2.3.2 對數(shù)函數(shù) 5分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前) 1.函數(shù)f（x）=|log2x|的圖象是( ) 思路解析:考查對數(shù)函數(shù)的圖象及圖象變換.注意到y(tǒng)=|log2x|的圖象應(yīng)是將y=log2x的圖象位于x軸下方的部分翻折到x軸的上方，故選A. 答案:A 2.函數(shù)y=loga（x-2）+1（a＞0且a≠1）恒過定點(diǎn)____________. 思路解析:若x-2=1，則不論a為何值，只要a＞0且a=1，都有y=1. 答案:（3，1） 3.函數(shù)f（x）=log（a-1）x是減函數(shù)，則a的取值范圍是__________. 思路解析:考查對數(shù)函數(shù)的概念、性質(zhì).注意到a-1既受a-1＞0且a-1≠1的制約，又受減函數(shù)的約束，由此可列關(guān)于a的不等式求a. 由題意知0＜a-1＜1，∴1＜a＜2. 答案:1＜a＜2 10分鐘訓(xùn)練(強(qiáng)化類訓(xùn)練，可用于課中) 1.下圖是對數(shù)函數(shù)y=logax當(dāng)?shù)讛?shù)a的值分別取，，，時(shí)所對應(yīng)的圖象，則相應(yīng)于C1，C2，C3，C4的a的值依次是( ) A. , ,, B. , ,, C. ,, , D. ,, , 思路解析:因?yàn)榈讛?shù)a大于1時(shí)，對數(shù)函數(shù)的圖象自左向右呈上升趨勢，且a越大，圖象就越靠近x軸；底數(shù)a大于0且小于1時(shí)，對數(shù)函數(shù)的圖象自左向右呈下降趨勢，且a越小，圖象就越靠近x軸. 答案:A 2.若定義在（-1，0）上的函數(shù)f（x）=log2a（x+1）滿足f（x）>0，則a的取值范圍是( ) A.(0, ) B.(0, ) C.( ,+∞) D.(0,+∞) 思路解析:本題考查對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì). 當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，有x+1∈（0，1），此時(shí)要滿足f（x）>0，只要0<2a<1即可. 由此解得0<a<. 答案:A 3.若函數(shù)f（x）=logax（0<a<1）在區(qū)間［a，2a］上的最大值是最小值的3倍，則a等于( ) A. B. C. D. 思路解析：本題關(guān)鍵是利用f（x）的單調(diào)性確定f（x）在［a，2a］上的最大值與最小值. f（x）= loga x（0<a<1）在（0，+∞）上是減函數(shù)， 當(dāng)x∈［a，2a］時(shí)，f（x）max =f（a）=1，f（x）min =f（2a）= loga 2a. 根據(jù)題意，3 loga 2a=1，即loga 2a=， 所以loga 2+1=，即loga 2=-. 故由=2得a=. 答案：A 4.比較大小： （1）log0.27和log0.29；（2）log35和log65； （3）（lgm）1.9和（lgm）2.1（m＞1）；（4）log85和lg4. 思路解析:（1）直接利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；（2）是對數(shù)函數(shù)底數(shù)變化規(guī)律的應(yīng)用；（3）是指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用；（4）是中間量的運(yùn)用.當(dāng)兩個(gè)對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)都不相同時(shí)，需要找出中間量來“搭橋”，再利用對數(shù)函數(shù)的增減性.常用的中間量有0、1、2等,可通過估算加以選擇. 解:（1）log0.27和log0.29可看作是函數(shù)y=log0.2x當(dāng)x=7和x=9時(shí)對應(yīng)的兩函數(shù)值，由y=log0.2x在（0，+∞）上單調(diào)遞減，得log0.27＞log0.29. （2）考察函數(shù)y=logax底數(shù)a＞1的底數(shù)變化規(guī)律，函數(shù)y=log3x（x＞1）的圖象在函數(shù)y=log6x（x＞1）的上方，故log35＞log65. （3）把lgm看作指數(shù)函數(shù)的底數(shù)，要比較兩數(shù)的大小，關(guān)鍵是比較底數(shù)lgm與1的關(guān)系.若lgm＞1即m＞10，則（lgm）x在R上單調(diào)遞增， 故（lgm）1.9＜（lgm）2.1.若0＜lgm＜1即1＜m＜10，則（lgm）x在R上單調(diào)遞減， 故（lgm）1.9＞（lgm）2.1. 若lgm=1即m=10，則（lgm）1.9＝（lgm）2.1. （4）因?yàn)榈讛?shù)8、10均大于1，且10＞8， 所以log85＞lg5＞lg4，即log85＞lg4. 5.已知函數(shù)y=lg（-x），求其定義域，并判斷其奇偶性、單調(diào)性. 思路解析：注意到+x=，即有l(wèi)g（-x）=-lg（+x）， 從而f（-x）=lg（+x） =-lg（-x）=-f（x）， 可知其為奇函數(shù). 又因?yàn)槠婧瘮?shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，所以我們只需研究（0，+∞）上的單調(diào)性. 解：由題意-x＞0，解得x∈R，即定義域?yàn)镽. 又f（-x）=lg［-（-x）］=lg（+x）=lg=lg（-x）-1=-lg（-x）=-f（x）, ∴y=lg（-x）是奇函數(shù). 任取x1、x2∈（0，+∞）且x1＜x2，則＜+x1＜+x2>， 即有 -x1＞-x2＞0， ∴l(xiāng)g（-x1）＞lg（-x2），即f（x1）＞f（x2）成立. ∴f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù).又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，故f（x）在（-∞，0）上也為減函數(shù). 6.作出下列函數(shù)的圖象： （1）y=|log4x|-1； （2）y=|x+1|. 思路解析：（1）y=|log4x|-1的圖象可以看成由y=log4x的圖象經(jīng)過變換而得到：將函數(shù)y=log4x的圖象在x軸下方部分以x軸為對稱軸翻折上去，得到y(tǒng)=|log4x|的圖象，再將y=|log4x|的圖象向下平移1個(gè)單位，橫坐標(biāo)不變，就得到了y=|log4x|-1的圖象. （2）y= |x+1|的圖象可以看成由y=x的圖象經(jīng)過變換而得到：將函數(shù)y=x的圖象作出右邊部分關(guān)于y軸的對稱圖象，即得到函數(shù)y=|x|的圖象，再將所得圖象向左平移一個(gè)單位，就得到所求的函數(shù)y=|x+1|的圖象. 解：函數(shù)（1）的圖象作法如圖①—③所示.函數(shù)（2）的圖象作法如圖④—⑥所示. 快樂時(shí)光 七個(gè)男人和一個(gè)女人 朋友閑來無事，到街上遛達(dá)，看到有一錄像點(diǎn)高掛著牌子，寫著：今晚精彩錄像——《七個(gè)男人與一個(gè)女人的故事》莫失良機(jī).朋友好奇心發(fā)作，買票進(jìn)場.待人坐齊以后，開始放映.一開場屏幕上出現(xiàn)了真實(shí)片名《八仙過海》. 30分鐘訓(xùn)練(鞏固類訓(xùn)練，可用于課后) 1.如下圖，當(dāng)a＞1時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=a-x與y=logax的圖象是( ) 思路解析:首先把y=a-x化為y=（）x， ∵a＞1，∴0＜＜1. 因此y=（）x，即y=a-x的圖象是下降的，y=logax的圖象是上升的. 答案:A 2.y=（x2-3x+2）的遞增區(qū)間是( ) A.（-∞，1） B.（2，+∞） C.（-∞，） D.（，+∞） 思路解析:首先考慮對數(shù)函數(shù)的定義域，再利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì). 答案:A 3.已知函數(shù)f（x）=lg（x2-3x+2）的定義域?yàn)镕，函數(shù)g（x）=lg（x-1）+lg（x-2）的定義域?yàn)镚，那么( ) A.GF B.G=F C.FG D.F∩G= 思路解析:F={x|x2-3x+2>0}={x|x>2或x<1}，G={x|x>2}. ∴GF. 答案:A 4.已知函數(shù)f（x）=log2（x2-ax+3a）在［2，+∞］上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ) A.（-∞，4） B.（-4，4） C.（-∞，-4）∪［2，+∞ D.［-4，4］ 思路解析:解決復(fù)合函數(shù)問題的通法是把復(fù)合函數(shù)化歸為基本初等函數(shù). 令u（x）=x2-ax+3a，其對稱軸x=. 由題意有 解得-4<a≤4. 答案:B 5.已知f(x)是周期為2的奇函數(shù),當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)=lgx.設(shè)a=f(),b=f(),c=f(),則( ) A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b 思路解析:由題意,a=f()=f(-)=-f()=-lg=lg,b=f()=f(-)=-f()=-lg=lg2, c=f()=f()=lg,由于f(x)=lgx,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)為增函數(shù),所以有c<a<b. 答案：D 6.函數(shù)f(x)=+lg(3x+1)的定義域是( ) A.（-,+∞） B.（-,1） C.（-,） D.（-∞,- ） 思路解析:要使函數(shù)有意義,則解得-<x<1. 答案:B 7.已知f（x）=loga（a>0且a≠1）. （1）求函數(shù)的定義域； （2）討論函數(shù)的單調(diào)性； （3）求使f（x）>0的x的取值范圍. 解：（1）由>0得-1<x<1. ∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1）. （2）對任意-1<x1<x2<1，-=<0，∴<. 當(dāng)a>1時(shí)，loga<loga，即f（x1）<f（x2）； 當(dāng)0<a<1時(shí)，loga>loga，即f（x1）>f（x2）. ∴當(dāng)a>1時(shí)，f（x）為（-1，1）上的增函數(shù)； 當(dāng)0<a<1時(shí)，f（x）為（-1，1）上的減函數(shù). （3）loga>0= loga 1. ∴當(dāng)a>1時(shí)，>1，即-1=>0. ∴2x（x-1）<0.∴0<x<1. 當(dāng)0<a<1時(shí)，解得-1<x<0； 當(dāng)a>1時(shí)，f（x）>0的解為（0，1）； 當(dāng)0<a<1時(shí)，f（x）>0的解為（-1，0）. 8.設(shè)函數(shù)f（x）=x2-x+b，且f（log2a）=b，log2［f（a）］=2（a≠1），求f（log2x）的最小值及對應(yīng)的x的值. 思路解析：關(guān)鍵是利用已知的兩個(gè)條件求出a、b的值. 解：由已知得 即 由①得log2a=1，∴a=2. 代入②得b=2.∴f（x）=x2-x+2. ∴f（log2x）=log22x-log2x+2=（log2x-）2+.∴當(dāng)log2x=時(shí)，f（log2x）取得最小值，此時(shí)x=. 9.已知f（x）=1+logx3，g（x）=2logx2，試比較f（x）與g（x）的大小. 思路解析:要比較兩個(gè)代數(shù)式的大小，通常采取作差法或作商法，作差時(shí)，所得差同零比較，作商時(shí)，應(yīng)先分清代數(shù)式的正負(fù)，再將商同“1”比較大小.因?yàn)楸绢}中的f（x）與g（x）的正負(fù)不確定，所以采取作差比較法. 解：f（x）和g（x）的定義域都是（0，1）∪（1，+∞） .f（x）-g（x）=1+logx3-2logx2=1+logx3-logx4=logxx. （1）當(dāng)0＜x＜1時(shí)，若0＜x＜1，即0＜x＜，此時(shí)logxx＞0，即0＜x＜1時(shí)，f（x）＞g（x）； （2）當(dāng)x＞1時(shí)，若x＞1，即x＞，此時(shí)logxx＞0，即x＞時(shí)，f（x）＞g（x）； 若x=1，即x=，此時(shí)logxx=0，即x=時(shí)，f（x）=g（x）； 若0＜x＜1，即0＜x＜，此時(shí)logxx＜0，即1＜x＜時(shí)，f（x）＜g（x）. 綜上所述，當(dāng)x∈（0，1）∪（，+∞）時(shí)，f（x）＞g（x）； 當(dāng)x=時(shí)，f（x）=g（x）； 當(dāng)x∈（1，）時(shí)，f（x）＜g（x）. 10.已知f（x）=lg（ax-bx）（a>1>b>0）. （1）求y=f（x）的定義域； （2）在函數(shù)圖象上是否存在不同兩點(diǎn)，使過兩點(diǎn)的直線平行于x軸? 思路解析：（2）的思維難點(diǎn)是把問題化歸為研究函數(shù)的單調(diào)性問題. 解：（1）由ax-bx>0，得（）x>1=（）0. ∵>1，∴x>0. ∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）. （2）先證明f（x）是增函數(shù).對于任意x1>x2>0，∵a>1>b>0，∴>，<. ∴->-. ∴l(xiāng)g（-）>lg（-）. ∴f（x1）>f（x2）. ∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù). 假設(shè)y=f（x）上存在不同的兩點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），使直線AB平行于x軸，則x1≠x2，y1=y2，這與f（x）是增函數(shù)矛盾. ∴y=f（x）的圖象上不存在兩點(diǎn)，使過這兩點(diǎn)的直線平行于x軸. 11. 2006年春節(jié)晚會的現(xiàn)場上無數(shù)次響起響亮的掌聲，某報(bào)記者用儀器測量到最響亮的一次音量達(dá)到了90.1分貝.分貝是計(jì)量聲音強(qiáng)度相對大小的單位.物理學(xué)家引入了聲壓級（spl）來描述聲音的大?。喊岩缓苄〉穆晧篜0=2×10-5帕作為參考聲壓，把所要測量的聲壓P與參考聲壓P0的比值取常用對數(shù)后乘以20得到的數(shù)值稱為聲壓級.聲壓級是聽力學(xué)中最重要的參數(shù)之一，單位是分貝（dB）.分貝值在60以下為無害區(qū)，60—110為過渡區(qū)，110以上為有害區(qū). （1）根據(jù)上述材料，列出分貝y與聲壓P的函數(shù)關(guān)系式. （2）某地聲壓P=0.002帕，試問該地為以上所說的什么區(qū)?聲音環(huán)境是否優(yōu)良？ 思路解析：由已知條件即可寫出分貝y與聲壓P之間的函數(shù)關(guān)系式，然后由函數(shù)關(guān)系式求得當(dāng)P=0.002帕?xí)r，分貝y的值.由此可判斷所在區(qū). 解：（1）由已知y=（lg）×20=20·lg（其中P0=2×10-5）. （2）將P=0.002代入函數(shù)關(guān)系y=20lg，則y=20lg=20lg102=40（分貝）. 由已知條件知40分貝小于60分貝，所以在噪音無害區(qū)，環(huán)境優(yōu)良. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375