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1、移動邊界問題數(shù)值方法及其在氣液兩相流中的應(yīng)用 移動邊界問題數(shù)值方法及其在氣液兩相流中的應(yīng)用 李彥鵬*,關(guān)衛(wèi)省 ，白博峰2 1 (1?長安大學環(huán)境科學與工程學険.西安710064 , 2?西安交通大學動力工程賽梅詭國家■點實Ift室，西安710049) 摘要：自然界與工程實際中存在大量的移動邊界問題?模擬和追蹤移動邊界的軌跡和發(fā)展， 成為解決這類問題的關(guān)鍵?本文在簡要介紹移動邊界問題的概念的基礎(chǔ)上?首先對其兩大類模擬方 法.Lagrangian方法和Eulerian方法進行了比較：然后對在流體動力學中遇到的移動邊界問題的常 見數(shù)值模擬方法逐一進行了介紹，并對各自的優(yōu)峽點進行了分析與評

2、述；著重闡述目前處理這類問 題的主流方法一level set方法:量后應(yīng)用level set方法耦合氣液兩相體系的單一場流動方程? 采用有限容積方法及顯式時間步進的中心網(wǎng)格ICE (Implicit Continuous-fluid Eulerian)數(shù)值格式? 三維模擬了在化工、能源及環(huán)境領(lǐng)域中幾個典型的氣液兩相流動問題?包括氣?水鼓泡床中代泡從 一個噴嘴形戌和上升的過程.兩個大小不同的空氣氣泡在水中自由上升時的相互作用過程，水滴與 顆粒正向尊溫確撞過程以及水滴下落沖擊水面的過程?動態(tài)地顯示了 r泡或液滴在上述各種過程中 的行為?模擬結(jié)果與文獻中的實驗戲測定性吻合.結(jié)果表明level set

3、方法是一科行之有效且大有 前途的處理氣液移動邊界何題的方法? 關(guān)fit詢「 移動邊界f^ja： level set方法：數(shù)值模擬；氣泡，液滴 Numerical Method of the Moving Boundary Problem and Application to the Gas-liquid Two Phases Flow Yanpeng Li1, Weisheng Guan1, Bofeng Bai2 (!.School of Environmental Science and Engineering, Chaogan University. Xian 710064;

4、 2. Stile Key Lab of Multiphase Flow in Power Engineering, Xi*an Jiiotocg Umvmity, Xian 710049) Abstract: There exist considerable moving boundary problems in nature and engineering application. Tracking the trajectory and evolution of the moving boundaries plays a key role to treat such problems

5、. In this paper, the comparison between Lagrangian approach and Eulerian approach was perfomed first based on the conception of moving boundary problems? Secondly, the recent developments in computational techniques pertaining to moving boundary problems in fluid dynamics were presented and their ad

6、vantages and limitations were outlined. The emphasis here was on the introduction of level set method. Finally the level set method coupled with the one field formulation for two phase flows was employed to simulate several typical gas-liquid two phase flows such as bubble formation from an orifice

7、in air-water bubble column, the interaction of air bubble pairs freely rising in water, an isothermal normal collision between droplet and particle and droplet interaction with 李彥Bl (1973 — )?男，博士.副教授?教育部科學技術(shù)研究重點項目(01169)；國家自然科學基金資助項 目(50476049). water surface? The simulations were conducted usin

8、g the finite volume method and an explicit time-marching cell-centered ICE (Implicit Continuous-fluid Eulerian) scheme. The bubble behaviors were dynamically displayed. The qualitative consistency between the simulated results and physical phenomena demonstrates that the level set method is a promis

9、ing and efficient numerical technique for moving boundary problems key words: moving boundary problem; level set method; numerical simulation; bubble; droplet 1引言 移動邊界問題在日常生活和生產(chǎn)實踐中普遍存在。比如，材料加工工業(yè)中的澆鑄成型中 的固化界面，化學和生物工程的晶體生長界面，石油開采中的地下油水界面，冰融化、水結(jié) 冰的活動邊界，爆炸燃燒的火焰邊界以及液體流動的自由表面等等。這些系統(tǒng)的共同特點是 都有一個或多個內(nèi)邊界或界面

10、把不同物理、化學性質(zhì)的區(qū)域分隔開，穿過這些內(nèi)邊界或界面, 組分、相、材料性質(zhì)和流動特征急劇變化：在流場的影響下邊界移動，反過來移動邊界又彩 響流場。移動邊界問題中不僅僅存在動量傳遞、傳熱和傳質(zhì)，而且界面的形成和發(fā)展都對系 統(tǒng)的行為具有重要彩響。這些問題固有的非線性加上界面的膨脹、收縮、破碎和粘合等大的 拓撲結(jié)構(gòu)變化，使得問題處理起來非常閑難。困難主要是因為移動邊界本身也是控制流體行 為的方程系統(tǒng)的解的一部分。在求解區(qū)域，場方程必須與內(nèi)邊界的位置同時求解。從連續(xù)力 學觀點來看，界面都是間斷的，非連續(xù)的。在有限網(wǎng)格的限制下，這個井連續(xù)性需要在時間 和空間都能正確追蹤。 當前，關(guān)于移動邊界問題的研

11、究越來越受到人們的朿視，也岀現(xiàn)了各種各樣的方法。在 這篇文章里，主要介紹目前使用較多的幾個移動邊界問題的數(shù)值方法，著重闡述當前的主流 方法一level sei方法。最后，應(yīng)用level set方法處埋了在化工、能源及壞境領(lǐng)域中幾個典型 的氣液兩相流動問題。 2移動邊界問題的數(shù)值模擬方法 移動邊界數(shù)值模擬方法可以分成兩人類：表面跟蹤或稱Lagrangian方法，和容積跟蹤或 稱Eulerian方法。這兩類方法的主要特點見圖1。從圖上可以看到這兩類方法有明顯的不同。 (a) Lagrangian 方法 (b) Eulenan 方法 圖I界面跟蹤的Lagrangia方法和Euleria

12、n方法的比較 Fig.l Comparison of Lagrangian and Eulerian methods for tracking interface 首先，Lagrangian方法需要不斷地調(diào)整網(wǎng)格以適應(yīng)界面的形狀和位置，從而顯式追蹤界 面的演變，Ift] Eulerian方法則采用固定網(wǎng)格，通過一些特殊函數(shù)推導(dǎo)出界面位置，從而隱式 追蹤界面的演變;其次，在Lagrangian方法中，邊界條件町以直接應(yīng)用在界面上，而在Eulerian 方法中，邊界條件被巧妙地安排在控制方程之中，導(dǎo)致了邊界信息的模糊；最后，Lagrangian 方法處理有大的拓撲結(jié)構(gòu)變化時比較困難，而Eule

13、rian方法自動處理界面的黏合與斷裂，但 是當界面是任意形狀時，也不易得到高精度的解。 下面就目前處理移動邊界問題常用的數(shù)值方法進行簡單地闡述并討論。 2.1格子類方法 最早處理口由表面問題的有效方法，是Harlow和Welch捉出的格子類(cell-type)方法⑴. 這類方法在Euler網(wǎng)格上差分離散，在網(wǎng)格中布置若干標記點(Marker)或者流體質(zhì)點 (particle)來標記流體?通過追蹤這些標記點或質(zhì)點來模擬自由面的位置，在格子類方法中, 最著名的有PIC(particle in cell)121和MAC(marker and cell)⑴等.這類方法能給出自由面和移 動邊界的

14、粗糙近似，但不能給出更細致的描述，而且計算需要巨大的存儲量，尤其不適用在 三維情形。更嚴重的是當界面拓撲結(jié)構(gòu)變化大時，易產(chǎn)生數(shù)值不穩(wěn)定? 2.2邊界元方法 由于能降低問題的維數(shù)，邊界元法在峰面追蹤中有廣泛的應(yīng)用?邊界元法非常適合線性 問題。對于伴有對流的非線性問題和包括與時間相關(guān)的邊界條件以及拓撲結(jié)構(gòu)變化的問題， 邊界元法還需要深入地研究。近來，Spangle等⑷采用邊界元法模擬了噴射霧化過程中的非 線性非穩(wěn)定現(xiàn)象.在他們的工作中，非穩(wěn)態(tài)液體射流行為由Laplace方程控制，即流動被認 為是不可壓縮無粘流. 23 非結(jié)構(gòu)化移動網(wǎng)格技術(shù) 移動網(wǎng)格法就是將計算區(qū)域中離散化后的網(wǎng)格，根據(jù)界面

15、位置而移動.Unverdi和 Tryggvason151提出了一個移動的非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格結(jié)合固定網(wǎng)格的方法來追蹤有大變形的氣泡 的運動.這個方法便用與邊界一致的非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格使得重分網(wǎng)格非常接近于界面.另外， Unverdi和Tryggvason的研究將表面張力的影響轉(zhuǎn)移為體積力的形式，并基于加權(quán)函數(shù)將體 積力分配在界面附近的網(wǎng)格上?盡管這個方法避免了界面上的數(shù)值擴散，但是界面位置仍然 不能精確給定. 另外，采用非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的有限元法也可以處理自由和移動邊界問題。例如，F(xiàn)ukai等 ⑹發(fā)展和應(yīng)用有限元法模擬了液滴的擴展與碰撞過程。在有限元方法范疇內(nèi)，Kassemi和 Naraghi⑺應(yīng)用區(qū)域分解來

16、捕捉相邊界.有限元方法也被用來求解實際的材料加工問題，如鑄 造中的湍流流動和傳熱國.總之，非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格技術(shù)目前有著迅猛的發(fā)展。 2.4 相場方法 相場方法近年來得到越來越多的關(guān)注?本方法在固定網(wǎng)格上定義一個相場變量。假定非 均勻系統(tǒng)的自由能咼一個局部自由能和一個能匱梯度之和，局部自由能窖度有兩個最小值， 每一個對應(yīng)一相。最終求解相場的演化方程。關(guān)于相場方法，詳細內(nèi)容可參見文獻(刃?相 場模型也存在一些問題.在非平衡狀態(tài)下最小化原理可能不適用.另外，把模型中的常數(shù)及 參數(shù)于實際系統(tǒng)相關(guān)聯(lián)并不容易。近來，Roosen和Taylor1*01提出了一個計算晶體生長的模 型?模型很好地追蹤了液固之間

17、的界面，但是曲率的度量通過假設(shè)晶體為只有有限個法向方 向的多邊形而筍化.作者報道他們的方法與其它界面迫蹤方法相比，更容易處理拓撲結(jié)構(gòu)的 變化. 2.5體積跟蹤方法 體積跟蹤方法厲于Eulerian方法，其界面非顯式跟蹤，然后在每一步重建界面. VOF(volume of fluid)方法⑴［在網(wǎng)格系統(tǒng)上定義某種物質(zhì)的體積分數(shù)/,體積分數(shù)遵循一個對 707 移動邊界問題數(shù)值方法及其在氣液兩相流中的應(yīng)用 流輸運方程，即VOF方程.每個網(wǎng)格的/一旦求出.就可以根據(jù)/的值來構(gòu)造界面?在過去 的二十年.界面構(gòu)造技術(shù)得到了很大的發(fā)展?重構(gòu)界面一般包括兩類算法.即分段常數(shù)法和 分段線性法

18、.近來，Kim等人【⑵又提出了二次曲線方法近似界面. 體積跟蹤法已經(jīng)廣泛應(yīng)用在界面流的計算中，比如液滴動力學，晶體形態(tài)穩(wěn)定性分析和 噴霧動力學等.但是體積跟蹤法有一些缺點需要注意，首先難于計算曲率及與曲率有關(guān)的物 理童；其次在處理三維何題時.界面的玉構(gòu)比較困難；最后，難于評價數(shù)值表面張力?近來. BrackbiU等冋發(fā)展了一個施加表面張力影響的數(shù)值技術(shù)，該技術(shù)將界直邊界條件以加權(quán)方 式分配在界面附近的計算節(jié)點上，從而取代了直接在邊界上應(yīng)用邊界條件. 2.6 Level set 方法 Level set方法是由Osher和Sethianlu,于1988年提出的一個新的界面處理方法.Leve

19、l set方法以其嚴格的數(shù)學表述及相關(guān)的數(shù)學理論背景引起了人們的廣泛關(guān)注，目前己經(jīng)應(yīng)用 03 2計算區(qū)城和Lew】 set函數(shù)的示意圖 Fig.2 IHustration of cooputational domain and level set function 于如材料加工.流體力學、圖像處理和計算機 視覺等諸多領(lǐng)域. 如圖2所示，在計算區(qū)域定義一個等值面 函數(shù)^/） ?使得界面在任意時刻都對應(yīng)于 。仗,0的零等值面，即滿足 畑） = 0} （1） 初始地令ea等于從位置丘到初始界面r（o） 的距離?等值面上的粒子按照下面的方程輸運 dt 其中F是笛卡爾

20、坐標系上每一點的速度函數(shù).因此，等值面的控制方程為: 等 + F 卩 0 | = 0 （4） 初始界面形狀由初始時刻的零等值面^x,/ = 0） = 0給定.在流體力學中全局變量F常常釆 用等值鋒面的法向速度Vn.利用雙曲守恒律的數(shù)值方法可以解level set方程.同其它純 Eulerian方法一樣，level set方法可以自動捕捉界面的拓撲變化?但是與體積跟蹤方法必須 采用幾何與代數(shù)相結(jié)合的特殊方法不同，level set方程的初值是光滑的符號距離函數(shù)，因此, 用高精度、高分辨率格式就成為可能.近來.Sussman等【⑸采用level set方法計算了不可壓 縮氣液兩相流?他們的結(jié)果

21、顯示出了高精度.然而，為了避免數(shù)值非穩(wěn)定.他們把界面人為 處理成為有限厚度的窄帶. Level set方法也有一些不足.首先，它不滿足質(zhì)量的守恒性，這是因為Level set方程未 包含任何質(zhì)量守恒的信息；其次它不易處理三種或三種以上的多體界面流；另外由于Level set函數(shù)在計算過程中不能保持符號距離函數(shù)，形響下一刻的計算，所以重新初始化技術(shù)是 必要的?在文獻［1習中.通過解下面的初值問題進行垂新初始化： 雯"0（%X1-|W|） （5） 其中丫是具有距離單位的偽時間變最.九為重新初始化前的水平集函數(shù)，sign毀示符號函 數(shù).其定義為： 式中，方表禾網(wǎng)格尺寸?方程(5)—般只需

22、要3~5次迭代即可達到穩(wěn)定解. 3 Level set方法模擬氣泡和液滴的運動 3.1 數(shù)值方法 從上面的分析知道，level set方法不需要顯式追蹤運動界面，而且邊界的一些特征(如法 向，曲率等)直接隱含在level set函數(shù)中，便于精細地描述界面，還易于在三維中使用。因 此，對于處浬化工、能源以及環(huán)境領(lǐng)域廣泛存在的氣液相界面問題很有吸引力? 在下面對氣泡和液滴運動的數(shù)值模擬中，假設(shè)氣泡和液滴內(nèi)外的氣液兩相為不可壓縮、 不相混的牛頓型流體?在引入了 Level set函數(shù)后，由相界面分隔的氣液兩相體系就可以看 作為單一流體體系，此時系統(tǒng)的控制方程為上述的level set方程(4

23、X6)與不可壓縮流體的連 續(xù)方程與動量方程 V-i7 = 0 (7) 理？町 + V ?(puu) = -Vp + V ? (2pD) + pg + otc(0)d9)V0 (8) dt 其中，百和p分別表示流體的速度與壓力；〃為粘性應(yīng)力張量；(8)式右邊最后一項表示表面 張力.久k樸 5(0)和0分別代表表面張力系數(shù)、界面曲率、Dirac Delta函數(shù)和level set函 (9) 數(shù)?曲率可由V.(V

24、v ? if |0| S -e if 0 > (11) 0 sin(兀0/) 2e In 1 其中是界面厚度?本文計算中取為1.5倍的網(wǎng)格尺寸?需要指出的是，上邊給出的流體密 度與粘性己經(jīng)做了光滑化處理，它使原先在相界面處銳變的流體物性變成了連續(xù)光滑變化, 雖然部分模糊了界面，但是它極大地改善了數(shù)值穩(wěn)定性。此時，方程(8)中的Delte函數(shù) 被規(guī)整為 —[l + COS(^/)] 2c (12) 上述控制方程采用有限容積方法在非交錯的中心網(wǎng)格上離散。速度、壓力、水平集函數(shù) 以及物性參數(shù)均定義在網(wǎng)格中心。對流項的離散采用三階ENO迎風格式，其它項的離散采 用二階中

25、心格式?離散的方程采用顯式時間步進的ICE (Implicit Continuous-fluid Eulerian)1161 數(shù)值格式進行求解-ICE數(shù)值格式有很好的數(shù)值穩(wěn)定性，對可壓縮和不可壓縮流體的流動問題均能求解。假設(shè)0" =0(元廣)和丁=歷(丘,廣)分別是廣時刻的水平集函數(shù)和速度， 則下一時刻/和==嚴+ A/的速度與水平集函數(shù)0*的數(shù)值求解步驟如下： ① 使用中心網(wǎng)格的ICE格式求解控制方程(7)與(8)得到速度場方小與壓力場b"； ② 求解水平集對流方程(4)以得到0柏?；诟碌乃俣葓鰓n+1,采用三階ENO迎風 格式計尊對流項Hg?便用二階TVD Runge-Kutta

26、法推進時間步“ ③ 將作為初始值執(zhí)行重新初始化，解方程(5)和⑹得到嚴。 ④ 借助更新的水平集函數(shù)0切，使用方程(9X10)計算密度和粘度。 計算方e和常"的時間步是一樣的，是CFL(Courant-Friedrichs-Levy)條件、粘性和 表面張力的限制共同決定的。計算區(qū)域的上下邊界分別采用入流和出流邊界條件：四個邊壁 上釆用自由滑移邊界條件。 3.2 氣泡從噴嘴中形成及上升過程 首先計算在氣■水鼓泡床中氣泡從一個噴嘴形成并上升的過程。所模擬的彼泡床為一長 方柱體，其幾何尺寸是：長x = 2 cm,寬y = 2 cm,高z = 4cm,在底面1E中有一直徑為0.4cm 的噴嘴，

27、空氣以0.10 m/s的速度從此噴嘴引入到靜止的水中。計算中網(wǎng)格在長、寬、離三個 (a)/ = 0.025 s (b)A = 0.065 s (c)/ = 0.125 s (d)/ = 0.20 s 709 移動邊界問題數(shù)值方法及其在氣液兩相流中的應(yīng)用 # 移動邊界問題數(shù)值方法及其在氣液兩相流中的應(yīng)用 (e)/ = 0.240 s (f)/ = 0.285 s (g)/ = 0.315 s (h)/ = 0.345 s (i) Experimental result1171 圖3氣泡在水中的形成與匕升過程的模擬結(jié)果 Fig.3 Simulatio

28、n results of formation and rising of air bubble in water 方向上分別被均分為80 x 80 xl60,物性參數(shù)分別為水的密度和粘度是998 kg/m3和0.001 Pa s,空氣的密度和粘度是1.1 kg/m3和1.8* 10-5Pa s,表面張力系數(shù)為0.0728 N/m。 圖3表示了氣泡仗水中形成與上升過程的模擬結(jié)果。從頭三個氣泡可以看到.氣泡的形 成分為明顯的三個階段：膨脹.脫離利變形。從第三個氣泡開始，氣范不再是直線上升，而 是搖搖擺擺曲折上升，呈現(xiàn)出明顯地非對稱性行為。通過與文獻［17］的實驗結(jié)果(圖3i)進行 比較.可以發(fā)

29、現(xiàn)本文的模擬結(jié)果與實驗觀測吻合很好。 33 氣泡對在水中的自由上升過程 初始時刻靜止的兩個大小不同的并排的空氣泡在水中上升過程的模擬結(jié)果如圖4所示. 氣泡直徑分別為0.6 cm和0.8 cm?兩氣泡中心間距0.9 cm?計算區(qū)域的幾何尺寸是：x = 5 cm, y = 5cm, z = 6cm.計算中網(wǎng)格在x、y、z三個方向上分別被劃分為100x100x120?物 性參數(shù)同上.受浮力作用.兩個氣泡開始上升.外形由球形變?yōu)榍虮瓲?，并逐漸接近，然后 分開，然后再妾近，再分開，計算過程中沒有出現(xiàn)兩個氣泡的聚并現(xiàn)象；整個上升過程屮由 于表面張力及氣泡間的相互間作用，氣泡形狀也經(jīng)歷了有規(guī)律的振蕩?這

30、個現(xiàn)象與文獻[18] 的觀察結(jié)果相符? 圖4兩個并排的氣泡在水中上升過程的模擬結(jié)果 Fig.4 Simulation results of rising of bubble pairs side by side io water 3.4 液滴與球形顆粒碰撞過程 圖5展示了水滴與顆粒正向等溫碰撞的數(shù)值模擬結(jié)果。水滴與顆粒直徑分別為0.4 cm. 和1.2 cm,水澹初始位置離底面1.2 cm,撞擊速度52 cm/s,對應(yīng)的韋伯數(shù)為15,計算區(qū)域 的幾何尺寸耀：x = 2 cm, y = 2cm, z = 2 cm.計算中網(wǎng)格在x、y、z三個方向上分別被劃 分為100x100x10

31、0。物性參數(shù)同上?？梢钥吹?，在水滴撞擊到顆粒之后即刻在球面上形成 了一層薄膜?由于是正向碰撞，薄膜為圓盤狀.慣性力驅(qū)動液滴在球表面擴展，而表面張力 與粘性力阻礙這個擴展過程.結(jié)果，液體質(zhì)量聚集在液膜邊緣形成一個環(huán)形結(jié)構(gòu)，許多研究 者在實驗中觀察到這個結(jié)構(gòu).當液膜擴展到直徑最大時，在表面張力作用下，液滴開始從顆 粒表面反彈?據(jù)作者所知，這是首次用三維直接模擬計算液滴與顆粒碰撞的過程。 3.5 水満落入水面過程 圖6表示初始時刻速度為40.5cm/s的水滴降落入水面的過程.水滴苴徑0.6 cm,水滴 初始位置離底面1.4 cm.液面高度0.6 cm.計算區(qū)域的幾何尺寸是：x = 2 cm. y

32、-2 cm. z =2 cm?計算中網(wǎng)格在x、y、z三個方向上分別被劃分為100 x 100 x 100.物性參數(shù)同上. 水滴降落過程有很輕微的變形，由于慣性在接觸到水面時繼續(xù)下降，逐漸與水體自由表面融 711 移動邊界問題數(shù)值方法及其在氣液兩相流中的應(yīng)用 合：水體自由表面上出現(xiàn)凹坑，并在落入點周圍形成一環(huán)形:繼而由于表面張力.水面又 繼續(xù)向上反彈，由水滴沖擊形成的波動向四周傳遞。數(shù)值模擬結(jié)果與實際現(xiàn)象完全吻合。 t = ( 026$ t = 0032 s t003Ss 20 046$ # 移動邊界問題數(shù)值方法及其在氣液兩相流中的應(yīng)用 #

33、移動邊界問題數(shù)值方法及其在氣液兩相流中的應(yīng)用 圖5水滴與顆粒正向等溫碰撞的數(shù)值模擬結(jié)果 Fig.5 Simulation results of the isothermal impact of a water droplet onto particle in the normal direction (■Os t"0006f "001" t.OOZs t-a026f # 移動邊界問題數(shù)值方法及其在氣液兩相流中的應(yīng)用 # 移動邊界問題數(shù)值方法及其在氣液兩相流中的應(yīng)用 圖6水滴從空氣中落入水而后自由面的變化過程 Fig.6 Simulat

34、ion results of a water droplet impinging on water surface 4結(jié)論 移動邊界問題的數(shù)值模擬方法主耍分為Lagrangian方法和Eulerian方法。選用哪種方 法主耍取決丁所研究的問題。如果界面的細節(jié)是次耍的或者界面對整體流動性質(zhì)彩響不大， 使用Eulerian方法是比較有吸引力的。如果需要高精度地維持界面的非連續(xù)性，并且界面彳亍 為是研究的焦點,Lagrangian方法具有優(yōu)勢?？v觀移動界面數(shù)值模擬技術(shù)，可以說當前是level set方法的主流時期。本文利用level set方法模擬了兒個典熨的氣液兩相界面派動問題，包 括氣泡從噴

35、嘴中形成與上升過程，氣泡對的相互作用，液滴■顆粒碰撞過程和水滴沖擊水面 過程。計算結(jié)果與實際物理過程定性吻合，說明level set方法是一種有效且大有前途的處理 氣液移動邊界問題的數(shù)值方法。 參考文獻 [I] Harlow F H, Welch J F. Numerical calculations of time-dq)endent viscous incompressible flow of fluid with free surface (J]? Phys Fluids, 1965,8:2182-2189. (2J Harlow F H. PIC and its progeny

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45、學位論文］2008 2. 張東升.王秋旺.陶文銓 具有移動邊界平行平板通道內(nèi)的層流對流換熱［期刊論文］-西安交通大學學報 2002,36(5) 3. 王兵.許厚謙.WANG BingXU Houqian含有大位移動邊界的復(fù)雜流場的數(shù)值模擬［期刊論文］-計算物理 2008,25(4) 4. 孫博基于DF/FD & LES/F方法的動邊界問題研究 ［學位論文］2008 5. 鮑遠林.周曉陽.BAO Yuan-lin . ZHOU Xiao-yang移動邊界的有限體積KFV方法在一維潰壩波計算中的應(yīng)用 ［期刊 論文］-水利學報2005,36(12) 6. 呂和祥.康曉云 有限長軸承非穩(wěn)態(tài)油膜力自曲移動邊界問題的有限條解法 ［期刊論文］-計算力學學報 2004,21(1) 本文鏈接：