星火益佰精品課件 2.2.8 8 函數(shù)與方程函數(shù)與方程 基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習自主學(xué)習 要點梳理要點梳理 1函數(shù)的零點函數(shù)的零點 (1)函數(shù)零點的定義函數(shù)零點的定義 把函數(shù)把函數(shù) yf(x)的圖像與橫軸的交的圖像與橫軸的交點的點的 稱為這稱為這 個函數(shù)的零點個函數(shù)的零點 (2)幾個等價關(guān)系幾個等價關(guān)系 方程方程 f(x)0 有實數(shù)根有實數(shù)根函數(shù)函數(shù) yf(x)的圖像與的圖像與 有交點有交點函數(shù)函數(shù) yf(x)有有 . 橫橫坐坐標標 橫橫軸軸 零點零點 (3)函數(shù)零點的判定函數(shù)零點的判定(零點存在性定理零點存在性定理) 若函數(shù)若函數(shù) yf(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a，b上的圖像是連續(xù)曲線，上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點的函數(shù)值符號相反，即并且在區(qū)間端點的函數(shù)值符號相反，即 ，則，則在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)，函數(shù)內(nèi)，函數(shù) yf(x)至少有一個零點，即至少有一個零點，即相應(yīng)的方程相應(yīng)的方程 f(x)0 在區(qū)間在區(qū)間(a， b)內(nèi)至少有一個實數(shù)解內(nèi)至少有一個實數(shù)解 f(a) f(b)0)的圖的圖像像與零點的關(guān)系與零點的關(guān)系 0 0 0)的圖的圖像像 與與 x 軸的交軸的交點點 ， 無交點無交點 零點個數(shù)零點個數(shù) (x1,0) (x2,0) (x1,0) 兩個兩個 一個一個 無無 3.二分法二分法 對于在區(qū)間對于在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且上連續(xù)不斷且 的函的函 數(shù)數(shù) yf(x)，通過不斷地把函數(shù)，通過不斷地把函數(shù) f(x)的零點所在的區(qū)的零點所在的區(qū) 間間 ，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近 ， 進而得到零點近似值的方法叫進而得到零點近似值的方法叫作作二分法二分法 f(a) f(b)0 一分為二一分為二 零點零點 難點正本難點正本 疑點清源疑點清源 1函數(shù)的零點不是點函數(shù)的零點不是點 函數(shù)函數(shù) yf(x)的零點就是方程的零點就是方程 f(x)0 的實數(shù)根， 也就的實數(shù)根， 也就是函數(shù)是函數(shù) yf(x)的圖的圖像像與與 x 軸交點的橫坐標，所以函軸交點的橫坐標，所以函數(shù)的零點是一個數(shù)，而不是一個點在寫函數(shù)零點數(shù)的零點是一個數(shù)，而不是一個點在寫函數(shù)零點時，所寫的一定是一個數(shù)字，而不是一個坐標時，所寫的一定是一個數(shù)字，而不是一個坐標 2零點存在性定理的條件是充分而不必要條件零點存在性定理的條件是充分而不必要條件 若函數(shù)若函數(shù) yf(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a，b上的圖上的圖像像是連續(xù)不間斷的，并是連續(xù)不間斷的，并且在區(qū)間端點的函數(shù)值符號相反，即且在區(qū)間端點的函數(shù)值符號相反，即 f(a) f(b)0，f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a，b)上照樣存在零點，而且有兩個所上照樣存在零點，而且有兩個所以我們說零點存在性定理的條件是充分條件，但并不必要以我們說零點存在性定理的條件是充分條件，但并不必要 基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測 1根據(jù)下面表格中的數(shù)據(jù)，可以判定方程根據(jù)下面表格中的數(shù)據(jù)，可以判定方程 exx20 的一個根所在的區(qū)間為的一個根所在的區(qū)間為_. x 1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x2 1 2 3 4 5 (1,2)(1,2) 2若函數(shù)若函數(shù) f(x)axxa(a0，且，且 a1)有兩個零點，有兩個零點， 則實數(shù)則實數(shù) a 的取值范圍是的取值范圍是_ 解析解析 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) yax(a0，且，且 a1)和函數(shù)和函數(shù) yxa，則函數(shù)，則函數(shù) f(x)axxa(a0，且，且 a1)有兩個零點，就是函數(shù)有兩個零點，就是函數(shù) yax(a0， 且且 a1)與函數(shù)與函數(shù) yxa 有兩個交點，由有兩個交點，由 圖圖像像可知當可知當 0a1 時，因為函數(shù)時，因為函數(shù) yax(a1)的圖的圖像像過點過點(0,1)，而直線，而直線 yxa 所過的點一定在點所過的點一定在點(0,1)的上方，的上方，所以一定有兩個交點，所以實數(shù)所以一定有兩個交點，所以實數(shù) a 的取值范圍是的取值范圍是 a1. a a1 1 3函數(shù)函數(shù) f(x)ex2x6 (e2.718)的零點屬于區(qū)間的零點屬于區(qū)間(n， n1) (nZ)，則，則 n_. 解析解析 可以估算兩個相鄰自然數(shù)的函數(shù)值，可以估算兩個相鄰自然數(shù)的函數(shù)值，f(1)e40，從而可知函數(shù)，從而可知函數(shù) f(x)的零點位于區(qū)間的零點位于區(qū)間(1,2)內(nèi)，故內(nèi)，故 n1. 1 1 4若函數(shù)若函數(shù) f(x)axb 有一個零點為有一個零點為 2，則，則 g(x)bx2 ax 的零點是的零點是 ( ) A0,2 B0，12 C0，12 D2，12 解析解析 由由 f(2)2ab0，得，得 b2a， g(x)2ax2axax(2x1) 令令 g(x)0，得，得 x0，x12， g(x)的零點為的零點為 0，12. C 5已知三個函數(shù)已知三個函數(shù) f(x)2xx，g(x)x2，h(x)log2x x 的零點依次為的零點依次為 a，b，c，則，則 ( ) Aabc Bacb Cbac Dcab 解析解析 由于由于 f(1)121120， 故故 f(x)2xx 的零點的零點 a(1,0) g(2)0， g(x)的零點的零點 b2； h 12112120， 故故 h(x)的零點的零點 c 12，1 ，因此，因此 acb. 點評點評 本題的易錯點是，學(xué)生誤以本題的易錯點是，學(xué)生誤以為為需求出需求出 a、b、c 其其實實 a 和和 c 只需限定區(qū)間即可只需限定區(qū)間即可 B 題型分類題型分類 深度剖析深度剖析 題型一題型一 判斷函數(shù)在給定區(qū)間上零點的存在性判斷函數(shù)在給定區(qū)間上零點的存在性 例例 1 判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點 (1)f(x)x23x18，x1,8； (2)f(x)log2(x2)x，x1,3 思維啟迪思維啟迪 第第(1)問利用零點的存在性定理或直接求出問利用零點的存在性定理或直接求出零點，第零點，第(2)問利用零點的存在性定理或利用兩圖問利用零點的存在性定理或利用兩圖像像的交的交點來求解點來求解 解解 (1)方法一方法一 f(1)123118200， f(1) f(8)log2210， f(3)log253log2830，f(1) f(3)0， 故故 f(x)log2(x2)x，x1,3存在零點存在零點 方法二方法二 設(shè)設(shè) ylog2(x2)，yx，在同，在同 一直角坐標系中畫出它們的圖一直角坐標系中畫出它們的圖像像，從圖，從圖 象中可以看出當象中可以看出當 1x3 時，兩圖時，兩圖像像有有 一個交點，因此一個交點，因此 f f ( (x x) )loglog2 2( (x x2)2)x x， x x1,31,3存在零點存在零點 探究提高探究提高 函數(shù)的零點存在性問題常用的辦法有三種：函數(shù)的零點存在性問題常用的辦法有三種：一是用定理， 二是解方程， 三是用圖一是用定理， 二是解方程， 三是用圖像像 值得說明的是， 值得說明的是，零點存在性定理是充分條件，而并非是必要條件零點存在性定理是充分條件，而并非是必要條件 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 1 判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點 (1)f(x)x31，xR； (2)f(x)1xx，x(0,1) 解解 (1)f(x)x31(x1)(x2x1)， 令令 f(x)0，即，即(x1)(x2x1)0，x1， f(x)x31，xR 有零點有零點1. (2)方法一方法一 令令 f(x)0，得，得1xx0，1x2x0， x 1, 而而 1 (0,1)， f(x)1xx，x(0,1)不存在零點不存在零點 方法二方法二 令令 y1x，yx，在同一平面直角坐標系中，作，在同一平面直角坐標系中，作出它們的圖出它們的圖像像， 從圖中可以看出當， 從圖中可以看出當 0 x0 的零點個數(shù)為的零點個數(shù)為 ( ) A3 B2 C1 D0 解析解析 當當 x0 時， 由時， 由 f(x)x22x30， 得， 得 x11(舍去舍去)，x23；當；當 x0 時，由時，由 f(x)2ln x0， 得得 xe2，所以函數(shù)，所以函數(shù) f(x)的零點個數(shù)為的零點個數(shù)為 2. B 題型三題型三 二次函數(shù)的零點分布問題二次函數(shù)的零點分布問題 例例 3 已知關(guān)于已知關(guān)于 x 的二次方程的二次方程 x22mx2m10. (1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(1,0)內(nèi)，另一根內(nèi)，另一根在區(qū)間在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求內(nèi)，求 m 的范圍；的范圍； (2)若方程兩根均在區(qū)間若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi)，求內(nèi)，求 m 的范圍的范圍 思維啟迪思維啟迪 設(shè)出二次方程對應(yīng)的函數(shù)， 可畫出相應(yīng)的示設(shè)出二次方程對應(yīng)的函數(shù)， 可畫出相應(yīng)的示意圖，意圖， 然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制 解解 (1)由條件，拋物線由條件，拋物線 f(x)x22mx2m 1 與與 x 軸的交點分別在區(qū)間軸的交點分別在區(qū)間(1,0)和和(1,2) 內(nèi)，如圖內(nèi)，如圖(1)所示，得所示，得 f 0 2m10，f 1 4m20. m12，mR，m56. 即即56m0，f 1 0，0，0m12，m12，m1 2或或m1 2，1m0. 即即120， 若存在實數(shù)若存在實數(shù) a 滿足條件，滿足條件， 則只需則只需 f(1) f(3)0 即可即可 f(1) f(3)(13a2a1) (99a6a1) 4(1a)(5a1)0. 所以所以 a15或或 a1. 檢驗：檢驗：當當 f(1)0 時，時，a1. 所以所以 f(x)x2x.令令 f(x)0，即，即 x2x0. 得得 x0 或或 x1. 方程在方程在1,3上有兩根，不合題意，故上有兩根，不合題意，故 a1. 當當 f(3)0 時，時，a15， 此時此時 f(x)x2135x65， 令令 f(x)0，即，即 x2135x650， 解之得解之得 x25或或 x3. 方程在方程在1,3上有兩根，不合上有兩根，不合題意，故題意，故 a15. 綜上所述，綜上所述，a1. 易錯警示易錯警示 4分類討論不周全致誤分類討論不周全致誤 試題：試題： (12 分分)已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)|x|x2， 如果關(guān)于， 如果關(guān)于 x 的方程的方程 f(x)kx2有四個不同的實數(shù)解，求實數(shù)有四個不同的實數(shù)解，求實數(shù) k 的取值范圍的取值范圍 學(xué)生解答展示學(xué)生解答展示 解：解： 22|2|)(kxxxxxxf原方程有兩個解時或當012210, 04240122,22,20) 1 (kxkxkkkkkxkxkxxxxx時且當 審題視角審題視角 f(x)kx2的解的解|x|x2kx2的解的解 方程有方程有四個不同的解，可考慮分為有正解、負解和零解四個不同的解，可考慮分為有正解、負解和零解在在有正解、負解、零解的情況下，分別考慮有正解、負解、零解的情況下，分別考慮 k 的取值情況的取值情況 2222(2)0,2210440.10210(, 1)(1,)xxkxxkxkxkkkkkxkxk 時當時兩個當當或有解規(guī)范解答規(guī)范解答 解解 f(x)|x|x2， 原方程即原方程即|x|x2kx2. (*) x0 恒為方程恒為方程(*)的一個解的一個解 1 分分 當當 x0 且且 x2 時，若方程時，若方程(*)有解，則有解，則xx2kx2，kx22kx10. 當當 k0 時，方程時，方程 kx22kx10 無解；無解； 2 分分 當當 k0 時，時，4k24k0，即，即 k1 時，方程時，方程 kx22kx10 有兩個不等的負根；有兩個不等的負根； 4 分分 當當 k1 時，方程時，方程 kx22kx10 有兩個相等的負根；有兩個相等的負根； 5 分分 當當 k0 時，若方程時，若方程(*)有解，有解， 則則xx2kx2，kx22kx10. 當當 k0 時，方程時，方程 kx22kx10 無解；無解； 7 分分 當當 k0 時，時，4k24k0，即，即 k1 或或 k0 時，方程時，方程kx22kx10 有解有解 8 分分 設(shè)方程設(shè)方程 kx22kx10 的兩個根分別是的兩個根分別是 x3、x4， 則則 x3x42，x3x41k. 當當 k0 時，方程時，方程 kx22kx10 有一個正根；有一個正根； 9 分分 當當 k1 時，方程時，方程 kx22kx10 沒有正根沒有正根 10 分分 綜上可得，當綜上可得，當 k(1，)時，方程時，方程 f(x)kx2有四個不同有四個不同的實數(shù)解的實數(shù)解 12 分分 批閱筆記批閱筆記 (1)解決由函數(shù)零點解決由函數(shù)零點(方程根方程根)的存在情況求參數(shù)的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問題，關(guān)鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)的值或取值范圍問題，關(guān)鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解 (2)本題的易錯點主要是分類討論不周全，導(dǎo)致解析不完整本題的易錯點主要是分類討論不周全，導(dǎo)致解析不完整或解答錯誤 表現(xiàn)在兩個方面：或解答錯誤 表現(xiàn)在兩個方面： 不對不對 x 分類討論或漏掉分類討論或漏掉 x0 的情況 由于方程中含有絕對值， 一般從去絕對值的角的情況 由于方程中含有絕對值， 一般從去絕對值的角度要對度要對 x 進行分類討論，若直接平方去絕對值，則解題將進行分類討論，若直接平方去絕對值，則解題將無法進行下去無法進行下去 在方程轉(zhuǎn)化成關(guān)于在方程轉(zhuǎn)化成關(guān)于 x 的一元二次方程后，的一元二次方程后，需對需對 k 進行分類討論在討論時易忽略進行分類討論在討論時易忽略 k0 的情況的情況 對分類討論要遵循不重、不漏和最簡的原則對分類討論要遵循不重、不漏和最簡的原則 思想方法感悟提高思想方法感悟提高 方法與技巧方法與技巧 1函數(shù)零點的判定常用的方法有：函數(shù)零點的判定常用的方法有： (1)零點存在性定理；零點存在性定理；(2)數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合；(3)解方程解方程 f(x)0. 2 研究方程 研究方程 f(x)g(x)的解， 實質(zhì)就是研究的解， 實質(zhì)就是研究 G(x)f(x)g(x)的零點的零點 3二分法是求方程的根的近似值的一種計算方法其實質(zhì)二分法是求方程的根的近似值的一種計算方法其實質(zhì)是通過不斷地是通過不斷地“取中點取中點”來逐步縮小零點所在的范圍，來逐步縮小零點所在的范圍，當達到一定的精確度要求時，所得區(qū)間的任一點就是這當達到一定的精確度要求時，所得區(qū)間的任一點就是這個函數(shù)零點的近似值個函數(shù)零點的近似值 失誤與防范失誤與防范 1對于函數(shù)對于函數(shù) yf(x)(xD)，我們把使，我們把使 f(x)0 的實數(shù)的實數(shù) x 叫叫作作函函數(shù)的零點，注意以下幾點：數(shù)的零點，注意以下幾點： (1)函數(shù)的零點是一個實數(shù)， 當函數(shù)的自變量取這個實數(shù)時，函數(shù)的零點是一個實數(shù)， 當函數(shù)的自變量取這個實數(shù)時，其函數(shù)值等于零；其函數(shù)值等于零； (2)函數(shù)的零點也就是函數(shù)函數(shù)的零點也就是函數(shù) yf(x)的圖的圖像像與與 x 軸的交點的橫軸的交點的橫坐標；坐標； (3)一般我們只討論函數(shù)的實數(shù)零點；一般我們只討論函數(shù)的實數(shù)零點； (4)函數(shù)的零點不是點，是方程函數(shù)的零點不是點，是方程 f(x)0 的根的根 2對函數(shù)零點存在的判斷中，必須強調(diào)：對函數(shù)零點存在的判斷中，必須強調(diào)： (1)f(x)在在a，b上連續(xù)；上連續(xù)； (2)f(a) f(b)0 且且 a1) 對數(shù)函數(shù)模型對數(shù)函數(shù)模型 f(x)blogaxc(a， b， c 為常數(shù)，為常數(shù)， b0，a0 且且 a1) 冪函數(shù)模型冪函數(shù)模型 f(x)axb (a，b 為常數(shù)，為常數(shù)，a0) (2)三種增長型函數(shù)之間增長速度的比較三種增長型函數(shù)之間增長速度的比較 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) yax (a1)與冪函數(shù)與冪函數(shù) yx(0) 在區(qū)間在區(qū)間(0，)，無論，無論 比比 a 大多少，盡管在大多少，盡管在 x 的一定范的一定范圍內(nèi)圍內(nèi) ax會小于會小于 x，但由于，但由于 yax的增長速度快于的增長速度快于 yx的增的增長速度，因而總存在一個長速度，因而總存在一個 x0，當，當 xx0時有時有 . 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù) ylogax (a1)與冪函數(shù)與冪函數(shù) yx(0) 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù) ylogax (a1)的增長速度，不論的增長速度，不論 a 與與 值的大小值的大小如何總會慢于如何總會慢于 yx的增長速度，因而在定義域內(nèi)總存在一的增長速度，因而在定義域內(nèi)總存在一個實數(shù)個實數(shù) x0，使，使 xx0時有時有 . 由由可以看出三種增長型的函數(shù)盡管均為增函數(shù)， 但它們可以看出三種增長型的函數(shù)盡管均為增函數(shù)， 但它們的增長速度不同，且不在同一個檔次上，因此在的增長速度不同，且不在同一個檔次上，因此在(0，)上，總會存在一個上，總會存在一個 x0，使，使 xx0時有時有 . axx logaxxlogax 2解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟(四步八字四步八字) (1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；初步選擇數(shù)學(xué)模型； (2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型； (3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論； (4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題的意義還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題的意義 以上過程用框圖表示如下：以上過程用框圖表示如下： 難點正本難點正本 疑點清源疑點清源 解決函數(shù)應(yīng)用問題重點解決以下問題解決函數(shù)應(yīng)用問題重點解決以下問題 (1)閱讀理解、整理數(shù)據(jù)：通過分析、畫圖、列表、歸類閱讀理解、整理數(shù)據(jù)：通過分析、畫圖、列表、歸類等方等方法，快速弄清數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，數(shù)據(jù)的單位等等；法，快速弄清數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，數(shù)據(jù)的單位等等； (2)建立函數(shù)模型： 關(guān)鍵是正確選擇自變量將問題的目標建立函數(shù)模型： 關(guān)鍵是正確選擇自變量將問題的目標表示為這個變量的函數(shù)， 建立函數(shù)的模型的過程主要是表示為這個變量的函數(shù)， 建立函數(shù)的模型的過程主要是抓住某些量之間的相等關(guān)系列出函數(shù)式， 注意不要忘記抓住某些量之間的相等關(guān)系列出函數(shù)式， 注意不要忘記考察函數(shù)的定義域；考察函數(shù)的定義域； (3)求解函數(shù)模型：主要是研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的求解函數(shù)模型：主要是研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的值域、最大值域、最大(小小)值，計算函數(shù)的特殊值等，注意發(fā)揮函值，計算函數(shù)的特殊值等，注意發(fā)揮函數(shù)圖數(shù)圖像像的作用；的作用； (4)回答實際問題結(jié)果： 將函數(shù)問題的結(jié)論還原成實際問回答實際問題結(jié)果： 將函數(shù)問題的結(jié)論還原成實際問題，結(jié)果明確表述出來題，結(jié)果明確表述出來 基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測 1為了保證信息安全，傳輸必須使用加密方式，有一為了保證信息安全，傳輸必須使用加密方式，有一 種方式其加密、解密原理如下：種方式其加密、解密原理如下： 明文明文加密加密密文密文發(fā)送發(fā)送密文密文解密解密明文明文 已知加密為已知加密為 yax2 (x 為明文，為明文，y 為密文為密文)，如果明，如果明文文“3”通過加密后得到密文為通過加密后得到密文為“6”，再發(fā)送，接，再發(fā)送，接受方通過解密得到明文受方通過解密得到明文“3”， 若接受方接到密文為， 若接受方接到密文為“14”，則原發(fā)的明文是，則原發(fā)的明文是_ 解析解析 依題意依題意 yax2 中，當中，當 x3 時，時，y6，故，故 6a32，解得，解得 a2.所以加密為所以加密為 y2x2，因此，當，因此，當 y14 時，由時，由 142x2，解得解得 x4. 4 4 2 某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為 某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為 2 000 萬元， 并且每萬元， 并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加 10 萬元又知總收入萬元又知總收入 K是單位產(chǎn)品數(shù)是單位產(chǎn)品數(shù) Q 的函數(shù)，的函數(shù)，K(Q)40Q120Q2，則總，則總利潤利潤 L(Q)的最大值是的最大值是_萬元萬元 解析解析 L(Q)40Q120Q210Q2 000 120Q230Q2 000 120(Q300)22 500 當當 Q300 時，時，L(Q)的最大值為的最大值為 2 500 萬元萬元 2 5002 500 3某種儲蓄按復(fù)利計算利息，若本金為某種儲蓄按復(fù)利計算利息，若本金為 a 元，每期利率元，每期利率為為 r，存期是，存期是 x，本利和，本利和(本金加利息本金加利息)為為 y 元，則本利和元，則本利和y 隨存期隨存期 x 變化的函數(shù)關(guān)系式是變化的函數(shù)關(guān)系式是_ 解析解析 已知本金為已知本金為 a 元，利率為元，利率為 r，則，則 1 期后本利和為期后本利和為 yaara(1r)， 2 期后本利和為期后本利和為 ya(1r)a(1r)ra(1r)2， 3 期后本利和為期后本利和為 ya(1r)3， x 期后本利和為期后本利和為 ya(1r)x，xN+. ya(1r)x，xN+ 4某物體一天中的溫度某物體一天中的溫度 T(單位：單位：)是時間是時間 t(單位：單位：h) 的函數(shù)：的函數(shù)：T(t)t33t60，t0 表示中午表示中午 1200， 其后其后 t 取正值，則下午取正值，則下午 3 時溫度為時溫度為 ( ) A8 B78 C112 D18 解析解析 由題意，下午由題意，下午 3 時，時，t3， T(3)78() B 5生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本，某生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本，某 企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品 x 萬件時的生產(chǎn)成本為萬件時的生產(chǎn)成本為 C(x)12x22x20(萬元萬元)一萬件售價是一萬件售價是 20 萬元，萬元， 為獲取更大利潤，該企業(yè)一個月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為獲取更大利潤，該企業(yè)一個月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量 為為 ( ) A36 萬件萬件 B18 萬件萬件 C22 萬件萬件 D9 萬件萬件 解析解析 利潤利潤 L(x)20 xC(x)12(x18)2142， 當當 x18 時，時，L(x)有最大值有最大值 點評點評 解決本題的關(guān)鍵是正確建立利潤和產(chǎn)量之間的函解決本題的關(guān)鍵是正確建立利潤和產(chǎn)量之間的函數(shù)關(guān)系式數(shù)關(guān)系式 B 題型分類題型分類 深度剖析深度剖析 題型一題型一 一次函數(shù)、二次函數(shù)模型一次函數(shù)、二次函數(shù)模型 例例 1 某企業(yè)生產(chǎn)某企業(yè)生產(chǎn) A，B 兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，測，A 產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖 1；B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2(注：利潤和投資單位：萬元注：利潤和投資單位：萬元) (1)分別將分別將 A、B 兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；式； (2)已知該企業(yè)已籌集到已知該企業(yè)已籌集到 18 萬元資金，并將全部投入萬元資金，并將全部投入 A，B 兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的生產(chǎn). 若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，可獲得多少利潤？若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，可獲得多少利潤？ 問：如果你是廠長，怎樣分配這問：如果你是廠長，怎樣分配這 18 萬元投資，才能使萬元投資，才能使該企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元？該企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元？ 思維啟迪思維啟迪 (1)根據(jù)函數(shù)模型，建立函數(shù)解析式根據(jù)函數(shù)模型，建立函數(shù)解析式(2)根據(jù)根據(jù)資金分配情況，建立利潤解析式資金分配情況，建立利潤解析式 解解 (1)設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分別投資設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分別投資 x 萬元萬元(x0)，所獲，所獲利潤分別為利潤分別為 f(x)、g(x)萬元，萬元， 由題意可設(shè)由題意可設(shè) f(x)k1x，g(x)k2x， 根據(jù)圖根據(jù)圖像像可解得可解得 f(x)0.25x (x0)， g(x)2 x (x0) (2)由由(1)得得 f(9)2.25，g(9)2 96， 總利潤總利潤 y8.25(萬元萬元) 設(shè)設(shè) B 產(chǎn)品投入產(chǎn)品投入 x 萬元，萬元， A 產(chǎn)品投入產(chǎn)品投入(18x)萬元， 該企萬元， 該企業(yè)可獲總利潤為業(yè)可獲總利潤為 y 萬元，萬元， 則則 y14(18x)2 x，0 x18. 令令 xt，t0,3 2， 則則 y14(t28t18)14(t4)2344. 當當 t4 時，時，ymax3448.5，此時，此時 x16,18x2. 當當 A、B 兩種產(chǎn)品分別投入兩種產(chǎn)品分別投入 2 萬元、萬元、16 萬元時，可使萬元時，可使該企業(yè)獲得最大利潤該企業(yè)獲得最大利潤 8.5 萬元萬元 探究提高探究提高 (1)在實際問題中， 有很多問題的兩變量之間在實際問題中， 有很多問題的兩變量之間的關(guān)系是一次函數(shù)模型，其增長特點是直線上升的關(guān)系是一次函數(shù)模型，其增長特點是直線上升(自變自變量的系數(shù)大于量的系數(shù)大于 0)或直線下降或直線下降(自變量的系數(shù)小于自變量的系數(shù)小于 0)，構(gòu)，構(gòu)建一次函數(shù)模型，利用一次函數(shù)的圖建一次函數(shù)模型，利用一次函數(shù)的圖像像與單調(diào)性求解與單調(diào)性求解 (2)有些問題的兩變量之間是二次函數(shù)關(guān)系，如面積問有些問題的兩變量之間是二次函數(shù)關(guān)系，如面積問題、利潤問題、產(chǎn)量問題等構(gòu)建二次函數(shù)模型，利用題、利潤問題、產(chǎn)量問題等構(gòu)建二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)圖二次函數(shù)圖像像與單調(diào)性解決與單調(diào)性解決 (3)在解決二次函數(shù)的應(yīng)用問題時，一定要注意定義域在解決二次函數(shù)的應(yīng)用問題時，一定要注意定義域 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 1 假設(shè)國家收購某種農(nóng)產(chǎn)品的價格是假設(shè)國家收購某種農(nóng)產(chǎn)品的價格是 1.2 元元/kg，其中征稅標準為每，其中征稅標準為每 100 元征元征 8 元元(即稅率為即稅率為 8 個個百分點，百分點，8%)，計劃可收購，計劃可收購 m kg.為了減輕農(nóng)民負擔，為了減輕農(nóng)民負擔，決定稅率降低決定稅率降低 x 個百分點，預(yù)計收購可增加個百分點，預(yù)計收購可增加 2x 個百個百分點分點 (1)寫出稅收寫出稅收 y(元元)與與 x 的函數(shù)關(guān)系；的函數(shù)關(guān)系； (2)要使此項稅收在稅率調(diào)節(jié)后不低于原計劃的要使此項稅收在稅率調(diào)節(jié)后不低于原計劃的78%，確定，確定 x 的取值范圍的取值范圍 解解 (1)由題知， 調(diào)節(jié)后稅率為由題知， 調(diào)節(jié)后稅率為(8x)%， 預(yù)計可收購， 預(yù)計可收購 m(12x%) kg，總金額為，總金額為 1.2m(12x%)元，元， y1.2m(12x%)(8x)% 3m12 500(40042xx2) (0 x8) (2)原計劃稅收原計劃稅收 1.2m 8%元，元， 1.2m(12x%)(8x)%1.2m 8% 78%， 得得 x242x880，44x2， 又又0 x8，x 的取值范圍為的取值范圍為 0 x2. 題型二題型二 分段函數(shù)模型分段函數(shù)模型 例例 2 某公司研制出了一種新產(chǎn)品，試制了一批樣品分某公司研制出了一種新產(chǎn)品，試制了一批樣品分別在國內(nèi)和國外上市銷售， 并且價格根據(jù)銷售情況不別在國內(nèi)和國外上市銷售， 并且價格根據(jù)銷售情況不斷進行調(diào)整，結(jié)果斷進行調(diào)整，結(jié)果 40 天內(nèi)全部銷完公司對銷售及天內(nèi)全部銷完公司對銷售及銷售利潤進行了調(diào)研，結(jié)果如圖所示，其中圖銷售利潤進行了調(diào)研，結(jié)果如圖所示，其中圖(一一條折線條折線)、 圖、 圖(一條拋物線段一條拋物線段)分別是國外和國內(nèi)市場分別是國外和國內(nèi)市場的日銷售量與上市時間的關(guān)系， 圖的日銷售量與上市時間的關(guān)系， 圖是每件樣品的銷是每件樣品的銷售利潤與上市時間的關(guān)系售利潤與上市時間的關(guān)系 (1)分別寫出國外市場的日銷售量分別寫出國外市場的日銷售量 f(t)與上市時間與上市時間 t 的的關(guān)系及國內(nèi)市場的日銷售量關(guān)系及國內(nèi)市場的日銷售量g(t)與上市時間與上市時間t的關(guān)系；的關(guān)系； (2)國外和國內(nèi)的日銷售利潤之和有沒有可能恰好等國外和國內(nèi)的日銷售利潤之和有沒有可能恰好等 于于 6 300 萬元？若有，請說明是上市后的第幾天；若萬元？若有，請說明是上市后的第幾天；若沒有，請說明理由沒有，請說明理由 思維啟迪思維啟迪 第第(1)問就是根據(jù)圖問就是根據(jù)圖和和所給的數(shù)據(jù)， 運用所給的數(shù)據(jù)， 運用待定系數(shù)法求出各圖待定系數(shù)法求出各圖像像中的解析式； 第中的解析式； 第(2)問先求得總利問先求得總利潤的函數(shù)關(guān)系式，再將問題轉(zhuǎn)化為方程是否有解潤的函數(shù)關(guān)系式，再將問題轉(zhuǎn)化為方程是否有解 解解 (1)圖圖是兩條線段，由一次函數(shù)及待定系數(shù)法，是兩條線段，由一次函數(shù)及待定系數(shù)法， 得得 f(t) 2t， 0t30，6t240， 30t40. 圖圖是一個二次函數(shù)的部分圖是一個二次函數(shù)的部分圖像像， 故故 g(t)320t26t (0t40) (2)每件樣品的銷售利潤每件樣品的銷售利潤 h(t)與上市時間與上市時間 t 的關(guān)系為的關(guān)系為 h(t) 3t，0t20，60，20t40. 故國外和國內(nèi)的日銷售利潤之和故國外和國內(nèi)的日銷售利潤之和 F(t)與上市時間與上市時間 t 的關(guān)系為的關(guān)系為 F(t) 3t 320t28t ，0t20，60 320t28t ，20t30，60 320t2240 ，30t40. 當當 0t20 時，時，F(xiàn)(t)3t 320t28t 920t324t2， F(t)2720t248tt 482720t 0， F(t)在在0,20上是上是遞遞增增的的， F(t)在此區(qū)間上的最大值為在此區(qū)間上的最大值為 F(20)6 0006 300. 當當 20t30 時，時，F(xiàn)(t)60 320t28t . 由由 F(t)6 300，得，得 3t2160t2 1000， 解得解得 t703(舍去舍去)或或 t30. 當當 30t40 時，時，F(xiàn)(t)60 320t2240 . 由由 F(t)在在(30,40上是上是遞遞減減的的，得，得 F(t)F(30)6 300. 故國外和國內(nèi)的日銷售利潤之和可以恰好等于故國外和國內(nèi)的日銷售利潤之和可以恰好等于 6 300 萬萬元，為上市后的第元，為上市后的第 30 天天 探究提高探究提高 (1)(1)分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當作幾個問題，將各段的變循的規(guī)律不同，可以先將其當作幾個問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值量的范圍，特別是端點值 (2)(2)構(gòu)造分段函數(shù)時，要力求準確、簡潔，做到分段合構(gòu)造分段函數(shù)時，要力求準確、簡潔，做到分段合理不重不漏理不重不漏 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 2 已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為為 10 萬元，每生產(chǎn)萬元，每生產(chǎn) 1 千件需另投入千件需另投入 2.7 萬元設(shè)該公司一萬元設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌服裝年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌服裝 x 千件并全部銷售完，每千件的銷千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為售收入為 R(x)萬元，且萬元，且 R(x) 10.8130 x2 010 . (1)寫出年利潤寫出年利潤 W(萬元萬元)關(guān)于年產(chǎn)量關(guān)于年產(chǎn)量 x(千件千件)的函數(shù)解析式；的函數(shù)解析式； (2)年產(chǎn)量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中年產(chǎn)量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得利潤最大？所獲得利潤最大？(注：年利潤年銷售收入年總成本注：年利潤年銷售收入年總成本) 解解 (1)當當 010 時，時，WxR(x)(102.7x)981 0003x2.7x. W 8.1xx33010 010 . (2)當當 0 x0； 當當 x(9,10)時，時，W10 時，時， W98 1 0003x2.7x 9821 0003x 2.7x38， 當且僅當當且僅當1 0003x2.7x，即，即 x1009時，時， W38，故當，故當 x1009時，時，W 取最大值取最大值 38. 綜合綜合知當知當 x9 時，時，W 取最大值取最大值 38.6 萬元，故當年萬元，故當年產(chǎn)量為產(chǎn)量為 9 千件時， 該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲千件時， 該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤最大年利潤最大 點評點評 分段函數(shù)模型的最值問題，應(yīng)該先求出每一段上分段函數(shù)模型的最值問題，應(yīng)該先求出每一段上的最值，然后再比較大小另外在利用基本不等式求解的最值，然后再比較大小另外在利用基本不等式求解最值時，一定要檢驗等號成立的條件也可通過函數(shù)的最值時，一定要檢驗等號成立的條件也可通過函數(shù)的單調(diào)性求解最值單調(diào)性求解最值 題型三題型三 指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)模型 例例 3 某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為 100 萬人，如果年自然增長率為萬人，如果年自然增長率為1.2%，試解答以下問題：，試解答以下問題： (1)寫出該城市人口總數(shù)寫出該城市人口總數(shù) y(萬人萬人)與年份與年份 x(年年)的函數(shù)關(guān)系式；的函數(shù)關(guān)系式； (2)計算計算 10 年以后該城市人口總數(shù)年以后該城市人口總數(shù)(精確到精確到 0.1 萬人萬人)； (3)計算大約多少年以后，該城市人口將達到計算大約多少年以后，該城市人口將達到 120 萬人萬人(精精 確到確到 1 年年)； (4)如果如果 20 年后該城市人口總數(shù)不超過年后該城市人口總數(shù)不超過 120 萬人，年自然萬人，年自然 增長率應(yīng)該控制在多少？增長率應(yīng)該控制在多少？ (參考數(shù)據(jù)：參考數(shù)據(jù)：1.01291.113,1.012101.127，lg 1.20.079， lg 20.301 0，lg 1.0120.005，lg 1.0090.003 9) 思維啟迪思維啟迪：增長率問題是指數(shù)函數(shù)問題，利用指數(shù)函數(shù)增長率問題是指數(shù)函數(shù)問題，利用指數(shù)函數(shù)模型，構(gòu)造函數(shù)模型，構(gòu)造函數(shù) 解解 (1)1 年后該城市人口總數(shù)為年后該城市人口總數(shù)為 y1001001.2%100(11.2%) 2 年后該城市人口總數(shù)為年后該城市人口總數(shù)為 y100(11.2%)100(11.2%)1.2% 100(11.2%)2. 3 年后該城市人口總數(shù)為年后該城市人口總數(shù)為 y100(11.2%)2100(11.2%)21.2% 100(11.2%)3. x 年后該城市人口總數(shù)為年后該城市人口總數(shù)為 y100(11.2%)x. (2)10 年后，人口總數(shù)為年后，人口總數(shù)為 100(11.2%)10112.7(萬人萬人) (3)設(shè)設(shè) x 年后該城市人口將達到年后該城市人口將達到 120 萬人，萬人， 即即 100(11.2%)x120， xlog1.012120100log1.0121.2016(年年) (4)由由 100(1x%)20120，得，得(1x%)201.2， 兩邊取對數(shù)得兩邊取對數(shù)得 20lg(1x%)lg 1.20.079， 所以所以 lg(1x%)0.079200.003 95， 所以所以 1x%1.009，得，得 x0.9， 即年自然增長率應(yīng)該控制在即年自然增長率應(yīng)該控制在 0.9%. 探究提高探究提高 此類增長率問題， 在實際問題中?？梢杂弥复祟愒鲩L率問題， 在實際問題中?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型數(shù)函數(shù)模型 yN(1p)x(其中其中 N 是基礎(chǔ)數(shù)，是基礎(chǔ)數(shù)， p 為增長率，為增長率，x 為時間為時間)和冪函數(shù)模型和冪函數(shù)模型 ya(1x)n(其中其中 a 為基礎(chǔ)數(shù)，為基礎(chǔ)數(shù)， x為增長率，為增長率，n 為時間為時間)的形式解題時，往往用到對數(shù)運的形式解題時，往往用到對數(shù)運算，要注意與已知表格中給定的值對應(yīng)求解算，要注意與已知表格中給定的值對應(yīng)求解 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 3 一個人喝了少量酒后，血液中的酒精含量一個人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到迅速上升到 0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時精含量以每小時 25%的速度減少，為了保障交通安的速度減少，為了保障交通安全，某地根據(jù)道路交通安全法規(guī)定：駕駛員血液全，某地根據(jù)道路交通安全法規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過中的酒精含量不得超過 0.09 mg/mL，那么，一個喝，那么，一個喝了少量酒后的駕駛員， 至少經(jīng)過了少量酒后的駕駛員， 至少經(jīng)過_小時才能小時才能開車開車(精確到精確到 1 小時小時) 解析解析 設(shè)至少經(jīng)過設(shè)至少經(jīng)過 x 小時才能開車小時才能開車 由題意得由題意得 0.3(125%)x0.09，0.75x0.3. xlog0.750.35. 5 5 答題模板答題模板 3解函數(shù)應(yīng)用問題解函數(shù)應(yīng)用問題 試題：試題：(12 分分)在扶貧活動中，為了盡快脫在扶貧活動中，為了盡快脫 貧貧(無債務(wù)無債務(wù))致富，企業(yè)甲將經(jīng)營狀況良好致富，企業(yè)甲將經(jīng)營狀況良好 的某種消費品專賣店以的某種消費品專賣店以 5.8 萬元的優(yōu)惠價萬元的優(yōu)惠價 格轉(zhuǎn)讓給了尚有格轉(zhuǎn)讓給了尚有 5 萬元無息貸款沒有償還萬元無息貸款沒有償還 的小型企業(yè)乙，并約定從該店經(jīng)營的利潤的小型企業(yè)乙，并約定從該店經(jīng)營的利潤 中，首先保證企業(yè)乙的全體職工每月最低生活費的中，首先保證企業(yè)乙的全體職工每月最低生活費的開支開支 3 600 元后，逐步償還轉(zhuǎn)讓費元后，逐步償還轉(zhuǎn)讓費(不計息不計息)在甲提在甲提供的資料中有：供的資料中有：這種消費品的進價為每件這種消費品的進價為每件 14 元；元；該店月銷量該店月銷量 Q(百件百件)與銷售價格與銷售價格 P(元元)的關(guān)系如圖的關(guān)系如圖所示；所示；每月需各種開支每月需各種開支 2 000 元元 (1)當商品的價格為每件多少元時， 月利潤扣除職工最低當商品的價格為每件多少元時， 月利潤扣除職工最低生活費的余額最大？并求最大余額；生活費的余額最大？并求最大余額； (2)企業(yè)乙只依靠該店，最早可望在幾年后脫貧？企業(yè)乙只依靠該店，最早可望在幾年后脫貧？ 審題視角審題視角 (1)認真閱讀題干內(nèi)容，理清數(shù)量關(guān)系認真閱讀題干內(nèi)容，理清數(shù)量關(guān)系 (2)分析圖形提供的信息，從圖形可看出函數(shù)是分段分析圖形提供的信息，從圖形可看出函數(shù)是分段的的(3)建立函數(shù)模型，確定解決模型的方法建立函數(shù)模型，確定解決模型的方法 規(guī)范解答規(guī)范解答 解解 設(shè)該店月利潤余額為設(shè)該店月利潤余額為 L， 則由題設(shè)得則由題設(shè)得 LQ(P14)1003 6002 000， 由銷量圖易得由銷量圖易得 Q 2P50 14P20 ，32P40 20P26 ， 2 分分 代入代入式得式得 L 2P50 P14 1005 600 14P20 ， 32P40 P14 1005 600 20P26 ，4 分分 (1)當當 14P20 時，時，Lmax450 元，此時元，此時 P19.5 元；元； 當當 20P26 時，時，Lmax1 2503元，此時元，此時 P613元元 故當故當 P19.5 元時，月利潤余額最大，為元時，月利潤余額最大，為 450 元元 8 分分 (2)設(shè)可在設(shè)可在 n 年內(nèi)脫貧，年內(nèi)脫貧， 依題意有依題意有 12n45050 00058 0000，解得，解得 n20. 即最早可望在即最早可望在 20 年后脫貧年后脫貧 12 分分 答題模板答題模板 解函數(shù)應(yīng)用題的一般程序是：解函數(shù)應(yīng)用題的一般程序是： 第一步：審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量第一步：審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；關(guān)系； 第二步：建模：將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，用數(shù)學(xué)知第二步：建模：將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，用數(shù)學(xué)知識識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型； 第第三步：求模：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；三步：求模：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論； 第四步：還原：將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實際問第四步：還原：將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實際問 題的意義題的意義 第五步：反思回顧：對于數(shù)學(xué)模型得到的數(shù)學(xué)解，必須第五步：反思回顧：對于數(shù)學(xué)模型得到的數(shù)學(xué)解，必須驗驗證這個數(shù)學(xué)解對實際問題的合理性證這個數(shù)學(xué)解對實際問題的合理性 批閱筆記批閱筆記 (1)本題經(jīng)過了三次建模：本題經(jīng)過了三次建模： 根據(jù)月銷量圖建根據(jù)月銷量圖建立立 Q 與與 P 的函數(shù)關(guān)系；的函數(shù)關(guān)系；建立利潤余額函數(shù)；建立利潤余額函數(shù)；建立建立脫貧不等式脫貧不等式 (2)本題的函數(shù)模型是分段的一次函數(shù)和二次函數(shù)， 在實本題的函數(shù)模型是分段的一次函數(shù)和二次函數(shù)， 在實際問題中，由于在不同的背景下解決的問題發(fā)生了變際問題中，由于在不同的背景下解決的問題發(fā)生了變化，因此在不同范圍中，建立函數(shù)模型也不一樣，所以化，因此在不同范圍中，建立函數(shù)模型也不一樣，所以現(xiàn)實生活中分段函數(shù)的應(yīng)用非常廣泛現(xiàn)實生活中分段函數(shù)的應(yīng)用非常廣泛 (3)在構(gòu)造分段函數(shù)時，分段不合理，不準確，是易出現(xiàn)在構(gòu)造分段函數(shù)時，分段不合理，不準確，是易出現(xiàn)的錯誤的錯誤 思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 方法與技巧方法與技巧 解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題關(guān)鍵有兩點： 一是認真審題， 讀懂題意，解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題關(guān)鍵有兩點： 一是認真審題， 讀懂題意，理解問題的實際背景，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；二理解問題的實際背景，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；二是靈活運用數(shù)學(xué)知識和方法解答問題， 得到數(shù)學(xué)問題中是靈活運用數(shù)學(xué)知識和方法解答問題， 得到數(shù)學(xué)問題中的解，再把結(jié)論轉(zhuǎn)譯成實際問題的答案的解，再把結(jié)論轉(zhuǎn)譯成實際問題的答案 失誤與防范失誤與防范 1函數(shù)模型應(yīng)用不當，是常見的解題錯誤所以，正函數(shù)模型應(yīng)用不當，是常見的解題錯誤所以，正 確理解題意，選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型確理解題意，選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型 2要特別關(guān)注實際問題的自變量的取值范圍，合理確要特別關(guān)注實際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域定函數(shù)的定義域 3注意問題反饋在解決函數(shù)模型后，必須驗證這個注意問題反饋在解決函數(shù)模型后，必須驗證這個數(shù)學(xué)解對實際問題的合理性數(shù)學(xué)解對實際問題的合理性 返回返回 星火益佰精品課件 第一章 集合與常用邏輯用語 1.11.1 集合的概念及其基本運算集合的概念及其基本運算 基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識 自自主學(xué)習主學(xué)習 要點梳理要點梳理 1集合與元素 (1)集合元素的三個特征：集合元素的三個特征： 、 、 . (2)元素與集合的關(guān)系是元素與集合的關(guān)系是 或或 關(guān)系，用符號關(guān)系，用符號 或或 表示表示 (3)集合的表示法：集合的表示法： 、 、 、 . 確定性 互異性 無序性 屬于 不屬于 列舉法 描述法 圖示法 區(qū)間法 (4)常用數(shù)集：自然數(shù)集常用數(shù)集：自然數(shù)集 N；正整數(shù)集；正整數(shù)集 N；整數(shù)集；整數(shù)集 Z；有理數(shù)集有理數(shù)集 Q；實數(shù)集；實數(shù)集 R. (5)集合的分類：按集合中元素個數(shù)劃分，集合可以分集合的分類：按集合中元素個數(shù)劃分，集合可以分為為 、 、 . 有限集 無限集 空集 2集合間的基本關(guān)系集合間的基本關(guān)系 (1)子集、真子集及其性質(zhì)子集、真子集及其性質(zhì) 對任意的對任意的 xA，都有，都有 xB，則，則 AB(或或 BA) 若若 AB，且在，且在 B 中至少有一個元素中至少有一個元素 xB，但，但 x A， 則則 (或或 ) ；A A；AB，BCA C. 若若 A 含有含有 n 個元素，則個元素，則 A 的子集有的子集有 個，個，A 的非的非 空子集有空子集有 個，個，A 的非空真子集有的非空真子集有 個個 (2)集合相等集合相等 若若 AB 且且 BA，則，則 . AB BA 2n 2n-1 2n-2 AB 3集合的運算及其性質(zhì)集合的運算及其性質(zhì) (1)集合的并、交、補運算集合的并、交、補運算 并集：并集：ABx|xA，或，或 xB； 交集：交集：AB ； 補集：補集： UA U 為全集，為全集， UA 表示表示 A 相對于全集相對于全集 U 的補集的補集 (2)集合的運算性質(zhì)集合的運算性質(zhì) 并集的性質(zhì)：并集的性質(zhì)： A A；AAA；ABBA；ABABA. 交集的性質(zhì)：交集的性質(zhì)： A ；AAA；ABBA；ABAAB. 補集的性質(zhì)：補集的性質(zhì)： A( UA)U；A( UA) ； U( UA)A. x|xA，且 xB x|xU，且 xA 難點正本難點正本 疑點清源疑點清源 1正確理解集合的概念正確理解集合的概念 正確理解集合的有關(guān)概念，特別是集合中元素的三個特征，尤正確理解集合的有關(guān)概念，特別是集合中元素的三個特征，尤其是其是“確定性和互異性確定性和互異性”在解題中要注意運用在解決含參數(shù)在解題中要注意運用在解決含參數(shù)問題時，要注意檢驗，否則很可能會因為不滿足問題時，要注意檢驗，否則很可能會因為不滿足“互異性互異性”而而導(dǎo)致結(jié)論錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤 2注意空集的特殊性注意空集的特殊性 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集在解題空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集在解題時，若未明確說明集合非空時，要考慮到集合為空集的可能時，若未明確說明集合非空時，要考慮到集合為空集的可能性例如：性例如：AB，則需考慮，則需考慮 A 和和 A 兩種可能的情況兩種可能的情況 3正確區(qū)分正確區(qū)分 ，0， 是不含任何元素的集合，即空集是不含任何元素的集合，即空集0是含有一個是含有一個元素元素 0 的集的集合，它不是空集，因為它有一個元素，這個元素是合，它不是空集，因為它有一個元素，這個元素是 0. 是含有是含有一個元素一個元素 的集合的集合0， ， ，0 . 基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測 1 已知全集已知全集U1,2,3,4,5,6,7， A2,4,5， B1,3,5,7，則則 A( UB)_. 解析解析 UB2,4,6，A( UB)2,4 2,4 2(2010 江蘇江蘇)設(shè)集合設(shè)集合 A1,1,3， Ba2，a24， AB3，則實數(shù)，則實數(shù) a 的值為的值為_ 解析解析 因為因為 AB3，當，當 a243 時，時，a21 無意無意義義 當當 a23，即，即 a1 時，時，B3,5，此時，此時 AB3 故故 a1. 1 1 3已知集合已知集合 A1,3,2m1，集合，集合 B3，m2，若，若 BA，則實數(shù)，則實數(shù) m_. 解析解析 由由 BA，得，得 m2A，且，且 m23，又，又 m20， m22m1，即，即(m1)20，解得，解得 m1. 1 1 4已知集合已知集合 A1，0,4，集合，集合 Bx|x2 2x30，xN，全集為，全集為 U，則圖中陰影，則圖中陰影 部分表示的集合是部分表示的集合是 ( ) A4 B4，1 C4,5 D1,0 解析解析 由題可知集合由題可知集合 B0,1,2,3，陰影部分表示由屬，陰影部分表示由屬于集合于集合 A 但不屬于集合但不屬于集合 B 的元素組成的集合，則陰影的元素組成的集合，則陰影部分表示的集合為部分表示的集合為1,4故選故選 B. 點評點評 從圖形中讀懂集合間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵從圖形中讀懂集合間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵 B 5 已知集合 已知集合 M(x， y)|xy0和和 P(x， y)|x0， y0 說明同號，說明同號，由由 xy0 說明同負說明同負 C 題型分類題型分類 深度剖析深度剖析 題型一題型一 集合的基本概念集合的基本概念 例例 1 定義集合運算：定義集合運算：ABz|zxy(xy)，xA，yB，設(shè)集合，設(shè)集合 A0,1，B2,3，則集合，則集合 AB 的的所有元素之和為所有元素之和為_ 思維啟迪思維啟迪 集合集合 AB 的元素：的元素：zxy(xy)求出求出 z 的的所有值，再求其和所有值，再求其和 解析解析 這里給出了一個新的符號這里給出了一個新的符號 AB，實質(zhì)上它就是，實質(zhì)上它就是一個集合，其中的元素一個集合，其中的元素 zxy(xy)，其中，其中 xA0,1，yB2,3可利用集合描述法中元素可利用集合描述法中元素 z 的性質(zhì)，簡單的性質(zhì)，簡單的分類討論，求出的分類討論，求出 z 的所有可能的取值即可求得答案的所有可能的取值即可求得答案 當當 x0 時，時，z0；當；當 x1，y2 時，時，z6；當；當 x1，y3 時，時，z12. 故集合故集合 AB 中的元素有如下中的元素有如下 3 個：個：0,6,12. 所有元素之和為所有元素之和為 18. 答案 18 探究提高探究提高 理解集合和集合元素的特征屬性， 是解決本理解集合和集合元素的特征屬性， 是解決本題的關(guān)鍵在確定題的關(guān)鍵在確定 z z的值時，要根據(jù)的值時，要根據(jù) x x，y y的不同取值分的不同取值分類討論，體現(xiàn)了分類討論的思想方法類討論，體現(xiàn)了分類討論的思想方法 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 1 設(shè)設(shè) a， bR， 集合， 集合 a，ba，1 a2， ab,0， 則則 a2 011b2 012的值為的值為_ 解析解析 由于由于 a0，則，則ba0，b0.