15定積分的概念151曲邊梯形的面積152汽車行駛的路程153定積分的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)：、1.了解定積分的概念(難點).2.理解定積分的幾何意義(重點、易錯點).3.通過求曲邊梯形面積的過程和解決有關(guān)汽車行駛路程問題的過程，了解“以直代曲”“以不變代變”的思想(難點).4.能用定積分的定義求簡單的定積分(重點)自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知1曲邊梯形的面積和汽車行駛的路程(1)曲邊梯形的面積曲線梯形：由直線xa，xb(ab)，y0和曲線yf(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形(如圖151所示)求曲邊梯形面積的方法把區(qū)間a，b分成許多小區(qū)間，進而把曲邊梯形拆分為一些小曲邊梯形，對每個小曲邊梯形“以直代曲”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個小曲邊梯形面積的近似值，對這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值(如圖151所示)圖 圖圖151求曲邊梯形面積的步驟：分割，近似代替，求和，取極限(2)求變速直線運動的(位移)路程如果物體做變速直線運動，速度函數(shù)vv(t)，那么也可以采用分割，近似代替，求和，取極限的方法，求出它在atb內(nèi)所作的位移s.2定積分的概念如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點ax0x1xi1xixnb將區(qū)間a，b等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間xi1，xi上任取一點i(i1,2，n)作和式f(i)x f(i)，當(dāng)n時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作f(x)dx，即f(x)dx.其中a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式思考：f(x)dx是一個常數(shù)還是一個變量？f(x)dx與積分變量有關(guān)系嗎？提示由定義可得定積分f(x)dx是一個常數(shù)，它的值僅取決于被積函數(shù)與積分上、下限，而與積分變量沒有關(guān)系，即f(x)dxf(t)dtf(u)du.3定積分的幾何意義與性質(zhì)(1)定積分的幾何意義由直線xa，xb(ab)，x軸及一條曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積設(shè)為S，則有：圖152在區(qū)間a，b上，若f(x)0，則Sf(x)dx，如圖152所示，即f(x)dxS.在區(qū)間a，b上，若f(x)0，則Sf(x)dx，如圖152所示，即f(x)dxS.若在區(qū)間a，c上，f(x)0，在區(qū)間c，b上，f(x)0，則Sf(x)dxf(x)dx，如圖152所示，即(SA，SB表示所在區(qū)域的面積)(2)定積分的性質(zhì)kf(x)dxkf(x)dx(k為常數(shù))；f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx；f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)f(x)dxf(t)dt.()(2)f(x)dx的值一定是一個正數(shù)()(3)2xdx<2xdx()答案(1)(2)(3)2在“近似代替”中，函數(shù)f(x)在區(qū)間xi，xi1上的近似值()A只能是左端點的函數(shù)值f(xi)B只能是右端點的函數(shù)值f(xi1)C可以是該區(qū)間內(nèi)任一點的函數(shù)值f(i)(ixi，xi1)D以上答案均正確C作近似計算時，xxi1xi很小，誤差可忽略，所以f(x)可以是xi，xi1上任一值f(i)3圖153中陰影部分的面積用定積分表示為()圖153A.2xdxB.(2x1)dxC.(2x1)dxD.(12x)dxB根據(jù)定積分的幾何意義，陰影部分的面積為2xdx1dx(2x1)dx.4已知x2dx，x2dx，1dx2，則(x21)dx_. 【導(dǎo)學(xué)號：31062080】 解析x2dx，x2dx，1dx2，(x21)dxx2dxx2dx1dx22. 答案合 作 探 究攻 重 難求曲邊梯形的面積求由直線x0，x1，y0和曲線yx(x1)圍成的圖形面積圖154解(1)分割將曲邊梯形分割成n個小曲邊梯形，用分點，把區(qū)間0,1等分成n個小區(qū)間：，簡寫作(i1,2，n)每個小區(qū)間的長度為x.過各分點作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，它們的面積分別記作：S1，S2，Si，Sn.(2)近似代替用小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積，在小區(qū)間上任取一點i(i1,2，n)，為了計算方便，取i為小區(qū)間的左端點，用f(i)的相反數(shù)f(i)為其一邊長，以小區(qū)間長度x為另一邊長的小矩形對應(yīng)的面積近似代替第i個小曲邊梯形面積，可以近似地表示為Sif(i)x(i1,2，n)(3)求和因為每一個小矩形的面積都可以作為相應(yīng)小曲邊梯形面積的近似值，所以n個小矩形面積的和就是曲邊梯形面積S的近似值，即SSi(i)x021222(n1)2012(n1)n(n1)(2n1).(4)取極限當(dāng)分割無限變細，即x趨向于0時，n趨向于，此時趨向于S.從而有S .所以由直線x0，x1，y0和曲線yx(x1)圍成的圖形面積為.規(guī)律方法求曲邊梯形的面積(1)思想：以直代曲(2)步驟：分割近似代替求和取極限(3)關(guān)鍵：近似代替(4)結(jié)果：分割越細，面積越精確(5)求和時可用到一些常見的求和公式，如123n，122232n2，132333n32.跟蹤訓(xùn)練1求由拋物線yx2與直線y4所圍成的曲邊梯形的面積. 【導(dǎo)學(xué)號：31062081】 解yx2為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，所求曲邊梯形的面積應(yīng)為拋物線yx2(x0)與直線x0，y4所圍圖形面積S陰影的2倍，下面求S陰影由得交點為(2,4)，如圖所示，先求由直線x0，x2，y0和曲線yx2圍成的曲邊梯形的面積(1)分割將區(qū)間0,2n等分，則x，取i.(2)近似代替求和Sn 2122232(n1)2. (3)取極限SSn .所求平面圖形的面積為S陰影24.2S陰影，即拋物線yx2與直線y4所圍成的圖形面積為.求變速直線運動的路程已知汽車做變速直線運動，在時刻t的速度為v(t)t22t(單位：km/h)，求它在1t2這段時間行駛的路程是多少？解將時間區(qū)間1,2等分成n個小區(qū)間，則第i個小區(qū)間為，在第i個時間段的路程近似為sivt，i1,2，n.所以snsi (n1)2(n2)2(n3)2(2n)2(n1)(n2)2n3，ssn ，所以這段時間行駛的路程為 km.規(guī)律方法求變速直線運動路程的問題，方法和步驟類似于求曲邊梯形的面積，用“以直代曲”“逼近”的思想求解.求解過程為：分割、近似代替、求和、取極限.應(yīng)特別注意變速直線運動的時間區(qū)間.跟蹤訓(xùn)練2一物體自200 m高空自由落下，求它在開始下落后的第3秒至第6秒之間的距離(g9.8 m/s2) 【導(dǎo)學(xué)號：31062082】解自由落體的下落速度為v(t)gt.將3,6等分成n個小區(qū)間，每個區(qū)間的長度為.在第i個小區(qū)間(i1,2，n)上，以左端點函數(shù)值作為該區(qū)間的速度所以snv 9g9gg.所以ssn 9gg9.8132.3(m)故該物體在下落后第3 s至第6 s之間的距離是132.3 m.利用定積分的性質(zhì)及幾何意義求定積分探究問題1在定積分的幾何意義中f(x)0，如果f(x)0，f(x)dx表示什么？提示：如果在區(qū)間a，b上，函數(shù)f(x)0，那么曲邊梯形位于x軸的下方(如圖所示)，由于xi0，f(i)0，故f(i)xi0，從而定積分f(x)dx0，這時它等于圖中所示曲邊梯形面積的相反數(shù)，即f(x)dxS或Sf(x)dx.2dx的幾何意義是什么？提示：是由直線x0，x2，y0和曲線y所圍成的曲邊梯形面積，即以原點為圓心，2為半徑的圓的面積即dx.3若f(x)為a，a上的偶函數(shù)，則f(x)dx與f(x)dx存在什么關(guān)系？若f(x)為a，a上的奇函數(shù)，則f(x)dx等于多少？提示：若f(x)為偶函數(shù)，則f(x)dx2f(x)dx；若f(x)為奇函數(shù)，則f(x)dx0.說明下列定積分所表示的意義，并根據(jù)其意義求出定積分的值(1)2dx；(2)xdx；(3) dx.解(1)2dx表示的是圖中陰影部分所示的長方形的面積，由于這個長方形的面積為2，所以2dx2.(2)xdx表示的是圖中陰影部分所示的梯形的面積，由于這個梯形的面積為，所以xdx.(3) dx表示的是圖中陰影部分所示的半徑為1的半圓的面積，其值為，所以dx.母題探究：1.(變條件)將例3(3)改為利用定積分的幾何意義求dx.解dx表示的是圖中陰影部分所示半徑為1的圓的的面積，其值為，dx.2(變條件)將例3(3)改為利用定積分的幾何意義求dx.解dx表示的是圖中陰影部分所示半徑為1的圓的面積，其值為，dx.3(變條件)將例3(3)改為利用定積分的幾何意義求 (x)dx.解由定積分的性質(zhì)得， (x)dx xdxdx.yx是奇函數(shù)，xdx0.由例3(3)知dx. (x)dx.當(dāng) 堂 達 標(biāo)固 雙 基1把區(qū)間1,3n等分，所得n個小區(qū)間中每個小區(qū)間的長度為()A.B.C.D.B區(qū)間長度為2，n等分后每個小區(qū)間的長度都是，故選B.2定積分f(x)dx的大小()A與f(x)和積分區(qū)間a，b有關(guān)，與i的取法無關(guān)B與f(x)有關(guān)，與區(qū)間a，b以及i的取法無關(guān)C與f(x)以及i的取法有關(guān)，與區(qū)間a，b無關(guān)D與f(x)、積分區(qū)間a，b和i的取法都有關(guān)A由定積分的定義可知A正確3由ysin x，x0，x，y0所圍成圖形的面積寫成定積分的形式是_. 【導(dǎo)學(xué)號：31062083】解析0x，sin x0.ysin x，x0，x，y0所圍成圖形的面積寫成定積分的形式為sin xdx.答案 sin xdx4已知某物體運動的速度為vt，t0,10，若把區(qū)間10等分，取每個小區(qū)間右端點處的函數(shù)值為近似小矩形的高，則物體運動的路程近似值為_解析把區(qū)間0,1010等分后，每個小區(qū)間右端點處的函數(shù)值為n(n1,2，10)，每個小區(qū)間的長度為1.物體運動的路程近似值s1(1210)55.答案555計算： (25sin x)dx. 【導(dǎo)學(xué)號：31062084】解由定積分的幾何意義得，2dx22.由定積分的幾何意義得，sin xdx0.所以 (25sin x)dx2dx5sin xdx2.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375