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1、宜賓市優(yōu)學(xué)堂培訓(xùn)學(xué)校 二項分布與正態(tài)分布 [最新考綱] 1．了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念． 2．理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布． 3．能解決一些簡單的實際問題. 知 識 梳 理 1．條件概率及其性質(zhì) 條件概率的定義 條件概率的性質(zhì) 設(shè)A，B為兩個事件，且P(A)>0，稱P(B|A)＝為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率 (1)0≤P(B|A)≤1 (2)若B，C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) 2.事件的相互獨立性 設(shè)A，B為兩個事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立． 若事

2、件A，B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)；事件A與，與B，與都相互獨立． 3．獨立重復(fù)試驗與二項分布 (1)獨立重復(fù)試驗 在相同條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次試驗結(jié)果，則 P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)． (2)二項分布 在n次獨立重復(fù)試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此時稱隨機變量X服從二項分布，記為X～B(n，p)，并稱p為成功概率． 4．正態(tài)分布 (1)正態(tài)分布的定義及表示 如果

3、對于任何實數(shù)a，b(a<b)，隨機變量X滿足P(a<X≤b)＝φμ，σ(x)dx，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2)． 函數(shù)φμ，σ(x)＝，x∈R的圖象(正態(tài)曲線)關(guān)于直線x＝μ對稱，在x＝μ處達到峰值. (2)正態(tài)總體三個基本概率值 ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682_6. ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954_4. ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4. 辨 析 感 悟 1．條件概率與相互獨立事件的概率 (1)若事件A，B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)．( ) (2)P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件

4、下，事件B發(fā)生的概率，P(AB)表示事件A，B同時發(fā)生的概率，一定有P(AB)＝P(A)·P(B)．( ) (3)(教材習(xí)題改編)袋中有5個小球(3白2黑)，現(xiàn)從袋中每次取一個球，不放回地抽取兩次，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率是0.5. ( ) 2．二項分布與正態(tài)分布 (4)在正態(tài)分布函數(shù)φμ，σ(x)＝中，μ是正態(tài)分布的期望值，σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差．( ) (5)二項分布是一個概率分布列，是一個用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生次數(shù)的概率分布．( ) (6)(

5、2014·揚州調(diào)研改編)小王通過英語聽力測試的概率是，他連續(xù)測試3次，那么其中恰好第3次測試獲得通過的概率是P＝C·1·3－1＝.( ) [感悟·提升] 1．古典概型中，A發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率公式為P(B|A)＝＝，其中，在實際應(yīng)用中P(B|A)＝是一種重要的求條件概率的方法． 2．P(A·B)＝P(A)·P(B)只有在事件A、B相互獨立時，公式才成立，此時P(B)＝P(B|A)，如(1)，(2)． 3．判斷一個隨機變量是否服從二項分布，要看兩點： 一是是否為n次獨立重復(fù)試驗．在每次試驗中事件A發(fā)生的概率是否均

6、為p. 二是隨機變量是否為在這n次獨立重復(fù)試驗中某事件發(fā)生的次數(shù)．且P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k表示在獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率. 考點一　條件概率 【例1】 (1)從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A＝“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B＝“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)等于(　　)． A. B. C. D. (2)如圖，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形．將一顆豆子隨機地扔到該圓內(nèi)， 用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”， 則P(B|A)＝________.

7、 規(guī)律方法 (1)利用定義，求P(A)和P(AB)，則P(B|A)＝. (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝. 【訓(xùn)練1】 已知1號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球，現(xiàn)隨機地從1號箱中取出一球放入2號箱，然后從2號箱隨機取出一球，則兩次都取到紅球的概率是(　　)． A. B. C. D. 考點二　相互獨立事件同時發(fā)生的概率 【例2】 (2013·陜西卷改編)在一場娛樂晚會上，有5位民間歌手(1至5號

8、)登臺演唱，由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名．觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中選3名歌手． (1)求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率； (2)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求“X≥2”的事件概率． 規(guī)律方法 (1)解答本題關(guān)鍵是把所求事件包含的各種情況找出來，從而把所求事件表示為幾個事件的和事件． (2)求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法主要有 ①利用相互獨立

9、事件的概率乘法公式直接求解． ②正面計算較繁或難以入手時，可從其對立事件入手計算． 【訓(xùn)練2】 甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與p，且乙投球2次均未命中的概率為. (1)求乙投球的命中率p； (2)求甲投球2次，至少命中1次的概率． 規(guī)律方法 (1)求解本題關(guān)鍵是明確正態(tài)曲線關(guān)于x＝2對稱，且區(qū)間[0,4]也關(guān)于x＝2對稱． (2)關(guān)于正態(tài)曲線在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法 ①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． ②充分利用正態(tài)

10、曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1. 【訓(xùn)練3】 若在本例中，條件改為“已知隨機變量X～N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，”求P(X>4)的值． 考點四　獨立重復(fù)試驗與二項分布 【例4】 某種有獎銷售的飲料，瓶蓋內(nèi)印有“獎勵一瓶”或“謝謝購買”字樣，購買一瓶若其瓶蓋內(nèi)印有“獎勵一瓶”字樣即為中獎，中獎概率為.甲、乙、丙三位同學(xué)每人購買了一瓶該飲料． (1)求甲中獎且乙、丙都沒有中獎的概率； (2)求中獎人數(shù)X的分布列． 規(guī)律方法 (1)獨立重復(fù)試驗是在同樣的條件下

11、重復(fù)地、各次之間相互獨立地進行的一種試驗，在這種試驗中，每一次試驗只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的． (2)求復(fù)雜事件的概率，要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，看復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件，然后求概率． 【訓(xùn)練4】 某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為和p. (1)若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求p的值； (2)設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機變量X，求X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)

12、． 小結(jié) 1．相互獨立事件與互斥事件的區(qū)別 相互獨立事件是指兩個事件發(fā)生的概率互不影響，計算式為P(AB)＝P(A)P(B)．互斥事件是指在同一試驗中，兩個事件不會同時發(fā)生，計算公式為P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 2．在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次可看做是C個互斥事件的和，其中每一個事件都可看做是k個A事件與(n－k)個事件同時發(fā)生，只是發(fā)生的次序不同，其發(fā)生的概率都是pk(1－p)n－k.因此n次獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率為Cpk(1－p)n－k. 3．若X服從正態(tài)分布，即X～N(μ，σ

13、2)，要充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 易錯辨析——對二項分布理解不準(zhǔn)致誤 【典例】 一名學(xué)生每天騎車上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有6個交通崗，假設(shè)他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是. (1)設(shè)X為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求X的分布列； (2)設(shè)Y為這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù)，求Y的分布列． 【自主體驗】 　(2013&#

14、183;遼寧卷)現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學(xué)從中任取3道題解答． (1)求張同學(xué)至少取到1道乙類題的概率； (2)已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題．設(shè)張同學(xué)答對每道甲類題的概率都是，答對每道乙類題的概率都是，且各題答對與否相互獨立．用X表示張同學(xué)答對題的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 基礎(chǔ)鞏固題組 一、選擇題 1．設(shè)隨機變量X～B，則P(X＝3)的值是(　　)． A. B. C. D. 2．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(0，σ2)．若P(X&

15、gt;2)＝0.023，則P(－2≤X≤2)＝(　　)． A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977 3．(2014·湖州調(diào)研)國慶節(jié)放假，甲去北京旅游的概率為，乙、丙去北京旅游的概率分別為，.假定三人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為(　　)． A. B. C. D. 4．甲、乙兩人獨立地對同一目標(biāo)各射擊一次，命中率分別為0.6和0.5，現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中，則它是被甲擊中的概率為(　　)． A．0.45 B．0.6 C．0.65 D．0.75 5．(2013·湖北卷改編)假設(shè)每天從甲地去乙地的

16、旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N(800,502)的隨機變量，記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為p0.則p0的值為(　　)． (參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6， P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4.) A．0.954 4 B．0.682 6 C．0.997 4 D．0.977 2 二、填空題 6．某籃球隊員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至多命中一次的概率為，則該隊員每次罰球的命中率為________． 7．某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方

17、預(yù)設(shè)的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪．假設(shè)某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結(jié)果相互獨立，則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率等于________． 8．有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機抽取一粒，則這粒種子能成長為幼苗的概率為________． 三、解答題 9．根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3.設(shè)各車主購買保險相互獨立． (1)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的一種的概率； (2)求該地的3位車主中恰有1位車

18、主甲、乙兩種保險都不購買的概率． 10．某公交公司對某線路客源情況統(tǒng)計顯示，公交車從每個?？奎c出發(fā)后，乘客人數(shù)及頻率如下表： 人數(shù) 0～6 7～12 13～18 19～24 25～30 31人及以上 頻率 0.10 0.15 0.25 0.20 0.20 0.10 (1)從每個?？奎c出發(fā)后，乘客人數(shù)不超過24人的概率約是多少？ (2)全線途經(jīng)10個停靠點，若有2個以上(含2個)停靠點出發(fā)后乘客人數(shù)超過18人的概率大于0.9，公交公司就考慮在該線路增加一個班次，請問該線路需要增加班次嗎？ - 13 -