高中數(shù)學(xué)競賽模擬試題一一 試（考試時間：80分鐘 滿分100分）一、填空題（共8小題，分）1、已知,點在直線 上移動,當(dāng)取最小值時,點與原點的距離是 。2、設(shè)為正整數(shù)n（十進制）的各數(shù)位上的數(shù)字的平方之和，比如。記，則 。3、如圖，正方體中，二面角的度數(shù)是 。4、在中隨機選取三個數(shù)，能構(gòu)成遞增等差數(shù)列的概率是 。5、若正數(shù)滿足，則的最大值是 。6、在平面直角坐標系中，給定兩點和，點在軸上移動，當(dāng)取最大值時，點的橫坐標是 。7、已知數(shù)列滿足關(guān)系式且，則的值是 。8、函數(shù)在時的最小值為 。二、解答題（共3題，）9、設(shè)數(shù)列滿足條件：，且)求證：對于任何正整數(shù)n，都有：10、已知曲線，為正常數(shù)直線與曲線的實軸不垂直，且依次交直線、曲線、直線于、4個點，為坐標原點。（1）若，求證：的面積為定值；（2）若的面積等于面積的，求證：11、已知、是方程的兩個不等實根，函數(shù)的定義域為. （）求 （）證明：對于，若，則.二 試（考試時間：150分鐘 總分：200分）EFABCGHPO1。O2一、（本題50分）如圖，和與的三邊所在的三條直線都相切，為切點，并且、的延長線交于點。求證：直線與垂直。二、（本題50分）正實數(shù)，滿足。證明：三、（本題50分）對每個正整數(shù)，定義函數(shù)（其中表示不超過的最大整數(shù)，。試求：的值。四、（本題50分）在世界杯足球賽前，國的教練員為了考察這七名隊員，準備讓他們在三場訓(xùn)練比賽(每場比賽90分鐘)中都上場，假設(shè)在比賽的任何時刻，這些隊員都有且只有一人在場上，并且每人上場的總時間(以分鐘為單位)均被7整除，每人上場的總時間(以分鐘為單位)均被13整除如果每場換人的次數(shù)不限，那么，按每名隊員上場的總時間計，共有多少種不同的情況？答案與解析一、填空題1、。.時取最小值, 此時=。2、4。 解： 將記做，于是有從89開始，是周期為8的周期數(shù)列。故。3、。 解：連結(jié),作，垂足為，延長交于，則，連結(jié)，由對稱性知是二面角的平面角。連結(jié)，設(shè)，則中，在的補角，。4、。 解：三個數(shù)成遞增等差數(shù)列，設(shè)為 ，按題意必須滿足 。 對于給定的可以取. 故三數(shù)成遞增等差數(shù)列的個數(shù)為 三數(shù)成遞增等差數(shù)列的概率為 。5、。 解：由條件，有，令；則，從而原條件可化為： 令則，解得，故6、解：經(jīng)過兩點的圓的圓心在線段的垂直平分線上，設(shè)圓心為，則圓的方程為：對于定長的弦在優(yōu)弧上所對的圓周角會隨著圓的半徑減小而角度增大，所以，當(dāng)取最大值時，經(jīng)過三點的圓S必與軸相切于點，即圓的方程中的值必須滿足解得 或.即對應(yīng)的切點分別為和，而過點的圓的半徑大于過點的圓的半徑，所以，故點為所求，所以點的橫坐標為7、.解：設(shè)即故數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，。8、解：（由調(diào)和平均值不等式）要使上式等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)（1） （2）得到，即得。因為，所以當(dāng)時，。所以。二、解答題9、證明：令 ,則有 ，且 于是 由算術(shù)-幾何平均值不等式，可得注意到 ，可知 BACQPyOCxDBA ，即 10、解：（1）設(shè)直線：代入得：，得：，設(shè)，則有，設(shè)，易得：，由得，故，代入得，整理得：，又，為定值. （2）設(shè)中點為，中點為則，所以，、重合，從而，從而，又的面積等于面積的，所以，從而.11、解：（）設(shè)則又故在區(qū)間上是增函數(shù)。（）證：，而均值不等式與柯西不等式中，等號不能同時成立，二 試一、證明：延長交于，則和分別是與的截線，由梅涅勞斯定理得： P都是的旁切圓，HGO2O1A于是由、得：FEDCB =又 =而三點共線，且 二、證明：原不等式可變形為即 由柯西不等式以及可得 即 同理 上面三式相加并利用得三、解：對任意，若，則，設(shè)則讓a跑遍區(qū)間）中的所有整數(shù)，則于是下面計算畫一張的表，第行中，凡是行中的位數(shù)處填寫“*”號，則這行的“*”號共個，全表的“*”號共個；另一方面，按列收集“*”號數(shù)，第列中，若有個正因數(shù)，則該列使有個“*”號，故全表的“*”號個數(shù)共個，因此示例如下：1234561*2*3*4*56*則由此， 記易得的取值情況如下：123456789101112131415356678698881071010因此，據(jù)定義，又當(dāng)，則從則四、解：設(shè)各人上場時間分別為 (為正整數(shù))得方程 令得方程.即求此方程滿足的整數(shù)解即相應(yīng)的 的解只有1種，的解有種，的解有種；的解有種， 的解有種，的解有種 共有種。18