則其解析式為，則其解析式為 . f(x)ax2bxc(a0) f(x)=a(xk)2h(a0) f(x)=a(xx1)(xx2)(a0) 2.2.二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì) 解析式解析式 f(x)ax2bxc (a0) f(x)ax2bxc (a0 0 0)的圖像的圖像 方程方程 ax2bxc0 的解的解 xx1， xx2 x1x2x0 無(wú)解無(wú)解 ax2bxc0 的的解集解集 x|xx2 或或 xx1 x|xR 且且 xx0 R ax2bxc0 的的解集解集 x|x1x0，xZ， 則集合則集合 A 的補(bǔ)集為的補(bǔ)集為_(kāi) 解析解析 x23x0，即，即 x3. Ax|x3，xZ. IA0,1,2,3 0,1,2,3 3二次函數(shù)二次函數(shù) yf(x)滿足滿足 f(x3)f(3x) (xR)且且 f(x) 0 有兩個(gè)實(shí)根有兩個(gè)實(shí)根 x1、x2，則，則 x1x2=_ 解析解析 由由f(3x)f(3x)知函數(shù)知函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于直線的圖像關(guān)于直線x3 對(duì)稱，應(yīng)有對(duì)稱，應(yīng)有x1x223x1x26. 6 4已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)4x2mx5 在區(qū)間在區(qū)間2，)上是上是增函數(shù)，則增函數(shù)，則 f(1)的范圍是的范圍是 ( ) Af(1)25 Bf(1)25 Cf(1)25 Df(1)25 解析解析 對(duì)稱軸對(duì)稱軸 xm82，m16. f(1)9m25. A 5設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x) x2bxc(x0)，2 (x0)，若若 f(4)f(0)，f(2)2，則關(guān)于，則關(guān)于 x 的方程的方程 f(x)x 的解的個(gè)數(shù)為的解的個(gè)數(shù)為 ( ) A1 B2 C3 D4 解析解析 由由 f(4)f(0)，f(2)2， 得得 b4，c2，故，故 f(x) x24x2 (x0)，2 (x0). f(x)x 有有 3 個(gè)解選個(gè)解選 C. C 題型分類題型分類 深度剖析深度剖析 題型一題型一 求二次函數(shù)的解析式求二次函數(shù)的解析式 例例 1 如圖，拋物線與直線如圖，拋物線與直線 yk(x4)都都 經(jīng)過(guò)坐標(biāo)軸的正半軸上經(jīng)過(guò)坐標(biāo)軸的正半軸上 A、B 兩點(diǎn)，該兩點(diǎn)，該 拋物線的對(duì)稱軸拋物線的對(duì)稱軸 x1 與與 x 軸相交于點(diǎn)軸相交于點(diǎn) C，且，且ABC90 ，求：，求： (1)直線直線 AB 的解析式；的解析式； (2)拋物線的解析式拋物線的解析式 思維啟迪思維啟迪 由直線方程知點(diǎn)由直線方程知點(diǎn) A 坐標(biāo)坐標(biāo)(4,0)，又可知點(diǎn)，又可知點(diǎn) D坐標(biāo)對(duì)稱軸為坐標(biāo)對(duì)稱軸為 x1，可求得拋物線方程進(jìn)而知，可求得拋物線方程進(jìn)而知點(diǎn)點(diǎn) B 坐標(biāo)，最后得直線坐標(biāo)，最后得直線 AB 的方程的方程 解解 (1)由已知，得由已知，得 A(4,0)，B(0，4k)，C(1,0)， 又又CBABOC90 ，OB2CO AO. (4k)214，k12. 又又從圖知從圖知 k0，k12. 所求直線的解析式為所求直線的解析式為 y12x2. (2)設(shè)拋物線的解析式為設(shè)拋物線的解析式為 yax2bxc (a0)， 則則 016a4bc，2c，b2a1，解得解得 a112，b16，c2. 所求拋物線解析式為所求拋物線解析式為 y112x216x2. 探究提高探究提高 也可利用對(duì)稱性，求出也可利用對(duì)稱性，求出 D 點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)(6,0)，利，利用兩根式求拋物線解析式用兩根式求拋物線解析式 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 1 已知二次函數(shù)已知二次函數(shù) f(x)滿足滿足 f(2)1，f(1) 1，且，且 f(x)的最大值是的最大值是 8.試確定此二次函數(shù)的解析式試確定此二次函數(shù)的解析式 解解 方法一方法一 利用二次函數(shù)的一般式利用二次函數(shù)的一般式 設(shè)設(shè) f(x)ax2bxc (a0) 由題意得由題意得 4a2bc1，abc1，4acb24a8.解之得解之得 a4，b4，c7. 所求二次函數(shù)的解析式為所求二次函數(shù)的解析式為 y4x24x7. 方法二方法二 利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式 設(shè)設(shè) f(x)a(xm)2n(a0)， f(2)f(1) 拋物線對(duì)稱軸為拋物線對(duì)稱軸為 x2(1)212. m12，又根據(jù)題意，函數(shù)有最大值，又根據(jù)題意，函數(shù)有最大值 8，即，即 n8. yf(x)a x1228， f(2)1，a 212281， 解之得解之得 a4. f(x)4 x12284x24x7. 方法三方法三 利用二次函數(shù)的零點(diǎn)式利用二次函數(shù)的零點(diǎn)式 由已知，由已知，f(x)10 的兩根為的兩根為 x12，x21， 故可設(shè)故可設(shè) f(x)1a(x2)(x1)， 即即 f(x)ax2ax2a1. 又函數(shù)有最大值又函數(shù)有最大值 ymax8， 4a(2a1)a24a8. 解之得：解之得：a4 或或 a0(舍去舍去) 函數(shù)解析式為函數(shù)解析式為 f(x)4x24x7. 題型二題型二 二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì) 例例 2 已知已知 f(x)4x24ax4aa2在區(qū)間在區(qū)間0,1內(nèi)有內(nèi)有最大值最大值5，求，求 a 的值及函數(shù)表達(dá)式的值及函數(shù)表達(dá)式 f(x) 思維啟迪思維啟迪 二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題， 要討論二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題， 要討論對(duì)稱軸與給定區(qū)間的關(guān)系對(duì)稱軸與給定區(qū)間的關(guān)系 解解 f(x)4 xa224a， 拋物線頂拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為 a2，4a . 當(dāng)當(dāng)a21，即，即 a2 時(shí)，時(shí)，f(x)取最大值取最大值4a2. 令令4a25，得，得 a21，a 12(舍去舍去) 當(dāng)當(dāng) 0a21，即，即 0a2 時(shí)，時(shí)，xa2時(shí)，時(shí)， f(x)取最大值為取最大值為4a. 令令4a5，得，得 a54(0,2) 當(dāng)當(dāng)a20，即，即 a0 時(shí)，時(shí)，f(x)在在0,1內(nèi)遞減，內(nèi)遞減， x0 時(shí)，時(shí)，f(x)取最取最大值為大值為4aa2， 令令4aa25，得，得 a24a50， 解得解得 a5，或，或 a1，其中，其中5(，0 綜上所述，綜上所述，a54或或 a5 時(shí)，時(shí)，f(x)在在0,1內(nèi)有最大值內(nèi)有最大值5. f(x)4x25x10516或或 f(x)4x220 x5. 探究提高探究提高 給定區(qū)間求最值， 應(yīng)對(duì)對(duì)稱軸給定區(qū)間求最值， 應(yīng)對(duì)對(duì)稱軸 xa2的位置進(jìn)的位置進(jìn)行討論一般分為對(duì)稱軸在區(qū)間的左側(cè)、中間、右側(cè)進(jìn)行討論一般分為對(duì)稱軸在區(qū)間的左側(cè)、中間、右側(cè)進(jìn)行討論行討論 變變式式訓(xùn)訓(xùn)練練2 求函數(shù)求函數(shù)f(x)x22ax1在在0,2上的值域上的值域 解解 結(jié)合二次函數(shù)的圖像， 觀察對(duì)稱軸結(jié)合二次函數(shù)的圖像， 觀察對(duì)稱軸 xa 與區(qū)間與區(qū)間0,2的關(guān)系得的關(guān)系得 當(dāng)當(dāng) a0 時(shí)，函數(shù)最小值為時(shí)，函數(shù)最小值為 f(0)1，最大值為，最大值為 f(2)34a，故函數(shù)的值域是，故函數(shù)的值域是1,34a 當(dāng)當(dāng) 0a1 時(shí)，函數(shù)最小值為時(shí)，函數(shù)最小值為 f(a)(a21)，最大，最大值為值為 f(2)34a，故函數(shù)的值域是，故函數(shù)的值域是(a21),34a 當(dāng)當(dāng) 12 時(shí)，函數(shù)最小值為時(shí)，函數(shù)最小值為 f(2)34a，最大值，最大值為為 f(0)1，故函數(shù)的值域是，故函數(shù)的值域是34a，1 題型三題型三 二次函數(shù)的應(yīng)用二次函數(shù)的應(yīng)用 例例 3 某食品公司為了解某種新品種食品的市場(chǎng)需求，某食品公司為了解某種新品種食品的市場(chǎng)需求，進(jìn)行了進(jìn)行了 20 天的測(cè)試，人為地調(diào)控每天產(chǎn)品的單價(jià)天的測(cè)試，人為地調(diào)控每天產(chǎn)品的單價(jià)P(元元/件件)：前：前 10 天每天單價(jià)呈直線下降趨勢(shì)天每天單價(jià)呈直線下降趨勢(shì)(第第 10 天天免費(fèi)贈(zèng)送品嘗免費(fèi)贈(zèng)送品嘗)，后，后 10 天呈直線上升，其中天呈直線上升，其中 4 天的單天的單價(jià)記錄如下表：價(jià)記錄如下表： 時(shí)間時(shí)間(將第將第x天記為天記為x)x 1 10 11 18 單價(jià)單價(jià)(元元/件件)P 9 0 1 8 而這而這 20 天相應(yīng)的銷售量天相應(yīng)的銷售量 Q(百件百件/天天)與與 x 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x，Q)在如圖所示的半圓上在如圖所示的半圓上 (1)寫(xiě)出每天銷售收入寫(xiě)出每天銷售收入 y(元元)與時(shí)間與時(shí)間 x(天天) 的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式 yf(x)； (2)在這在這 20 天中哪一天銷售收入最高？為使每天銷售收入天中哪一天銷售收入最高？為使每天銷售收入最高， 按此次測(cè)試結(jié)果應(yīng)將單價(jià)最高， 按此次測(cè)試結(jié)果應(yīng)將單價(jià) P 定為多少元為好？定為多少元為好？(結(jié)果結(jié)果精確到精確到 1 元元) 思維啟迪思維啟迪：本題中本題中 P 與與 x 應(yīng)寫(xiě)成分類函數(shù)形式，可以利用應(yīng)寫(xiě)成分類函數(shù)形式，可以利用兩點(diǎn)確定直線兩點(diǎn)確定直線方程；同時(shí)還要注意銷售量方程；同時(shí)還要注意銷售量 Q(百件百件/天天)與與 x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x，Q)在如圖所示的半圓上，不要上來(lái)設(shè)成二次在如圖所示的半圓上，不要上來(lái)設(shè)成二次函數(shù)，應(yīng)寫(xiě)成半圓的關(guān)系式函數(shù)，應(yīng)寫(xiě)成半圓的關(guān)系式 解解 (1)P 10 x，x1，10 x10，x11，20，xN+， Q 100(x10)2，x1,20，xN+， y100QP100 (x10)2100(x10)2， x1,20，xN+. (2)設(shè)設(shè) t(x10)2，t0,100， 則則 y100 t(100t)100 (t50)22 5005 000， 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) t50 時(shí)，即時(shí)，即 50(x10)2， 即即 x10 5 2時(shí)，時(shí)，y 有最大值有最大值 xN+， 取取 x3 或或 17 時(shí)，時(shí)， ymax700 514 999(元元)，此時(shí)，此時(shí)，P7(元元) 答答 第第 3 天或第天或第 17 天銷售收入最高，因此應(yīng)將單價(jià)天銷售收入最高，因此應(yīng)將單價(jià) P定為定為 7 元為好元為好 探究提高探究提高 本題也可以利用均值不等式來(lái)做：本題也可以利用均值不等式來(lái)做： (x10)2100(x10)2 (x10)2100(x10)2222 500， 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)(x10)2100(x10)2， 即即 x10 5 2時(shí)，時(shí)，y 有最大值有最大值xN+， 取取 x3 或或 17 時(shí)，時(shí)，ymax700 514 999(元元)， 此時(shí)，此時(shí)，P7(元元) 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 3 如圖，正方形如圖，正方形 CDEF 的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為 4，截去一個(gè)角，截去一個(gè)角 ABF 得五邊形得五邊形 ABCDE， 已知已知 AF2，BF1，在，在 AB 上取一點(diǎn)上取一點(diǎn) P， 過(guò)過(guò) P 作作 CD、DE 的平行線得矩形的平行線得矩形 PNDM， 求此矩形面積的最大值求此矩形面積的最大值 解解 延長(zhǎng)延長(zhǎng) NP 交交 EF 于于 Q，設(shè)，設(shè) PQx， AQ2x， S矩形矩形NP PM(4x)(22x) 2x26x8 2 x322252， 0 x1，x1 時(shí)，時(shí)，S 取最大值取最大值 12. 點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng) 建立二次函數(shù)，考慮自變量的取值范圍，最后還建立二次函數(shù)，考慮自變量的取值范圍，最后還是歸結(jié)到二次函數(shù)配方求最值是歸結(jié)到二次函數(shù)配方求最值 答題規(guī)范答題規(guī)范 2分類討論要規(guī)范分類討論要規(guī)范 試題：試題：(12 分分)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)ax22x2，對(duì)于滿足，對(duì)于滿足 1x0，求實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍的取值范圍 審題視角審題視角 (1)分分 a0，a0分離參數(shù)分離參數(shù)a2x2x2， 轉(zhuǎn)化成求， 轉(zhuǎn)化成求2x2x2的的最大值問(wèn)題最大值問(wèn)題 規(guī)范解答規(guī)范解答 解解 當(dāng)當(dāng) a0 時(shí)，時(shí)，f(x)a x1a221a. 1 分分 1a1f 1 a220或或 11a0 或或 1a4f 4 16a820， a1a0或或 14a12或或 a14a38 3 分分 a1 或或12a12， 5 分分 當(dāng)當(dāng) a12. 12 分分 批閱筆記批閱筆記 本題可用分類討論法求參數(shù)本題可用分類討論法求參數(shù) a 的范圍， 也可的范圍， 也可用分離參數(shù)法求參數(shù)范圍在批閱本題時(shí)，發(fā)現(xiàn)考生存用分離參數(shù)法求參數(shù)范圍在批閱本題時(shí)，發(fā)現(xiàn)考生存在的突出問(wèn)題是， 分類討論的應(yīng)用不規(guī)范在的突出問(wèn)題是， 分類討論的應(yīng)用不規(guī)范 (1)考慮不嚴(yán)考慮不嚴(yán)密：密：丟掉對(duì)丟掉對(duì) a0 的情況的討論；的情況的討論；當(dāng)當(dāng) a0 時(shí)，未對(duì)時(shí)，未對(duì)對(duì)稱軸的位置加以分類討論，從而導(dǎo)致解答失誤，失誤對(duì)稱軸的位置加以分類討論，從而導(dǎo)致解答失誤，失誤原因是對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)或?qū)ΨQ軸的各種情況考慮不全面原因是對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)或?qū)ΨQ軸的各種情況考慮不全面 (2)書(shū)寫(xiě)格式不規(guī)范同級(jí)別的分類要對(duì)齊寫(xiě)，如本題書(shū)寫(xiě)格式不規(guī)范同級(jí)別的分類要對(duì)齊寫(xiě)，如本題a0，a0，a0 是同一級(jí)別的，一般要對(duì)齊寫(xiě)討論是同一級(jí)別的，一般要對(duì)齊寫(xiě)討論完成后，要有綜述性的語(yǔ)言概括結(jié)論完成后，要有綜述性的語(yǔ)言概括結(jié)論 思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 方法與技巧方法與技巧 1數(shù)形結(jié)合是討論二次函數(shù)問(wèn)題的基本方法特別是涉及二數(shù)形結(jié)合是討論二次函數(shù)問(wèn)題的基本方法特別是涉及二次方程、二次不等式的時(shí)候常常結(jié)合圖形尋找思路次方程、二次不等式的時(shí)候常常結(jié)合圖形尋找思路 2含字母系數(shù)的二次函數(shù)問(wèn)題經(jīng)常使用的方法是分類討含字母系數(shù)的二次函數(shù)問(wèn)題經(jīng)常使用的方法是分類討論比如討論二次函數(shù)的對(duì)稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，論比如討論二次函數(shù)的對(duì)稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，又例如涉及二次不等式需討論根的大小等又例如涉及二次不等式需討論根的大小等 3求二次函數(shù)解析式的方法有：求二次函數(shù)解析式的方法有：(1)一般式：一般式：yax2bxc (a0)；(2)頂點(diǎn)式：頂點(diǎn)式：ya(xh)2k (a0)；(3)兩點(diǎn)式：兩點(diǎn)式：ya(xx1)(xx2) (a0) 4關(guān)于二次函數(shù)關(guān)于二次函數(shù) yf(x)對(duì)稱軸的判斷方法對(duì)稱軸的判斷方法 (1)對(duì)于二次函數(shù)對(duì)于二次函數(shù) yf(x)對(duì)定義域內(nèi)所有對(duì)定義域內(nèi)所有 x，都有，都有 f(x1)f(x2)，那么函數(shù)，那么函數(shù) yf(x)圖圖像像的對(duì)稱軸方程為的對(duì)稱軸方程為 xx1x22. (2)對(duì)于二次函數(shù)對(duì)于二次函數(shù) yf(x)對(duì)定義域內(nèi)所有對(duì)定義域內(nèi)所有 x，都有，都有 f(ax)f(ax)成立，那么函數(shù)成立，那么函數(shù) yf(x)圖圖像像的對(duì)稱軸方程為的對(duì)稱軸方程為 xa(a 為常數(shù)為常數(shù)) (3)對(duì)于二次函數(shù)對(duì)于二次函數(shù) yf(x)對(duì)定義域內(nèi)所有對(duì)定義域內(nèi)所有 x，都有，都有 f(x2a)f(x)，那，那么函數(shù)么函數(shù) yf(x)圖圖像像的對(duì)稱軸方程為的對(duì)稱軸方程為 xa(a 為常數(shù)為常數(shù)) 注意：注意：(2)(3)中，中，f(ax)f(ax)與與 f(x2a)f(x)是等價(jià)的是等價(jià)的 (4)利用配方法求二次函數(shù)利用配方法求二次函數(shù) yax2bxc (a0)對(duì)稱軸方程為對(duì)稱軸方程為 x b2a. (5)利用方程根法求對(duì)稱軸方程若二次函數(shù)利用方程根法求對(duì)稱軸方程若二次函數(shù) yf(x)對(duì)應(yīng)方程為對(duì)應(yīng)方程為 f(x)0 兩根為兩根為 x1、 x2， 那么函數(shù)， 那么函數(shù) yf(x)圖圖像像的對(duì)稱軸方程為的對(duì)稱軸方程為 xx1x22. 失誤與防范失誤與防范 1 求二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)要經(jīng)過(guò)配方法， 要熟練準(zhǔn)確利用配方法 求二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)要經(jīng)過(guò)配方法， 要熟練準(zhǔn)確利用配方法 2 對(duì)于函數(shù) 對(duì)于函數(shù) yax2bxc 要認(rèn)為它是二次函數(shù)， 就必須認(rèn)定要認(rèn)為它是二次函數(shù)， 就必須認(rèn)定 a0，當(dāng)題目條件中未說(shuō)明當(dāng)題目條件中未說(shuō)明 a0 時(shí)， 就要討論時(shí)， 就要討論 a0 和和 a0 兩種情況兩種情況 3 對(duì)于二次函數(shù) 對(duì)于二次函數(shù) yax2bxc (a0)給定了定義域?yàn)橐粋€(gè)區(qū)間給定了定義域?yàn)橐粋€(gè)區(qū)間k1，k2時(shí)，利用配方法求函數(shù)的最值時(shí)，利用配方法求函數(shù)的最值4acb24a是極其危險(xiǎn)的，一般要是極其危險(xiǎn)的，一般要討論函數(shù)圖討論函數(shù)圖像像的對(duì)稱軸在區(qū)間外、內(nèi)的情況，有時(shí)要討論下列四的對(duì)稱軸在區(qū)間外、內(nèi)的情況，有時(shí)要討論下列四種情況：種情況： b2ak1； k1b2ak1k22； k1k22b2a0 Bx|xR，x0，m1. (3)若若 f(x)是正比例函數(shù)，則是正比例函數(shù)，則5m31， 解得解得 m45， 此時(shí)此時(shí) m2m10，故，故 m45. (4)若若 f(x)是反比例函數(shù)，則是反比例函數(shù)，則5m31， 則則 m25，此時(shí)，此時(shí) m2m10，故，故 m25. (5)若若 f(x)是二次函數(shù)，則是二次函數(shù)，則5m32， 即即 m1，此時(shí)，此時(shí) m2m10，故，故 m1. 綜上所述，當(dāng)綜上所述，當(dāng) m2 或或 m1 時(shí)，時(shí)，f(x)是冪函數(shù)；是冪函數(shù)； 當(dāng)當(dāng) m1 時(shí)，時(shí)，f(x)既是冪函數(shù)，又是既是冪函數(shù)，又是(0，)上的增函數(shù)；上的增函數(shù)； 當(dāng)當(dāng) m45時(shí)，時(shí)，f(x)是正比例函數(shù)；是正比例函數(shù)； 當(dāng)當(dāng) m25時(shí)，時(shí)，f(x)是反比例函數(shù)；是反比例函數(shù)； 當(dāng)當(dāng) m1 時(shí)，時(shí)，f(x)是二次函數(shù)是二次函數(shù) 題型二題型二 冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)冪函數(shù)的圖像和性質(zhì) 例例 2 比較下列各組值的大小：比較下列各組值的大?。?思維啟迪思維啟迪 觀察符號(hào)指數(shù)的特點(diǎn)，利用性質(zhì)插入中間值進(jìn)觀察符號(hào)指數(shù)的特點(diǎn)，利用性質(zhì)插入中間值進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而得到結(jié)果行轉(zhuǎn)化，從而得到結(jié)果 .4.02.0)3(;)9.1(8.31.4)2(;)91(8)1(3.05.05352523131和和和、解解 (1) 19 9 ，由于冪函數(shù)，由于冪函數(shù) yx 在在(0，)上是減函數(shù)，所以上是減函數(shù)，所以 8 9 ， 因此因此8 9 ，即，即8 1,03.8 1，(1.9) 3.8 (1.9) . (3)由于指數(shù)函數(shù)由于指數(shù)函數(shù) y0.2x在在 R 上是減函數(shù)，所以上是減函數(shù)，所以0.20.50.20.3.又由于冪函數(shù)又由于冪函數(shù) yx0.3在在(0，)上是遞增函上是遞增函數(shù)，所以數(shù)，所以 0.20.30.40.3，故有，故有 0.20.50，即，即 m23m40，解得，解得4m1. 又又mZ，m3，2，1,0. 當(dāng)當(dāng) m3 或或 m0 時(shí)，函數(shù)可化為時(shí)，函數(shù)可化為 yx4，符合題意，其，符合題意，其圖像如圖圖像如圖. 當(dāng)當(dāng) m2 或或 m1 時(shí)，時(shí)， 函數(shù)可化為函數(shù)可化為 yx6，符合題，符合題 意，其圖像如圖意，其圖像如圖. 234mmxy題型三題型三 冪函數(shù)的綜合應(yīng)用冪函數(shù)的綜合應(yīng)用 例例 3 已知冪函數(shù)已知冪函數(shù) f(x) (mN)的圖像關(guān)于的圖像關(guān)于 y軸對(duì)稱，且在軸對(duì)稱，且在(0，)上是減函數(shù)，求滿足上是減函數(shù)，求滿足 的的 a 的取值范圍的取值范圍 思維啟迪思維啟迪 由由 f(x) (mN)的圖像關(guān)于的圖像關(guān)于 y軸對(duì)軸對(duì)稱知稱知 m22m3 為偶數(shù)，又在為偶數(shù)，又在(0，)上是減函數(shù)，所上是減函數(shù)，所以以 m22m30， 從而確定， 從而確定 m 值， 再由函數(shù)值， 再由函數(shù) f(x) 的的單調(diào)性求單調(diào)性求 a 的值的值 322 mmx3) 1(ma3)23(ma322 mmx3mx解解 冪函數(shù)冪函數(shù) f(x) 在在(0，)上遞減，上遞減， m22m30，解得，解得1m32a0 或或 0a132a 或或 a1032a. 解得解得 a1 或或23a32. 故故 a 的取值范圍為的取值范圍為 a|a1或或23a32. 322 mmx13x3131)23() 1(aa探究提高探究提高 本題集冪函數(shù)的概念、 圖像及單調(diào)性、 奇偶性本題集冪函數(shù)的概念、 圖像及單調(diào)性、 奇偶性于一體， 綜合性較強(qiáng)， 解此題的關(guān)鍵是弄清冪函數(shù)的概念于一體， 綜合性較強(qiáng)， 解此題的關(guān)鍵是弄清冪函數(shù)的概念及性質(zhì)解答此類問(wèn)題可分為兩大步：第一步，利用單調(diào)及性質(zhì)解答此類問(wèn)題可分為兩大步：第一步，利用單調(diào)性和奇偶性性和奇偶性(圖像對(duì)稱性圖像對(duì)稱性)求出求出 m 的值或范圍；第二步，利的值或范圍；第二步，利用分類討論的思想， 結(jié)合函數(shù)的圖像求出參數(shù)用分類討論的思想， 結(jié)合函數(shù)的圖像求出參數(shù) a 的取值范的取值范圍圍 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 3 指出函數(shù)指出函數(shù) f(x)x24x5x24x4的單調(diào)區(qū)間， 并比的單調(diào)區(qū)間， 并比較較 f()與與 f 22的大小的大小 解解 f(x)x24x5x24x411(x2)2 1(x2)2， 其圖像可由冪函數(shù)其圖像可由冪函數(shù) yx2的圖像向左平移的圖像向左平移 2 個(gè)單位，再個(gè)單位，再向上平移向上平移 1 個(gè)單位得到，個(gè)單位得到， 該函數(shù)在該函數(shù)在(2，)上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，在(，2)上是增上是增函數(shù)，且其圖像關(guān)于直線函數(shù)，且其圖像關(guān)于直線 x2 對(duì)稱對(duì)稱(如圖所示如圖所示) 又又2()2f 22. 思想與方法思想與方法 1利用轉(zhuǎn)化思想求參數(shù)范圍利用轉(zhuǎn)化思想求參數(shù)范圍 試題：試題：(12 分分)若函數(shù)若函數(shù) f(x)(mx24xm2) (x2mx1)0的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?R， 求實(shí)數(shù)， 求實(shí)數(shù) m 的取值范圍的取值范圍 審題視角審題視角 (1)從冪函數(shù)的視角看，冪指數(shù)為從冪函數(shù)的視角看，冪指數(shù)為34.f(x)的的定義域?yàn)槎x域?yàn)?R，轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為 mx24xm20 恒成立，且恒成立，且 x2mx10.(2)mx24xm20 恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立轉(zhuǎn)化為 ymx24xm2 開(kāi)口向上，且與開(kāi)口向上，且與 x 軸無(wú)交點(diǎn)軸無(wú)交點(diǎn) 43規(guī)范解答規(guī)范解答 解解 設(shè)設(shè) g(x)mx24xm2， h(x)x2mx1， 原題可轉(zhuǎn)化為對(duì)一切原題可轉(zhuǎn)化為對(duì)一切 xR 有有 g(x)0 且且 h(x)0 恒成立恒成立4 分分 由由得得 m0，1424m(m2)0m22m40 m0，m1 5， m1 5. 8 分分 由由得得 2(m)240，即，即2m2. 10 分分 綜上可得綜上可得 51m0且且 h(x)0 恒成立是解題的關(guān)鍵恒成立是解題的關(guān)鍵 (2)不等式恒成立問(wèn)題，不等式恒成立問(wèn)題，可利用數(shù)形結(jié)合思想， 如可利用數(shù)形結(jié)合思想， 如 g(x)0 和和 h(x)0 在在 R 上恒成上恒成立作進(jìn)一步轉(zhuǎn)化立作進(jìn)一步轉(zhuǎn)化(3)易錯(cuò)分析：第一，不能將問(wèn)題轉(zhuǎn)化易錯(cuò)分析：第一，不能將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為為 mx24xm20 恒成立問(wèn)題，也就是缺乏轉(zhuǎn)化的恒成立問(wèn)題，也就是缺乏轉(zhuǎn)化的意識(shí)；第二，易忽略意識(shí)；第二，易忽略 x2mx10 的隱含條件，致使的隱含條件，致使范圍擴(kuò)大范圍擴(kuò)大 思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 方法與技巧方法與技巧 1冪函數(shù)冪函數(shù) yx(R)，其中，其中 為常數(shù)，其本質(zhì)特征是為常數(shù)，其本質(zhì)特征是以冪的底以冪的底 x 為自變量，指數(shù)為自變量，指數(shù) 為常數(shù)，這是判斷一為常數(shù)，這是判斷一個(gè)函數(shù)是否是冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)當(dāng)個(gè)函數(shù)是否是冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)當(dāng)注意并不是任意的一次函數(shù)、 二次函數(shù)都是冪函數(shù)，注意并不是任意的一次函數(shù)、 二次函數(shù)都是冪函數(shù)，如如 yx1，yx22x 等都不是冪函數(shù)等都不是冪函數(shù) 2作冪函數(shù)的圖像要聯(lián)系函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)作冪函數(shù)的圖像要聯(lián)系函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等，只要作出冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖性、奇偶性等，只要作出冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像，然后根據(jù)它的奇偶性就可作出冪函數(shù)在定義域像，然后根據(jù)它的奇偶性就可作出冪函數(shù)在定義域內(nèi)完整的圖像內(nèi)完整的圖像 失誤與防范失誤與防范 1冪函數(shù)的圖像一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出冪函數(shù)的圖像一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限內(nèi)，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，現(xiàn)在第四象限內(nèi)，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖像最多只能同時(shí)出現(xiàn)要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖像最多只能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi)；如果冪函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸相交，則交在兩個(gè)象限內(nèi)；如果冪函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)點(diǎn)一定是原點(diǎn) 2利用冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)可處理比較大小、判斷復(fù)合利用冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)可處理比較大小、判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用等類型進(jìn)一步函數(shù)的單調(diào)性及在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用等類型進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法 返回返回