3.2.2 對(duì)數(shù)函數(shù) 自主廣場(chǎng) 我夯基 我達(dá)標(biāo) 1.如下圖，當(dāng)a＞1時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=a-x與y=logax的圖象是( ) 思路解析：首先把y=a-x化為y=()x， ∵a＞1，∴0＜＜1.因此y=()x，即y=a-x的圖象是下降的，y=logax的圖象是上升的. 答案:A 2.y=(x2-3x+2)的遞增區(qū)間是( ) A.(-∞，1) B.(2，+∞) C.(-∞，) D.(，+∞) 思路解析：首先考慮對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì). 答案:A 3.已知函數(shù)f(x)=lg(x2-3x+2)的定義域?yàn)镕，函數(shù)g(x)=lg(x-1)+lg(x-2)的定義域?yàn)镚，那么( ) A.GF B.G=F C.FG D.F∩G= 思路解析：F={x|x2-3x+2>0}={x|x>2或x<1}，G={x|x>2}.∴GF. 答案:A 4.已知函數(shù)f(x)=log2(x2-ax+3a)在［2，+∞)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ) A.（-∞，4） B.（-4，4] C.（-∞，-4）∪［2，+∞ D.［-4，4) 思路解析:解決復(fù)合函數(shù)問題的通法是把復(fù)合函數(shù)化歸為基本初等函數(shù). 令u（x）=x2-ax+3a，其對(duì)稱軸x=.由題意有解得-4<a≤4. 答案:B 5.若定義在(-1，0)上的函數(shù)f(x)=log2a(x+1)滿足f(x)>0，則a的取值范圍是( ) A.(0,) B.(0,] C.(,+∞) D.(0,+∞) 思路解析：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì). 當(dāng)x∈(-1，0)時(shí)，有x+1∈(0，1)，此時(shí)要滿足f(x)>0，只要0<2a<1即可. 由此解得0<a<. 答案:A 6.函數(shù)y=lg的圖象大致是( ) 思路解析：本題通法有兩種：①圖象是由點(diǎn)構(gòu)成的，點(diǎn)點(diǎn)構(gòu)成函數(shù)的圖象，所以可取特殊點(diǎn)(2，0)，(，1).②利用函數(shù)解析式判斷函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的定義域?yàn)?1，+∞)，在定義域上函數(shù)為減函數(shù). 答案:A 7.若函數(shù)f(x)=logax(0<a<1)在區(qū)間［a，2a］上的最大值是最小值的3倍，則a等于( ) A. B. C. D. 思路解析：本題關(guān)鍵是利用f(x)的單調(diào)性確定f(x)在［a，2a］上的最大值與最小值. f(x)=logax(0<a<1)在(0，+∞)上是減函數(shù)， 當(dāng)x∈［a，2a］時(shí)，f(x)max=f(a)=1，f(x)min=f(2a)=loga2a. 根據(jù)題意，3loga2a=1，即loga2a=，所以loga2+1=，即loga2=-.故由=2得a==. 答案:A 我綜合 我發(fā)展 8.loga<1，則a的取值范圍是____________. 思路解析：當(dāng)a>1時(shí)，loga<1=logaa.∴a>.又a>1，∴a>1. 當(dāng)0<a<1時(shí)，loga<logaa.∴a<.又0<a<1，∴0<a<. 答案:(0，)∪(1，+∞) 9.函數(shù)y=loga(x-2)+1(a＞0且a≠1)恒過定點(diǎn)______________. 思路解析：若x-2=1，則不論a為何值，只要a＞0且a≠1，都有y=1. 答案:(3，1) 10.函數(shù)f(x)=log(a-1)x是減函數(shù)，則a的取值范圍是____________. 思路解析：考查對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、性質(zhì).注意到a-1既受a-1＞0且a-1≠1的制約，又受減函數(shù)的約束，由此可列關(guān)于a的不等式求a. 由題意知0＜a-1＜1，∴1＜a＜2. 答案:1＜a＜2 11.已知f(x)=loga(a>0且a≠1). (1)求函數(shù)的定義域； (2)討論函數(shù)的單調(diào)性； (3)求使f(x)>0的x的取值范圍. 思路解析:注意對(duì)數(shù)函數(shù)的底和真數(shù)的制約條件以及底的取值范圍對(duì)單調(diào)性的影響. 解答:(1)由>0得-1<x<1. ∴函數(shù)的定義域?yàn)?-1,1). (2)對(duì)任意-1<x1<x2<1, <0，∴. 當(dāng)a>1時(shí)，loga<log a，即f(x1)<f(x2)； 當(dāng)0<a<1時(shí)，loga>loga，即f(x1)>f(x2). ∴當(dāng)a>1時(shí)，f(x)為(-1，1)上的增函數(shù)； 當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)為(-1，1)上的減函數(shù). (3)loga>0=loga1. 當(dāng)a>1時(shí)，>1，即-1=>0. ∴2x(x-1)<0.∴0<x<1. 當(dāng)0<a<1時(shí)，解得-1<x<0. ∴當(dāng)a>1時(shí)，f(x)>0的解為(0，1)； 當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)>0的解為(-1，0). 12.已知f(x)=1+logx3，g(x)=2logx2，試比較f(x)與g(x)的大小. 思路解析：要比較兩個(gè)代數(shù)式的大小，通常采取作差法或作商法，作差時(shí)，所得差同零比較，作商時(shí)，應(yīng)先分清代數(shù)式的正負(fù)，再將商同“1”比較大小.因?yàn)楸绢}中的f(x)與g(x)的正負(fù)不確定，所以采取作差比較法. 解答:f(x)和g(x)的定義域都是(0，1)∪(1，+∞). f(x)-g(x)=1+logx3-2logx2=1+logx3-logx4=logxx. (1)當(dāng)0＜x＜1時(shí)，若0＜x＜1，即0＜x＜， 此時(shí)logxx＞0，即0＜x＜1時(shí)，f(x)＞g(x). (2)當(dāng)x＞1時(shí)，若x＞1，即x＞，此時(shí)logxx＞0， 即x＞時(shí)，f(x)＞g(x)； 若x=1，即x=，此時(shí)logxx=0， 即x=時(shí)，f(x)=g(x)； 若0＜x＜1，即0＜x＜， 此時(shí)logxx＜0， 即1＜x＜時(shí)，f(x)＜g(x). 綜上所述，當(dāng)x∈(0，1)∪(，+∞)時(shí)，f(x)＞g(x)； 當(dāng)x=時(shí)，f(x)=g(x)；當(dāng)x∈(1，)時(shí)，f(x)＜g(x). 我創(chuàng)新 我超越 13.已知f(x)=lg(ax-bx)(a>1>b>0). (1)求y=f(x)的定義域； (2)在函數(shù)圖象上是否存在不同兩點(diǎn)，使過兩點(diǎn)的直線平行于x軸? 思路解析：(2)的思維難點(diǎn)是把問題化歸為研究函數(shù)的單調(diào)性問題. 解答:(1)由ax-bx>0，得()x>1=()0. ∵>1，∴x>0. ∴函數(shù)的定義域?yàn)?0，+∞). (2)先證明f(x)是增函數(shù). 對(duì)于任意x1>x2>0，∵a>1>b>0， ∴>，<. ∴->-. ∴l(xiāng)g(-)>lg(-). ∴f(x1)>f(x2). ∴f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù). 假設(shè)y=f(x)上存在不同的兩點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)，使直線AB平行于x軸， 則x1≠x2，y1=y2，這與f(x)是增函數(shù)矛盾. ∴y=f(x)的圖象上不存在兩點(diǎn)，使過這兩點(diǎn)的直線平行于x軸. 14.已知非零常數(shù)x、y、z，滿足2x=3y=6z，求證：. 思路解析：考查轉(zhuǎn)化的思想方法，指、對(duì)式的轉(zhuǎn)化.可以先求出x、y、z，然后由左邊推證出右邊. 證法一：設(shè)2x=3y=6z=k，則x=log2k，y=log3k，z=log6k. ∴=logk2+logk3=logk6=. 證法二：由2x=3y=6z，有2x=6z，3y=6z. ∴x=log26z=zlog26，y=log36z=zlog36. ∴(log62+log63)=log66=. 15.求函數(shù)f(x)=log2+log2(x-1)+log2(p-x)的值域. 思路解析：求函數(shù)值域，必須先求定義域，求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域轉(zhuǎn)化為解不等式組. 解答:f(x)的定義域?yàn)椤唷唷吆瘮?shù)定義域不能是空集，∴p＞1，定義域?yàn)?1，p). 而x∈(1，p)時(shí)，f(x)=log2(x+1)(p-x)=log2［-x2+(p-1)x+p］ =log2［-(x-)2+()2］. (1)當(dāng)0＜≤1，即1＜p≤3時(shí)，0＜(x+1)(p-x)＜2(p-1). ∴f(x)的值域?yàn)?-∞，log22(p-1)). (2)當(dāng)1＜＜p，即p＞3時(shí)，0＜(x+1)(p-x)≤()2. ∴函數(shù)f(x)的值域?yàn)?-∞，2log2(p+1)-2］. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375