高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第6講圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題例7已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為1，離心率為e.(1)求橢圓E的方程；(2)過點(diǎn)(1,0)作直線l交E于P、Q兩點(diǎn)，試問：在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M，使·為定值？若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由審題破題(1)利用待定系數(shù)法求E的方程；(2)探求定點(diǎn)可以先根據(jù)特殊情況找出點(diǎn)，再對一般情況進(jìn)行證明解(1)設(shè)橢圓E的方程為1(a>b>0)，由已知得解得所以b2a2c21.所以橢圓E的方程為y21.(2)假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)M(m,0)，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則(x1m，y1)，(x2m，y2)，·(x1m)(x2m)y1y2x1x2m(x1x2)m2y1y2.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為yk(x1)，由得x22k2(x1)220，即(2k21)x24k2x2k220，則x1x2，x1x2，y1y2k2(x11)(x21)k2x1x2(x1x2)1，所以·m·m2.因?yàn)閷τ谌我獾膋值，·為定值，所以2m24m12(m22)，得m.所以M，此時(shí)，·.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x1，則x1x22，x1x21，y1y2，由m，得·.綜上，符合條件的點(diǎn)M存在，且坐標(biāo)為.構(gòu)建答題模板第一步：引進(jìn)參數(shù).從目標(biāo)對應(yīng)的關(guān)系式出發(fā)，引進(jìn)相關(guān)參數(shù).一般地，引進(jìn)的參數(shù)是直線的夾角、直線的斜率或直線的截距等；第二步：列出關(guān)系式.根據(jù)題設(shè)條件，表達(dá)出對應(yīng)的動態(tài)直線或曲線方程；第三步：探求直線過定點(diǎn).若是動態(tài)的直線方程，將動態(tài)的直線方程轉(zhuǎn)化成yy0k(xx0)的形式，則kR時(shí)直線恒過定點(diǎn)(x0，y0)；若是動態(tài)的曲線方程，將動態(tài)的曲線方程轉(zhuǎn)化成f(x，y)g(x，y)0的形式，則R時(shí)曲線恒過的定點(diǎn)即是f(x，y)0與g(x，y)0的交點(diǎn)；,第四步：下結(jié)論；第五步：回顧反思.在解決圓錐曲線問題中的定點(diǎn)、定值問題時(shí)，引進(jìn)參數(shù)的目的是以這個(gè)參數(shù)為中介，通過證明目標(biāo)關(guān)系式與參數(shù)無關(guān)，達(dá)到解決問題的目的.對點(diǎn)訓(xùn)練7已知拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)M(4,0)(1)若點(diǎn)F到直線l的距離為，求直線l的斜率；(2)設(shè)A，B為拋物線上的兩點(diǎn)，且直線AB不與x軸垂直，若線段AB的垂直平分線恰過點(diǎn)M，求證：線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值(1)解由已知得直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為yk(x4)，由題意知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，因?yàn)辄c(diǎn)F到直線l的距離為，所以，解得k±，所以直線l的斜率為±.(2)證明設(shè)線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)橹本€AB不與x軸垂直，所以AB斜率存在，所以直線MN的斜率為，直線AB的斜率為，直線AB的方程為yy0(xx0)，聯(lián)立方程得消去x，得y2y0yyx0(x04)0，所以y1y2，因?yàn)镹為線段AB的中點(diǎn)，所以y0，即y0，所以x02.即線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值2.