高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第2講　?？嫉臄?shù)列綜合問題 數(shù)列通項(xiàng)公式的求解問題 例2　設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差數(shù)列． (1)求a1的值； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 審題破題　(1)可令n＝1，n＝2得關(guān)系式聯(lián)立求a1；(2)由已知可得n≥2時(shí)，2Sn－1＝an－2n＋1，兩式相減． 解　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，2a1＝a2－4＋1＝a2－3，① 當(dāng)n＝2時(shí)，2(a1＋a2)＝a3－8＋1＝a3－7，② 又a1，a2＋5，a3成等差數(shù)列， 所以a1＋a3＝2(a2＋5)，③ 由①②③解得a1＝1. (2)∵2Sn＝an＋1－2n＋1＋1， ∴當(dāng)n≥2時(shí)，有2Sn－1＝an－2n＋1， 兩式相減得an＋1－3an＝2n，則－＝1， 即＋2＝. 又＋2＝3，知是首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列， ∴＋2＝3n－1， 即an＝3n－2n，n＝1時(shí)也適合此式， ∴an＝3n－2n. 構(gòu)建答題模板 第一步：令n＝1，n＝2得出a1，a2，a3的兩個(gè)方程，和已知a1，a2，a3的關(guān)系聯(lián)立求a1； 第二步：令n≥2得關(guān)系式后，利用作差得an＋1，an的關(guān)系； 第三步：構(gòu)造等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)； 第四步：求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)． 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn＝2an＋(－1)n(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的前三項(xiàng)a1，a2，a3； (2)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出{an}的通項(xiàng)公式． (1)解　在Sn＝2an＋(－1)n，n≥1中分別令n＝1,2,3，得 解得 (2)證明　由Sn＝2an＋(－1)n，n≥1， 得Sn－1＝2an－1＋(－1)n－1，n≥2. 兩式相減得an＝2an－1－2(－1)n，n≥2. an＝2an－1－(－1)n－(－1)n ＝2an－1＋(－1)n－1－(－1)n， ∴an＋(－1)n＝2(n≥2)． 故數(shù)列是以a1－＝為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列．所以an＋(－1)n＝2n－1， ∴an＝2n－1－(－1)n. 數(shù)列求和問題 例3　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N*)，且Sn的最大值為8. (1)確定常數(shù)k，并求an； (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn. 審題破題　(1)由Sn的最大值，可據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求k，因而確定an；(2)利用錯(cuò)位相減法求和． 解　(1)當(dāng)n＝k∈N*時(shí)，Sn＝－n2＋kn取最大值， 即8＝Sk＝－k2＋k2＝k2，故k2＝16，因此k＝4， 從而an＝Sn－Sn－1＝－n(n≥2)． 又a1＝S1＝，所以an＝－n. (2)設(shè)bn＝＝， Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋＋＋…＋＋， 所以Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋＋…＋－ ＝4－－＝4－. 構(gòu)建答題模板 第一步：利用條件求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式； 第二步：寫出Tn＝b1＋b2＋…＋bn的表達(dá)式； 第三步：分析表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征、確定求和方法.(例如：公式法、裂項(xiàng)法，本題用錯(cuò)位相減法)； 第四步：明確規(guī)范表述結(jié)論； 第五步：反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范.如本題中在求an時(shí)，易忽視對(duì)n＝1，n≥2時(shí)的討論. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3　已知點(diǎn)是函數(shù)f(x)＝ax (a>0，且a≠1)的圖象上的一點(diǎn)．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為f(n)－c.數(shù)列{bn} (bn>0)的首項(xiàng)為c，且前n項(xiàng)和Sn滿足Sn－Sn－1＝＋ (n≥2)． (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，問滿足Tn>的最小正整數(shù)n是多少？ 解　(1)∵f(1)＝a＝，∴f(x)＝x. 由題意知，a1＝f(1)－c＝－c， a2＝f(2)－c]－f(1)－c]＝－， a3＝f(3)－c]－f(2)－c]＝－. 又?jǐn)?shù)列{an}是等比數(shù)列， ∴a1＝＝＝－＝－c， ∴c＝1.又公比q＝＝， ∴an＝－n－1＝－2n (n∈N*)． ∵Sn－Sn－1＝(－)(＋) ＝＋ (n≥2)． 又bn>0，>0，∴－＝1. ∴數(shù)列{}構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列， ＝1＋(n－1)1＝n，即Sn＝n2. 當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1， 當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝1也適合此通項(xiàng)公式． ∴bn＝2n－1 (n∈N*)． (2)Tn＝＋＋＋…＋ ＝＋＋＋…＋ ＝＋＋＋…＋＝＝. 由Tn＝>，得n>， ∴滿足Tn>的最小正整數(shù)n的值為101.