高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 三角函數(shù)與解三角形三角函數(shù)與解三角形 熱點(diǎn)一 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 注意對基本三角函數(shù) ysin x，ycos x 的圖象與性質(zhì)的理解與記憶，有關(guān)三角函數(shù)的五點(diǎn)作圖、圖象的平移、由圖象求解析式、周期、單調(diào)區(qū)間、最值和奇偶性等問題的求解，通常先將給出的函數(shù)轉(zhuǎn)化為 yAsin(x)的形式，然后利用整體代換的方法求解. 【例 1】已知函數(shù) f(x)sin x2 3sin2x2. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在區(qū)間0，23上的最小值. (1)解 因?yàn)?f(x)sin x 3cos x 3. 2sinx3 3. 所以 f(x)的最小正周期為 2. (2)解 因?yàn)?0 x23， 所以3x3. 當(dāng) x3，即 x23時(shí)，f(x)取得最小值. 所以 f(x)在區(qū)間0，23上的最小值為 f23 3. 【類題通法】求函數(shù) yAsin(x)B 周期與最值的模板 第一步：三角函數(shù)式的化簡，一般化成 yAsin(x)h 或 yAcos(x)h的形式； 第二步：由 T2|求最小正周期； 第三步：確定 f(x)的單調(diào)性； 第四步：確定各單調(diào)區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值； 第五步：明確規(guī)范地表達(dá)結(jié)論. 【對點(diǎn)訓(xùn)練】 設(shè)函數(shù) f(x)32 3sin2xsin xcos x(0)，且 yf(x)的圖象的一個(gè)對稱中心到最近的對稱軸的距離為4. (1)求 的值； (2)求 f(x)在區(qū)間，32上的最大值和最小值. 解 (1)f(x)32 3sin2xsin xcos x 32 31cos 2x212sin 2x 32cos 2x12sin 2xsin2x3. 因?yàn)?yf(x)的圖象的一個(gè)對稱中心到最近的對稱軸的距離為4，故該函數(shù)的周期T44. 又 0，所以22，因此 1. (2)由(1)知 f(x)sin2x3. 設(shè) t2x3，則函數(shù) f(x)可轉(zhuǎn)化為 ysin t. 當(dāng)x32時(shí)，53t2x3 83， 如圖所示，作出函數(shù) ysin t 在53，83 上的圖象， 由圖象可知，當(dāng) t53，83時(shí)，sin t32，1 ， 故1sin t32，因此1f(x)sin2x332. 故 f(x)在區(qū)間，32上的最大值和最小值分別為32，1. 熱點(diǎn)二 解三角形 高考對解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的綜合運(yùn)用為主.其命題規(guī)律可以從以下兩方面看：(1)從內(nèi)容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函數(shù)公式，一般是以三角形或其他平面圖形為背景，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系考查學(xué)生利用三角函數(shù)公式處理問題的能力；(2)從命題角度看，主要是在三角恒等變換的基礎(chǔ)上融合正弦定理、余弦定理，在知識的交匯處命題. 【例 2】 在ABC 中， 角 A， B， C 所對的邊分別是 a， b， c， 且cos Aacos Bbsin Cc. (1)證明：sin Asin Bsin C； (2)若 b2c2a265bc，求 tan B. (1)證明 在ABC 中，根據(jù)正弦定理， 可設(shè)asin Absin Bcsin Ck(k0). 則 aksin A，bksin B，cksin C. 代入cos Aacos Bbsin Cc中， 有cos Aksin Acos Bksin Bsin Cksin C，變形可得 sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB). 在ABC 中，由 ABC， 有 sin(AB)sin(C)sin C， 所以 sin Asin Bsin C. (2)解 由已知，b2c2a265bc，根據(jù)余弦定理，有 cos Ab2c2a22bc35. 所以 sin A 1cos2A45. 由(1)知，sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B， 所以45sin B45cos B35sin B， 故 tan Bsin Bcos B4. 【類題通法】(1)在等式中既有邊長又有角的正余弦時(shí)，往往先聯(lián)想正弦定理；出現(xiàn)含有邊長的平方及兩邊之積的等式，往往想到應(yīng)用余弦定理. (2)正余弦定理與兩角和(差)角公式的活用是求解該類問題的關(guān)鍵. 【對點(diǎn)訓(xùn)練】 四邊形 ABCD 的內(nèi)角 A 與 C 互補(bǔ)，且 AB1，BC3，CDDA2. (1)求角 C 的大小和線段 BD 的長度； (2)求四邊形 ABCD 的面積. 解 (1)設(shè) BDx， 在ABD 中，由余弦定理，得 cos A14x2221， 在BCD 中，由余弦定理，得 cos C94x2223， AC，cos Acos C0. 聯(lián)立上式，解得 x 7，cos C12. 由于 C(0，).C3，BD 7. (2)AC，C3，sin Asin C32. 又四邊形 ABCD 的面積 SABCDSABDSBCD 12ABADsin A12CBCDsin C32(13)2 3， 四邊形 ABCD 的面積為 2 3. 熱點(diǎn)三 三角函數(shù)與平面向量結(jié)合 三角函數(shù)、解三角形與平面向量的結(jié)合主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：(1)以三角函數(shù)式作為向量的坐標(biāo)，由兩個(gè)向量共線、垂直、求?；蚯髷?shù)量積獲得三角函數(shù)解析式；(2)根據(jù)平面向量加法、減法的幾何意義構(gòu)造三角形，然后利用正、余弦定理解決問題. 【例 3】已知ABC 的三內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別是 a，b，c，向量 m(cos B，cos C)，n(2ac，b)，且 mn. (1)求角 B 的大??； (2)若 b 3，求 ac 的范圍. 解 (1)m(cos B，cos C)，n(2ac，b)，且 mn， (2ac)cos Bbcos C0， cos B(2sin Asin C)sin Bcos C0， 2cos Bsin Acos Bsin Csin Bcos C0. 即 2cos Bsin Asin(BC)sin A. A(0，)，sin A0，cos B12. 0B，B23. (2)由余弦定理得 b2a2c22accos23a2c2ac(ac)2ac(ac)2ac2234(ac)2，當(dāng)且僅當(dāng) ac 時(shí)取等號. (ac)24，故 ac2. 又 acb 3，ac( 3，2.即 ac 的取值范圍是( 3，2. 【類題通法】向量是一種解決問題的工具，是一個(gè)載體，通常是用向量的數(shù)量積運(yùn)算或性質(zhì)轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)問題. 【對點(diǎn)訓(xùn)練】 已知向量 a(m，cos 2x)，b(sin 2x，n)，函數(shù) f(x)a b，且 yf(x)的圖象過點(diǎn)12， 3 和點(diǎn)23，2 . (1)求 m，n 的值； (2)將 yf(x)的圖象向左平移 (0)個(gè)單位后得到函數(shù) yg(x)的圖象，若 yg(x)圖象上各最高點(diǎn)到點(diǎn)(0，3)的距離的最小值為 1，求 yg(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. 解 (1)由題意知 f(x)a bmsin 2xncos 2x. 因?yàn)?yf(x)的圖象過點(diǎn)12， 3 和23，2 ， 所以3msin6ncos6，2msin43ncos43， 即312m32n，232m12n，解得m 3，n1. (2)由(1)知 f(x) 3sin 2xcos 2x2sin2x6. 由題意知 g(x)f(x)2sin2x26. 設(shè) yg(x)的圖象上符合題意的最高點(diǎn)為(x0，2)， 由題意知 x2011， 所以 x00， 即到點(diǎn)(0，3)的距離為 1 的最高點(diǎn)為(0，2). 將其代入 yg(x)得 sin261， 因?yàn)?0，所以 6， 因此 g(x)2sin2x22cos 2x. 由 2k2x2k，kZ 得 k2xk，kZ. 所以函數(shù) yg(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k2，k ，kZ.