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1、 高中數(shù)學(xué)競賽模擬試題一 一 試 （考試時(shí)間：80分鐘 滿分100分） 一、填空題（共8小題，分） 1、已知,點(diǎn)在直線 上移動(dòng),當(dāng)取最小值時(shí),點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是 。 2、設(shè)為正整數(shù)n（十進(jìn)制）的各數(shù)位上的數(shù)字的平方之和，比如 。記，，，則 。 3、如圖，正方體中，二面角的度數(shù)是 。 4、在中隨機(jī)選取三個(gè)數(shù)，能構(gòu)成遞增等差數(shù)列的概率是 。 5、若正數(shù)滿足，則的最大值是 。 6、在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點(diǎn)和，點(diǎn)在軸上移動(dòng)，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是

2、 。 7、已知數(shù)列滿足關(guān)系式且，則的值是 。 8、函數(shù)在時(shí)的最小值為 。 二、解答題（共3題，） 9、設(shè)數(shù)列滿足條件：，且) 求證：對于任何正整數(shù)n，都有： 10、已知曲線，，為正常數(shù)．直線與曲線的實(shí)軸不垂直，且依次交直線、曲線、直線于、、、4個(gè)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)。 （1）若，求證：的面積為定值； （2）若的面積等于面積的，求證： 11、已知、是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，函數(shù) 的定義域?yàn)? （

3、Ⅰ）求 （Ⅱ）證明：對于，若，則. 二 試 （考試時(shí)間：150分鐘 總分：200分） E F A B C G H P O1。 。O2 一、（本題50分）如圖，和與的三邊所在的三條直線都相切，為切點(diǎn)，并且、的延長線交于點(diǎn)。 求證：直線與垂直。 二、（本題50分）正實(shí)數(shù)，滿足。證明： 三、（本題50分）對每個(gè)正整數(shù)，定義函數(shù) （其中表示不超過的最大整

4、數(shù)，。試求：的值。 四、（本題50分）在世界杯足球賽前，國的教練員為了考察這七名隊(duì)員，準(zhǔn)備讓他們在三場訓(xùn)練比賽(每場比賽90分鐘)中都上場，假設(shè)在比賽的任何時(shí)刻，這些隊(duì)員都有且只有一人在場上，并且每人上場的總時(shí)間(以分鐘為單位)均被7整除，每人上場的總時(shí)間(以分鐘為單位)均被13整除．如果每場換人的次數(shù)不限，那么，按每名隊(duì)員上場的總時(shí)間計(jì)，共有多少種不同的情況？ 答案與解析 一、填空題 1、。.時(shí)取最小值, 此時(shí)=。 2、4。 解： 將記做，于是有

5、 從89開始，是周期為8的周期數(shù)列。故 。 3、。 解：連結(jié),作，垂足為，延長交于，則，連結(jié)，由對稱性知是二面角的平面角。 連結(jié)，設(shè)，則 中，， 在 的補(bǔ)角，。 4、。 解：三個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，設(shè)為 ，按題意必須滿足 。 對于給定的可以取. 故三數(shù)成遞增等差數(shù)列的個(gè)數(shù)為 三數(shù)成遞增等差數(shù)列的概率為 。 5、。 解：由條件，有， 令； 則， 從而原條件可化為： 令則，解得， 故 6、解：經(jīng)過兩點(diǎn)的圓的圓心在線段的垂直平分線上，設(shè)圓心為，則圓的方程為： 對于定長的弦在優(yōu)弧上所對的圓周角會(huì)隨著圓的半徑減小而角度增大，所以，當(dāng)取最大值

6、時(shí)，經(jīng)過三點(diǎn)的圓S必與軸相切于點(diǎn)，即圓的方程中的值必須滿足解得 或. 即對應(yīng)的切點(diǎn)分別為和，而過點(diǎn)的圓的半徑大于過點(diǎn)的圓的半徑，所以，故點(diǎn)為所求，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 7、. 解：設(shè) 即 故數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列， 。 。 8、解： （由調(diào)和平均值不等式） 要使上式等號成立，當(dāng)且僅當(dāng) （1） －（2）得到， 即得。因?yàn)椋? 所以當(dāng)時(shí)，。所以。 二、解答題 9、證明：令 ,則有 ，且 于是 由算術(shù)-幾何平均值不等式，可得 注意到 ，可知 B A C Q P y

7、 O C x D B A ，即 10、解：（1）設(shè)直線：代入得：，得：， 設(shè)，，則有，， 設(shè)，， 易得：，， 由得， 故， 代入得， 整理得：， 又，，， 為定值. （2）設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為 則，， 所以，、重合，從而， 從而，又的面積等于 面積的，所以， 從而. 11、解：（Ⅰ）設(shè) 則 又 故在區(qū)間上是增函數(shù)。 （Ⅱ）證： ， 而均值不等式與柯西不等式中，等號不能同時(shí)成立， 二 試 一、證明：延長交于，則和分別是 與的截線，由梅涅勞斯定理得：

8、 ① ② P 都是的旁切圓， ③H G O2 O1 A 于是由①、②、③得： F E D C B = 又 ∴ == 而三點(diǎn)共線，且 ∴ 二、證明：原不等式可變形為 即 由柯西不等式以及可得 即 同理 上面三式相加并利用得 三、解：對任意，若，則，設(shè) 則 讓a跑遍區(qū)間）中的所有整數(shù)， 則 于是……① 下面計(jì)算畫一張的表，第行

9、中，凡是行中的位數(shù)處填寫“*”號，則這行的“*”號共個(gè)，全表的“*”號共個(gè)；另一方面，按列收集“*”號數(shù)，第列中，若有個(gè)正因數(shù)，則該列使有個(gè)“*”號，故全表的“*”號個(gè)數(shù)共 個(gè)，因此 示例如下： 1 2 3 4 5 6 1 * * * * * * 2 * * * 3 * * 4 * 5 6 * 則 ……② 由此， ……③ 記易得的取值情況如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 5 6 6 7 8 6 9 8 8 8 10 7 10 10 因此，……④ 據(jù)定義， 又當(dāng)， ， ，則……⑤ 從則 四、解：設(shè)各人上場時(shí)間分別為 (為正整數(shù))． 得方程 令得方程. 即求此方程滿足的整數(shù)解． 即 相應(yīng)的 的解只有1種，的解有種， 的解有種； 的解有種， 的解有種， 的解有種． ∴ 共有種。 18