《高中數(shù)學(xué) 第二章 概率 2.3 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 2.3.1 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望課堂導(dǎo)學(xué)案 新人教B版選修23》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 概率 2.3 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 2.3.1 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望課堂導(dǎo)學(xué)案 新人教B版選修23（4頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2.3.1 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 課堂導(dǎo)學(xué) 三點(diǎn)剖析 一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 【例1】根據(jù)歷次比賽或訓(xùn)練記錄，甲、乙兩射手在同樣的條件下進(jìn)行射擊，成績(jī)的分布列如下： 射手 8環(huán) 9環(huán) 10環(huán) 甲 0.3 0.1 0.6 乙 0.2 0.5 0.3 試比較甲、乙兩射手射擊水平的高低. 解析：設(shè)甲、乙兩射手射擊一次所得的環(huán)數(shù)分別為X1，X2，則 E（X1）=80.3+90.1+100.6=9.3, E(X2)=80.2+90.5+100.3=9.1, 這就是說(shuō)射手甲射擊所得環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)期望比射手乙射擊所得環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)期望高，從而說(shuō)明甲的平

2、均射擊水平比乙的稍高一點(diǎn).如果兩人進(jìn)行比賽，甲贏的可能性較大. 溫馨提示 離散型隨機(jī)變量的分布列具有的性質(zhì)pi≥0,i=1,2,…,n和=1. 二、利用概率知識(shí)求隨機(jī)變量的分布列 【例2】（2006山東高考，理20）袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個(gè).從袋中任取3個(gè)小球,按3個(gè)小球上最大數(shù)字的9倍計(jì)分,每個(gè)小球被取出的可能性都相等,用ξ表示取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字,求: (1)取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率; (2)隨機(jī)變量ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望; (3)計(jì)分介于20分到40分之間的概率. 解：（1）方法一：“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”的事

3、件記為A, 則P(A)==. 方法二：“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A,“一次取出的3個(gè)小球上有兩個(gè)數(shù)字相同”的事件記為B，則事件A和事件B是互斥事件，因?yàn)镻(B)==. 所以P(A)=1-P(B)=1=. (2)由題意,ξ所有可能的取值為2,3,4,5. P(ξ=2)=; P(ξ=3)=; P(ξ=4)= ; P(ξ=5)=. 所以隨機(jī)變量ξ的概率分布為 ξ 2 3 4 5 P 因此ξ的數(shù)學(xué)期望為 Eξ=2+3+4+5=. (3)“一次取球所得計(jì)分介于20分到40分之間”的事件記為C，則 P（C）＝P（ξ＝3或ξ

4、=4)=P(ξ＝3）＋P（ξ=4)=. 溫馨提示 求隨機(jī)變量的分布列，首先弄清隨機(jī)變量所有可能的取值，進(jìn)而利用所學(xué)概率知識(shí)，求取每個(gè)值的概率，并列出表格即得分布列. 三、找到隨機(jī)變量的所有可能值并求每種取值的概率 【例3】 設(shè)一汽車(chē)在前進(jìn)途中要經(jīng)過(guò)4個(gè)路口，汽車(chē)在每個(gè)路口遇到綠燈（允許通行）的概率為,遇到紅燈（禁止通行）的概率為.假定汽車(chē)只在遇到紅燈或到達(dá)目的地時(shí)才停止前進(jìn)，ξ表示停車(chē)時(shí)已經(jīng)通過(guò)的路口數(shù)，求： （1)ξ的概率分布列及期望Eξ； （2）停車(chē)時(shí)最多已通過(guò)3個(gè)路口的概率. 解析：（1）ξ可能取的值是0，1，2，3，4, P（ξ=0）=, P(ξ=1)==,

5、 P(ξ=2)=()2=, P(ξ=3)=()3=, P(ξ=4)=()4=, ∴ξ的分布列是 ξ 0 1 2 3 4 P Eξ=0+1+2+3+4=. (2)P(ξ≤3)=1-P(ξ=4)=1=. 溫馨提示 本題的關(guān)鍵是正確求出各隨機(jī)變量的概率值. 各個(gè)擊破 類題演練 1 一個(gè)袋子里裝有大小相同的5個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取4個(gè)，求其中所含白球個(gè)數(shù)的期望. 解析：根據(jù)題目知所含白球數(shù)X服從參數(shù)N=10，M=5，n=4的超幾何分布，則 E（X）==2,所以從中任取4個(gè)球平均來(lái)說(shuō)會(huì)含有2個(gè)白球. 變式提示 1

6、 根據(jù)氣象預(yù)報(bào)，某地區(qū)下個(gè)月有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01.設(shè)工地上有一臺(tái)大型設(shè)備，為保護(hù)設(shè)備有以下二種方案. 方案1：運(yùn)走設(shè)備，此時(shí)需花費(fèi)3 800元. 方案2：建一保護(hù)圍墻，需花費(fèi)2 000元.但圍墻無(wú)法防止大洪水，當(dāng)大洪水來(lái)臨，設(shè)備受損，損失費(fèi)為60 000元. 試比較哪一種方案好. 解析：對(duì)于方案1，花費(fèi)為3 800元，損失為0元，花費(fèi)與期望損失之和為3 800元； 對(duì)于方案2，花費(fèi)為2 000元損失費(fèi)的分布列為 損失費(fèi)（元） 60 000 0 概率 0.01 0.99 期望損失為60 0000.1+00.99=600(元)，所以花費(fèi)與期望

7、損失之和為2 000+600=2 600（元）； 比較二種方案，方案2的花費(fèi)與期望損失之和較小，故方案2好. 類題演練 2 一接待中心有A、B、C、D四部熱線電話.已知某一時(shí)刻電話A、B占線的概率均為0.5，電話C、D占線的概率均為0.4，各部電話是否占線相互之間沒(méi)有影響.假設(shè)該時(shí)刻有ξ部電話占線，試求隨機(jī)變量ξ的概率分布和它的期望.ξ可能取的值是0，1，2，3，4. 解析：ξ可能取的值是0,1,2,3,4, P（ξ=0)=0.520.62=0.09. P(ξ=1)=0.520.62+0.520.40.6=0.3. P(ξ=2)=0.520.62+0.520.40.6+

8、0.520.42=0.37. P(ξ=3)=0.520.40.6+0.520.42=0.2. P(ξ=4)=0.520.42=0.04. 于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布列為 ξ 0 1 2 3 4 P 0.09 0.3 0.37 0.2 0.04 所以Eξ=00.09+10.3+20.37+30.2+40.04=1.8. 變式提示 2 已知X的分布列為 X -1 0 1 P 設(shè)Y=2X+3，則EY的值為（ ） A. B.4 C.-1

9、 D.1 解析：EX=+=, EY=E(2X+3)=2EX+3=+3=. 答案：A 類題演練 3 已知隨機(jī)變量X滿足P（X=1）=0.3,P（X=2）=0.7,則EX的值為（ ） A.0.6 B.0.7 C.0.3 D.1.7 解析：EX=10.3+20.7=1.7. 答案：D 變式提升 3 袋中有1個(gè)白球和4個(gè)黑球，每次從中任取1個(gè)球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球?yàn)橹?求取球次數(shù)ξ的概率分布. 解析：ξ的所有可能取值為1，2，3

10、，4，5，并且有P（ξ=1）==0.2, P(ξ=2)==0.2, P(ξ=3)==0.2, P(ξ=4)==0.2, P(ξ=5)==0.2, 因此ξ的分布列是 ξ 1 2 3 4 5 P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375