高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料2019.5概率與統(tǒng)計(jì)概率與統(tǒng)計(jì)熱點(diǎn)一常見概率模型的概率幾何概型、古典概型、相互獨(dú)立事件與互斥事件的概率、條件概率是高考的熱點(diǎn)，幾何概型主要以客觀題考查，求解的關(guān)鍵在于找準(zhǔn)測度(面積，體積或長度)；相互獨(dú)立事件，互斥事件常作為解答題的一問考查，也是進(jìn)一步求分布列，期望與方差的基礎(chǔ)，求解該類問題要正確理解題意，準(zhǔn)確判定概率模型，恰當(dāng)選擇概率公式.【例 1】現(xiàn)有 4 個(gè)人去參加某娛樂活動(dòng)，該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè)游戲可供參加者選擇.為增加趣味性，約定：每個(gè)人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個(gè)游戲，擲出點(diǎn)數(shù)為 1 或 2 的人去參加甲游戲，擲出點(diǎn)數(shù)大于 2 的人去參加乙游戲.(1)求這 4 個(gè)人中恰有 2 人去參加甲游戲的概率；(2)求這 4 個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；(3)用 X，Y 分別表示這 4 個(gè)人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記|XY|，求隨機(jī)變量的分布列.解依題意，這 4 個(gè)人中，每個(gè)人去參加甲游戲的概率為13，去參加乙游戲的概率為23.設(shè)“這 4 個(gè)人中恰有 i 人去參加甲游戲”為事件 Ai(i0，1，2，3，4).則 P(Ai)Ci413i234i.(1)這 4 個(gè)人中恰有 2 人去參加甲游戲的概率P(A2)C24132232827.(2)設(shè)“這 4 個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件 B，則BA3A4，且 A3與 A4互斥，P(B)P(A3A4)P(A3)P(A4)C3413323C4413419.(3)依題設(shè)，的所有可能取值為 0，2，4.且 A1與 A3互斥，A0與 A4互斥.則 P(0)P(A2)827，P(2)P(A1A3)P(A1)P(A3)C14131233C34133234081，P(4)P(A0A4)P(A0)P(A4)C04234C441341781.所以的分布列是024P82740811781【類題通法】 (1)本題 4 個(gè)人中參加甲游戲的人數(shù)服從二項(xiàng)分布， 由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，4 人中恰有 i 人參加甲游戲的概率 PCi413i234i，這是本題求解的關(guān)鍵.(2)解題中常見的錯(cuò)誤是不能分清事件間的關(guān)系，選錯(cuò)概率模型，特別是在第(3)問中，不能把0，2，4 的事件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的互斥事件 Ai的概率和.【對點(diǎn)訓(xùn)練】甲、乙兩班進(jìn)行消防安全知識(shí)競賽，每班出 3 人組成甲乙兩支代表隊(duì)，首輪比賽每人一道必答題，答對則為本隊(duì)得 1 分，答錯(cuò)或不答都得 0 分，已知甲隊(duì) 3 人每人答對的概率分別為34，23，12，乙隊(duì)每人答對的概率都是23，設(shè)每人回答正確與否相互之間沒有影響，用表示甲隊(duì)總得分.(1)求2 的概率；(2)求在甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為 4 的條件下，甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高的概率.解(1)2，則甲隊(duì)有兩人答對，一人答錯(cuò)，故 P(2)3423112 34123 12134 23121124；(2)設(shè)甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為 4 為事件 A，甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高為事件 B.設(shè)乙隊(duì)得分為，則B3，23 .P(1)34123 112 134 23112 134 123 1214，P(3)34231214，P(1)C132313229，P(2)C232321349，P(3)C33233827，P(A)P(1)P(3)P(2)P(2)P(3)P(1)14827112449142913，P(AB)P(3)P(1)1429118，所求概率為 P(B|A)P（AB）P（A）1181316.熱點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差及應(yīng)用是數(shù)學(xué)高考的一大熱點(diǎn)，每年均有解答題的考查，屬于中檔題.復(fù)習(xí)中應(yīng)強(qiáng)化應(yīng)用題目的理解與掌握，弄清隨機(jī)變量的所有取值是正確列隨機(jī)變量分布列和求均值與方差的關(guān)鍵，對概率模型的確定與轉(zhuǎn)化是解題的基礎(chǔ)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的核心，在備考中強(qiáng)化解答題的規(guī)范性訓(xùn)練.【例 2】甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完 5 局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為23，乙獲勝的概率為13，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求甲在 4 局以內(nèi)(含 4 局)贏得比賽的概率；(2)記 X 為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求 X 的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).解用 A 表示“甲在 4 局以內(nèi)(含 4 局)贏得比賽”，Ak表示“第 k 局甲獲勝”，Bk表示“第 k 局乙獲勝”，則 P(Ak)23，P(Bk)13，k1，2，3，4，5.(1)P(A)P(A1A2)P(B1A2A3)P(A1B2A3A4)P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)2321323223132325681.(2)X 的可能取值為 2，3，4，5.P(X2)P(A1A2)P(B1B2)P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)59，P(X3)P(B1A2A3)P(A1B2B3)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(B3)29，P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B4)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)1081，P(X5)1P(X2)P(X3)P(X4)881.故 X 的分布列為X2345P59291081881E(X)25932941081588122481.【類題通法】求離散型隨機(jī)變量的均值和方差問題的一般步驟第一步：確定隨機(jī)變量的所有可能值；第二步：求每一個(gè)可能值所對應(yīng)的概率；第三步：列出離散型隨機(jī)變量的分布列；第四步：求均值和方差；第五步：反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范.【對點(diǎn)訓(xùn)練】為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎(jiǎng)的方式對 1 000 位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)， 規(guī)定： 每位顧客從一個(gè)裝有 4 個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出 2 個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額.(1)若袋中所裝的 4 個(gè)球中有 1 個(gè)所標(biāo)的面值為 50 元，其余 3 個(gè)均為 10 元.求：顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為 60 元的概率；顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)商場對獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是 60 000 元，并規(guī)定袋中的 4 個(gè)球只能由標(biāo)有面值 10元和 50 元的兩種球組成，或標(biāo)有面值 20 元和 40 元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對均衡，請對袋中的 4 個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說明理由.解(1)設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為 X.依題意，得 P(X60)C11C13C2412，即顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為 60 元的概率為12.依題意，得 X 的所有可能取值為 20，60.P(X60)12，P(X20)C23C2412，即 X 的分布列為X2060P1212所以顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的數(shù)學(xué)期望為 E(X)2012601240(元).(2)根據(jù)商場的預(yù)算，每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為 60 元.所以，先尋找期望為 60 元的可能方案.對于面值由 10 元和 50 元組成的情況，如果選擇(10，10，10，50)的方案，因?yàn)?60 元是面值之和的最大值，所以期望不可能為 60 元；如果選擇(50，50，50，10)的方案，因?yàn)?60 元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為 60 元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，記為方案 1.對于面值由 20 元和 40 元組成的情況，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，記為方案 2.以下是對兩個(gè)方案的分析：對于方案 1，即方案(10，10，50，50)，設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為 X1，則 X1的分布列為X12060100P162316X1的數(shù)學(xué)期望為 E(X1)201660231001660(元)，X1的方差為 D(X1)(2060)216(6060)223(10060)2161 6003.對于方案 2，即方案(20，20，40，40)，設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為 X2，則 X2的分布列為X2406080P162316X2的數(shù)學(xué)期望為 E(X2)40166023801660(元)，X2的方差為 D(X2)(4060)216(6060)223(8060)2164003.由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額的數(shù)學(xué)期望都符合要求，但方案 2 獎(jiǎng)勵(lì)額的方差比方案 1的小，所以應(yīng)該選擇方案 2.熱點(diǎn)三概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用概率與統(tǒng)計(jì)作為考查考生應(yīng)用意識(shí)的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點(diǎn)和熱點(diǎn).主要依托點(diǎn)是統(tǒng)計(jì)圖表， 正確認(rèn)識(shí)和使用這些圖表是解決問題的關(guān)鍵.復(fù)習(xí)時(shí)要在這些圖表上下工夫，把這些統(tǒng)計(jì)圖表的含義弄清楚，在此基礎(chǔ)上掌握好樣本特征數(shù)的計(jì)數(shù)方法、各類概率的計(jì)算方法及數(shù)學(xué)均值與方差的運(yùn)算.【例 3】6 月 14 日至 7 月 15 日，第 21 屆世界杯足球賽將于俄羅斯舉行，某大學(xué)為世界杯組委會(huì)招收志愿者，被招收的志愿者需參加筆試和面試，把參加筆試的40 名大學(xué)生的成績分組：第 1 組75，80)，第 2 組80，85)，第 3 組85，90)，第4 組90，95)，第 5 組95，100，得到的頻率分布直方圖如圖所示：(1)分別求出成績在第 3，4，5 組的人數(shù)；(2)現(xiàn)決定在筆試成績較高的第 3，4，5 組中用分層抽樣抽取 6 人進(jìn)行面試.已知甲和乙的成績均在第 3 組，求甲或乙進(jìn)入面試的概率；若從這 6 名學(xué)生中隨機(jī)抽取 2 名學(xué)生接受考官 D 的面試， 設(shè)第 4 組中有 X 名學(xué)生被考官 D 面試，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望.解(1)由頻率分布直方圖知：第 3 組的人數(shù)為 50.064012.第 4 組的人數(shù)為 50.04408.第 5 組的人數(shù)為 50.02404.(2)利用分層抽樣，在第 3 組，第 4 組，第 5 組中分別抽取 3 人，2 人，1 人.設(shè)“甲或乙進(jìn)入第二輪面試”為事件 A，則P(A)1C310C312511，所以甲或乙進(jìn)入第二輪面試的概率為511.X 的所有可能取值為 0，1，2，P(X0)C24C2625，P(X1)C12C14C26815，P(X2)C22C26115.所以 X 的分布列為X012P25815115E(X)02518152115101523.【類題通法】本題將傳統(tǒng)的頻率分布直方圖與分布列、數(shù)學(xué)期望相結(jié)合，立意新穎、構(gòu)思巧妙.求解離散型隨機(jī)變量的期望與頻率分布直方圖交匯題的“兩步曲”：一是看圖說話，即看懂頻率分布直方圖中每一個(gè)小矩形面積表示這一組的頻率；二是活用公式，本題中 X 服從超幾何分布.【對點(diǎn)訓(xùn)練】某公司為了解用戶對某產(chǎn)品的滿意度，從 A，B 兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了 20 個(gè)用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評(píng)分如下：A 地區(qū)：6273819295857464537678869566977888827689B 地區(qū)：7383625191465373648293486581745654766579(1)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可)；(2)根據(jù)用戶滿意度評(píng)分，將用戶的滿意度從低到高分為三個(gè)等級(jí)：滿意度評(píng)分低于 70 分70 分到 89 分不低于 90 分滿意度等級(jí)不滿意滿意非常滿意記事件 C： “A 地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)高于 B 地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)”.假設(shè)兩地區(qū)用戶的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求 C 的概率.解(1)兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖如下通過莖葉圖可以看出，A 地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值高于 B 地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值；A 地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較集中，B 地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較分散.(2)記 CA1表示事件：“A 地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為滿意或非常滿意”；CA2表示事件：“A 地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為非常滿意”；CB1表示事件：“B 地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意”；CB2表示事件：“B 地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為滿意”，則 CA1與 CB1獨(dú)立，CA2與 CB2獨(dú)立，CB1與 CB2互斥，CCB1CA1CB2CA2.P(C)P(CB1CA1CB2CA2)P(CB1CA1)P(CB2CA2)P(CB1)P(CA1)P(CB2)P(CA2).由所給數(shù)據(jù)得 CA1，CA2，CB1，CB2發(fā)生的頻率分別為1620，420，1020，820，即 P(CA1)1620，P(CA2)420，P(CB1)1020，P(CB2)820，故 P(C)102016208204200.48.熱點(diǎn)四統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式求線性回歸方程，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、 方法， 在選擇或填空題中常涉及頻率分布直方圖、 莖葉圖及樣本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、方差)的考查，解答題中也有所考查.【例 4】從某居民區(qū)隨機(jī)抽取 10 個(gè)家庭，獲得第 i 個(gè)家庭的月收入 xi(單位：千元)與月儲(chǔ)蓄 yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得 10i1xi80，10i1yi20，10i1xiyi184，10i1x2i720.(1)求家庭的月儲(chǔ)蓄 y 對月收入 x 的線性回歸方程ybxa；(2)判斷變量 x 與 y 之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為 7 千元，預(yù)測該家庭的月儲(chǔ)蓄.附：線性回歸方程ybxa中，b，aybx，其中x，y為樣本平均值.解(1)由題意知 n10，x1nni1xi80108，y1nni1yi20102，又lxxni1x2inx2720108280，lxyni1xiyinx y184108224，由此得blxylxx24800.3，aybx20.380.4，故所求線性回歸方程為y0.3x0.4.(2)由于變量 y 的值隨 x 值的增加而增加(b0.30)，故 x 與 y 之間是正相關(guān).(3)將 x7 代入回歸方程可以預(yù)測該家庭的月儲(chǔ)蓄為y0.370.41.7(千元).【類題通法】(1)分析兩個(gè)變量的線性相關(guān)性，可通過計(jì)算相關(guān)系數(shù) r 來確定，r的絕對值越接近于 1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，r 的絕對值越接近于 0，表明兩變量線性相關(guān)性越弱.(2)求線性回歸方程的關(guān)鍵是正確運(yùn)用b，a的公式進(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)算.【對點(diǎn)訓(xùn)練】4 月 23 日是“世界讀書日”，某中學(xué)在此期間開展了一系列的讀書教育活動(dòng).為了解本校學(xué)生課外閱讀情況，學(xué)校隨機(jī)抽取了 100 名學(xué)生對其課外閱讀時(shí)間進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均課外閱讀時(shí)間(單位：分鐘)的頻率分布直方圖.若將日均課外閱讀時(shí)間不低于60分鐘的學(xué)生稱為“讀書迷”，低于 60 分鐘的學(xué)生稱為“非讀書迷”.(1)根據(jù)已知條件完成下面 22 列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有 99%的把握認(rèn)為“讀書迷”與性別有關(guān)？非讀書迷讀書迷總計(jì)男15女45總計(jì)(2)將頻率視為概率.現(xiàn)在從該校大量學(xué)生中，用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取 1 人，共抽取 3 次，記被抽取的 3 人中的“讀書迷”的人數(shù)為 X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求 X 的分布列、期望 E(X)和方差 D(X).解(1)完成 22 列聯(lián)表如下：非讀書迷讀書迷總計(jì)男401555女202545總計(jì)6040100K2100（40251520）2604055458.2496.635，故有 99%的把握認(rèn)為“讀書迷”與性別有關(guān).(2)將頻率視為概率.則從該校學(xué)生中任意抽取 1 名學(xué)生恰為讀書迷的概率 P25.由題意可知 XB3，25 ，P(Xi)Ci325i353i(i0，1，2，3).X 的分布列為X0123P2712554125361258125均值 E(X)np32565，方差 D(X)np(1p)325125 1825.