高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 熱點(diǎn)一 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì) 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值是高考的熱點(diǎn)問題之一，每年必考，一般考查兩類題型：(1)討論函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，(2)利用單調(diào)性、極值、最值求參數(shù)的取值范圍. 【例 1】已知函數(shù) f(x)ln xa(1x). (1)討論 f(x)的單調(diào)性； (2)當(dāng) f(x)有最大值，且最大值大于 2a2 時(shí)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍. 解 (1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)1xa. 若 a0，則 f(x)0，所以 f(x)在(0，)上單調(diào)遞增. 若 a0，則當(dāng) x0，1a時(shí)，f(x)0； 當(dāng) x1a， 時(shí)，f(x)0， 所以 f(x)在0，1a上單調(diào)遞增，在1a， 上單調(diào)遞減. 綜上，知當(dāng) a0 時(shí)，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增； 當(dāng) a0 時(shí)，f(x)在0，1a上單調(diào)遞增，在1a， 上單調(diào)遞減. (2)由(1)知，當(dāng) a0 時(shí)，f(x)在(0，)上無最大值； 當(dāng) a0 時(shí)，f(x)在 x1a處取得最大值，最大值為 f1aln 1aa11aln aa1. 因此 f1a2a2 等價(jià)于 ln aa10. 令 g(a)ln aa1，則 g(a)在(0，)上單調(diào)遞增， g(1)0. 于是，當(dāng) 0a1 時(shí)，g(a)0； 當(dāng) a1 時(shí)，g(a)0. 因此，實(shí)數(shù) a 的取值范圍是(0，1). 【類題通法】(1)研究函數(shù)的性質(zhì)通常轉(zhuǎn)化為對(duì)函數(shù)單調(diào)性的討論，討論單調(diào)性要先求函數(shù)定義域，再討論導(dǎo)數(shù)在定義域內(nèi)的符號(hào)來判斷函數(shù)的單調(diào)性. (2)由函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)的取值范圍，通常根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得到參數(shù)的不等式，再解出參數(shù)的范圍.若不等式是初等的一次、二次、指數(shù)或?qū)?shù)不等式，則可以直接解不等式得參數(shù)的取值范圍；若不等式是一個(gè)不能直接解出的超越型不等式時(shí)，如求解ln aa10，即(x22)ex0，因?yàn)?ex0， 所以x220，解得 2x0，所以x2(a2)xa0 對(duì) x(1，1)都成立， 即 ax22xx1（x1）21x1 (x1)1x1對(duì) x(1，1)都成立. 令 y(x1)1x1，則 y11（x1）20. 所以 y(x1)1x1在(1，1)上單調(diào)遞增， 所以 y0 時(shí)，解不等式 f(x)0； (2)當(dāng) a0 時(shí)，求整數(shù) t 的所有值，使方程 f(x)x2 在t，t1上有解. 解 (1)因?yàn)?ex0，(ax2x)ex0. ax2x0.又因?yàn)?a0， 所以不等式化為 xx1a0. 所以不等式 f(x)0 的解集為1a，0 . (2)當(dāng) a0 時(shí)，方程即為 xexx2， 由于 ex0，所以 x0 不是方程的解， 所以原方程等價(jià)于 ex2x10. 令 h(x)ex2x1， 因?yàn)?h(x)ex2x20 對(duì)于 x(，0)(0，)恒成立， 所以 h(x)在(，0)和(0，)內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)， 又 h(1)e30，h(3)e3130， 所以方程 f(x)x2 有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根且分別在區(qū)間1，2和3，2上，所以整數(shù) t 的所有值為3，1. 熱點(diǎn)三 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題 導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用是高考的熱點(diǎn)，常以解答題的形式考查，以中高檔題為主，突出轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想的考查，常見的命題角度：(1)證明簡單的不等式；(2)由不等式恒成立求參數(shù)范圍問題；(3)不等式恒成立、能成立問題. 【例 3】設(shè)函數(shù) f(x)e2xaln x. (1)討論 f(x)的導(dǎo)函數(shù) f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)； (2)證明：當(dāng) a0 時(shí)，f(x)2aaln2a. (1)解 f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)2e2xax(x0). 當(dāng) a0 時(shí)，f(x)0，f(x)沒有零點(diǎn). 當(dāng) a0 時(shí)，設(shè) u(x)e2x，v(x)ax， 因?yàn)?u(x)e2x在(0，)上單調(diào)遞增，v(x)ax在(0，)上單調(diào)遞增，所以 f(x)在(0，)上單調(diào)遞增. 又 f(a)0，當(dāng) b 滿足 0ba4且 b14時(shí)，f(b)0(討論 a1 或 a1 來檢驗(yàn))， 故當(dāng) a0 時(shí)，f(x)存在唯一零點(diǎn). (2)證明 由(1)，可設(shè) f(x)在(0，)上的唯一零點(diǎn)為 x0，當(dāng) x(0，x0)時(shí)，f(x)0； 當(dāng) x(x0，)時(shí)，f(x)0. 故 f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，)上單調(diào)遞增， 所以當(dāng) xx0時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為 f(x0) 由于 2e2x0ax00， 所以 f(x0)a2x02ax0aln2a2aaln2a. 故當(dāng) a0 時(shí)，f(x)2aaln2a. 【類題通法】1.討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)的答題模板 第一步：求函數(shù)的定義域； 第二步：分類討論函數(shù)的單調(diào)性、極值； 第三步：根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，結(jié)合函數(shù)圖象確定各分類情況的零點(diǎn)個(gè)數(shù). 2.證明不等式的答題模板 第一步：根據(jù)不等式合理構(gòu)造函數(shù)； 第二步：求函數(shù)的最值； 第三步：根據(jù)最值證明不等式. 【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】 已知函數(shù) f(x)axln x(aR). (1)若 a2，求曲線 yf(x)在 x1 處的切線方程； (2)求 f(x)的單調(diào)區(qū)間； (3)設(shè) g(x)x22x2，若對(duì)任意 x1(0，)，均存在 x20，1使得 f(x1)0)，所以 f(1)213，所以斜率 k3.又切點(diǎn)為(1，2)，所以切線方程為 y23(x1)，即 3xy10， 故曲線 yf(x)在 x1 處的切線方程為 3xy10. (2)f(x)a1xax1x(x0)， 當(dāng) a0 時(shí)，由于 x0，故 ax10，f(x)0，所以 f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，). 當(dāng) a0，在區(qū)間1a， 上，f(x)0，所以函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0，1a，單調(diào)遞減區(qū)間為1a， . (3)由已知得所求可轉(zhuǎn)化為 f(x)maxg(x)max， g(x)(x1)21，x0，1， 所以 g(x)max2， 由(2)知，當(dāng) a0 時(shí)，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增， 值域?yàn)?R，故不符合題意. 當(dāng) a1ln(a)，解得 a1e3.