高考數(shù)學精品復習資料 2019.5第7講導數(shù)的應用問題函數(shù)的單調性、極值、最值問題例8已知函數(shù)f(x)(xR)，其中aR.(1)當a1時，求曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程；(2)當a0時，求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間與極值審題破題(1)直接求f(x)，得f(2)后寫出切線方程；(2)求導函數(shù)f(x)后要對a進行討論，可以列表觀察函數(shù)f(x)的單調性，極值解(1)當a1時，f(x)，f(2)，又f(x)，f(2).所以，曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為y(x2)，即6x25y320.(2)f(x).由于a0，以下分兩種情況討論當a0，令f(x)0，得到x1，x2a.當x變化時，f(x)和f(x)的變化情況如下表：x(，)(，a)a(a，)f(x)00f(x)極小值極大值所以f(x)在區(qū)間，(a，)內為減函數(shù)，在區(qū)間內為增函數(shù)函數(shù)f(x)在x1處取得極小值f，且fa2.函數(shù)f(x)在x2a處取得極大值f(a)，且f(a)1.當a0時，令f(x)0，得到x1a，x2，當x變化時，f(x)和f(x)的變化情況如下表：x(，a)a(a，)(，)f(x)00f(x)極大值極小值所以f(x)在區(qū)間(，a)，內為增函數(shù)，在區(qū)間內為減函數(shù)函數(shù)f(x)在x1a處取得極大值f(a)，且f(a)1.函數(shù)f(x)在x2處取得極小值f()，且fa2.綜上，當a>0時，函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(，a)，單調遞減區(qū)間為(，)，(a，)，極大值為1，極小值為a2.當a<0時，函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(，a)，(，)，單調遞減區(qū)間為(a，)，極大值為1，極小值為a2.構建答題模板第一步：確定函數(shù)的定義域如本題函數(shù)的定義域為R.第二步：求f(x)的導數(shù)f(x)第三步：求方程f(x)0的根第四步：利用f(x)0的根和不可導點的x的值從小到大順次將定義域分成若干個小開區(qū)間，并列出表格第五步：由f(x)在開區(qū)間內的正、負值判斷f(x)在開區(qū)間內的單調性第六步：明確規(guī)范地表述結論第七步：反思回顧查看關鍵點、易錯點及解題規(guī)范如本題中f(x)0的根為x1，x2a.要確定x1，x2的大小，就必須對a的正、負進行分類討論這就是本題的關鍵點和易錯點對點訓練8已知函數(shù)f(x)alnxx (a0)(1)若曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線與直線x2y0垂直，求實數(shù)a的值；(2)討論函數(shù)f(x)的單調性(1)解f(x)的定義域為x|x>0f(x)1 (x>0)根據(jù)題意，有f(1)2，所以2a2a30，解得a1或a.(2)解f(x)1 (x>0)當a>0時，因為x>0，由f(x)>0得(xa)(x2a)>0，解得x>a；由f(x)<0得(xa)(x2a)<0，解得0<x<a.所以函數(shù)f(x)在(a，)上單調遞增，在(0，a)上單調遞減當a<0時，因為x>0，由f(x)>0得(xa)(x2a)>0，解得x>2a；由f(x)<0得(xa)(x2a)<0，解得0<x<2a.所以函數(shù)f(x)在(0，2a)上單調遞減，在(2a，)上單調遞增導數(shù)與不等式問題例9設函數(shù)f(x)定義在(0，)上，f(1)0，導函數(shù)f(x)，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的單調區(qū)間和最小值；(2)討論g(x)與g的大小關系；(3)是否存在x0>0，使得|g(x)g(x0)|<對任意x>0成立？若存在，求出x0的取值范圍；若不存在，請說明理由審題破題(1)先求出f(x)，再求g(x)，然后討論g(x)的單調區(qū)間，最值；(2)可構造函數(shù)h(x)g(x)g，通過h(x)的單調性比較g(x)，g的大??；(3)對任意x>0若不存在x0，只需取一特殊值即可；若存在x0，一般利用最值解決解(1)由題設易知f(x)lnx，g(x)lnx，所以g(x)，令g(x)0，得x1，當x(0,1)時，g(x)<0，故(0,1)是g(x)的單調減區(qū)間，當x(1，)時，g(x)>0.故(1，)是g(x)的單調增區(qū)間，因此，x1是g(x)的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，所以最小值為g(1)1.(2)glnxx，設h(x)g(x)g2lnxx，則h(x)，當x1時，h(1)0，即g(x)g，當x(0,1)(1，)時，h(x)<0，h(1)0，因此，h(x)在(0，)內單調遞減，當0<x<1時，h(x)>h(1)0，即g(x)>g，當x>1時，h(x)<h(1)0，即g(x)<g.(3)滿足條件的x0不存在證明如下：假設存在x0>0，使|g(x)g(x0)|<對任意x>0成立，即對任意x>0，有l(wèi)nx<g(x0)<lnx，(*)但對上述x0，取x1eg(x0)時，有l(wèi)nx1g(x0)，這與(*)左邊不等式矛盾，因此，不存在x0>0，使|g(x)g(x0)|<對任意x>0成立構建答題模板第一步：構造函數(shù)h(x)g(x)g()；第二步：根據(jù)求單調性、極值的步驟探求函數(shù)h(x)的單調性；第三步：根據(jù)h(x)的單調性比較h(x)和0的大小；第四步：下結論，反思回顧.對點訓練9已知函數(shù)f(x)ax2bxclnx.(1)當ab時，若函數(shù)f(x)在定義域上是單調函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)設函數(shù)f(x)在x，x1處取得極值，且f(1)1，若對任意的x，f(x)m恒成立，求m的取值范圍(參考數(shù)據(jù)：e2.7)解(1)ab時，f(x)ax2axclnx，f(x)2axa (x>0)當a0時，f(x)>0，此時f(x)在(0，)上單調遞增；當a>0時，x>0，2ax2ax1>0，f(x)>0，f(x)在(0，)上單調遞增；當a<0時，設g(x)2ax2ax1，函數(shù)g(x)在上單調遞減，且g(0)1>0，故在(0，)上，函數(shù)g(x)的符號不確定，即此時f(x)的符號不確定，函數(shù)f(x)在(0，)上不單調綜上可知，a的取值范圍是0，)(2)f(x)在x，x1處取得極值，f(1)f0，即解得即f(x)，且f(x)x23xclnx.又f(1)1，13c1，得c1，f(x)x23x1lnx.當x時，f(x)>0，函數(shù)f(x)在上單調遞增；當x時，f(x)<0，函數(shù)f(x)在上單調遞減；當x(1,2時，f(x)>0，函數(shù)f(x)在(1,2上單調遞增f(x)極大值f1lnln2，而f(2)1ln2，f(2)fln4ln4lne，由于4>e>e，故f(2)>f，f(x)max1ln 2，m1ln 2.