高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第六節(jié)雙 曲 線 考點(diǎn)一雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程 例1(1)(20xx天津高考)已知拋物線y28x的準(zhǔn)線過雙曲線1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)， 且雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為_(2)(20xx遼寧高考)已知F為雙曲線C：1的左焦點(diǎn)，P，Q為C上的點(diǎn)若PQ的長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍，點(diǎn)A(5,0)在線段PQ上，則PQF的周長(zhǎng)為_自主解答(1)由拋物線y28x可知其準(zhǔn)線方程為x2，所以雙曲線的左焦點(diǎn)為(2,0)，即c2；又因?yàn)殡x心率為2，所以e2，故a1，由a2b2c2知b23，所以該雙曲線的方程為x21.(2)由1，得a3，b4，c5，所以|PQ|4b16>2a，又因?yàn)锳(5,0)在線段PQ上，所以P，Q在雙曲線的一支上，且PQ所在直線過雙曲線的右焦點(diǎn)，由雙曲線定義知：所以|PF|QF|28.即PQF的周長(zhǎng)是|PF|QF|PQ|281644.答案(1)x21(2)44【互動(dòng)探究】本例(2)中“若PQ的長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍”改為“若PQ的長(zhǎng)等于實(shí)軸長(zhǎng)的2倍”，則結(jié)果如何？解：依題意知|PQ|4a12>2a.又A(5,0)在線段PQ上，PQ在雙曲線的一支上同樣|PF|PA|2a6，|QF|QA|2a6.|PF|QF|24.PQF的周長(zhǎng)是|PF|QF|PQ|241236.【方法規(guī)律】雙曲線定義運(yùn)用中的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)在解決與雙曲線的焦點(diǎn)有關(guān)的距離問題時(shí)，通常考慮利用雙曲線的定義；(2)在運(yùn)用雙曲線的定義解題時(shí)，應(yīng)特別注意定義中的條件“差的絕對(duì)值”，弄清楚是指整條雙曲線還是雙曲線的一支1已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2y22的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|2|PF2|，則cosF1PF2()A. B. C. D.解析：選C由雙曲線的定義有|PF1|PF2|PF2|2a2，|PF1|2|PF2|4，則cosF1PF2.2已知ABP的頂點(diǎn)A，B分別為雙曲線1的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)P在雙曲線上，則的值等于()A. B. C. D.解析：選A在ABP中，由正弦定理知.考點(diǎn)二直線和雙曲線的綜合 例2(20xx全國(guó)高考)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為3，直線y2與C的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為.(1)求a，b；(2)設(shè)過F2的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，且|AF1|BF1|，證明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比數(shù)列自主解答(1)由題設(shè)知3，即9，故b28a2.所以C的方程為8x2y28a2.將y2代入上式，解得x .由題設(shè)知，2 ，解得a21.所以a1，b2.(2)證明：由(1)知，F(xiàn)1(3,0)，F(xiàn)2(3,0)，C的方程為8x2y28.由題意可設(shè)l的方程為yk(x3)，|k|<2，代入并化簡(jiǎn)，得(k28)x26k2x9k280.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x11，x21，x1x2，x1x2.于是|AF1|(3x11)，|BF1|3x21.由|AF1|BF1|，得(3x11)3x21，即x1x2.故，解得k2，從而x1x2.由于|AF2|13x1，|BF2|3x21，故|AB|AF2|BF2|23(x1x2)4，|AF2|BF2|3(x1x2)9x1x2116.從而|AF2|BF2|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比數(shù)列【方法規(guī)律】求解雙曲線綜合問題的主要方法雙曲線的綜合問題主要為直線與雙曲線的位置關(guān)系解決這類問題的常用方法是設(shè)出直線方程或雙曲線方程，然后把直線方程和雙曲線方程聯(lián)立成方程組，消元后轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及整體代入的思想解題設(shè)直線與雙曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，直線的斜率為k，則|AB|x1x2|.已知橢圓C1的方程為y21，雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別是C1的左、右頂點(diǎn)，而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求雙曲線C2的方程；(2)若直線l：ykx與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且>2，求k的取值范圍解：(1)設(shè)雙曲線C2的方程為1(a>0，b>0)，則a2413，c24，再由a2b2c2，得b21，故雙曲線C2的方程為y21.(2)將ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點(diǎn)，得k2<1且k2.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)2.又>2，即x1x2y1y2>2，>2，即>0，解得<k2<3.由得<k2<1，故k的取值范圍為.高頻考點(diǎn)考點(diǎn)三 雙曲線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用1雙曲線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用，是高考命題的熱點(diǎn)，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題2高考對(duì)雙曲線幾何性質(zhì)的考查主要有以下幾個(gè)命題角度：(1)求雙曲線的離心率(或范圍)；(2)求雙曲線的漸近線方程；(3)求雙曲線方程；(4)求雙曲線的焦點(diǎn)(距)、實(shí)虛軸長(zhǎng)例3(1)(20xx新課標(biāo)全國(guó)卷)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率為，則C的漸近線方程為()Ayx ByxCyx Dyx(2)(20xx浙江高考)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：y21與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點(diǎn)若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是()A. B. C. D.自主解答(1) ，所以，故所求的雙曲線漸近線方程是yx.(2)設(shè)雙曲線C2的實(shí)半軸長(zhǎng)為a，焦半距為c，|AF1|m，|AF2|n，由題意知c，2mn(mn)2(m2n2)4，(mn)2m2n22mn8,2a|mn|2，a，則雙曲線C2的離心率e.答案(1)C(2)D與雙曲線幾何性質(zhì)有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求雙曲線的離心率(或范圍)依據(jù)題設(shè)條件，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得(2)求雙曲線的漸近線方程依據(jù)題設(shè)條件，求雙曲線中a，b的值或a與b的比值，進(jìn)而得出雙曲線的漸近線方程(3)求雙曲線方程依據(jù)題設(shè)條件，求出a，b的值或依據(jù)雙曲線的定義，求雙曲線的方程(4)求雙曲線焦點(diǎn)(焦距)、實(shí)虛軸的長(zhǎng)依題設(shè)條件及a，b，c之間的關(guān)系求解1(20xx湖北高考)已知0<<，則雙曲線C1：1與C2：1的()A實(shí)軸長(zhǎng)相等 B虛軸長(zhǎng)相等C離心率相等 D焦距相等解析：選D0<<，sin <cos .由雙曲線C1：1知實(shí)軸長(zhǎng)為2sin ，虛軸長(zhǎng)為2cos ，焦距為2，離心率為.由雙曲線C2：1知實(shí)軸長(zhǎng)為2cos ，虛軸長(zhǎng)為2sin ，焦距為2，離心率為.2(20xx廣東高考)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為F(3,0)，離心率等于，則C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：選B依題意c3，又e，a2，b2 c2a232225，C的方程為1.3(20xx湖南高考)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小內(nèi)角為30，則C的離心率為_解析：不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線C的右支上且F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，由雙曲線定義知|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，由，得|PF1|4a，|PF2|2a.因?yàn)閏>a，所以2c>2a，所以在PF1F2中，PF1F2為最小內(nèi)角，因此PF1F230.在PF1F2中，由余弦定理可知，|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos 30，即4a216a24c28ac.所以c22ac3a20，兩邊同除以a2得e22e30.解得e.答案：課堂歸納通法領(lǐng)悟1個(gè)規(guī)律等軸雙曲線的離心率及漸近線的關(guān)系雙曲線為等軸雙曲線雙曲線的離心率e雙曲線的兩條漸近線互相垂直(位置關(guān)系)2種方法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法(1)定義法，根據(jù)題目的條件，若滿足定義，求出相應(yīng)的a，b的值即可求得方程(2)待定系數(shù)法定值：根據(jù)條件確定相關(guān)參數(shù)待定系數(shù)法求雙曲線方程的常用方法3個(gè)關(guān)注點(diǎn)雙曲線幾何性質(zhì)的關(guān)注點(diǎn)雙曲線的幾何性質(zhì)可從以下三點(diǎn)關(guān)注：(1)“六點(diǎn)”：兩焦點(diǎn)、兩頂點(diǎn)、兩虛軸端點(diǎn)；(2)“四線”：兩對(duì)稱軸(實(shí)、虛軸)、兩漸近線；(3)“兩形”：中心、頂點(diǎn)、虛軸端點(diǎn)構(gòu)成的三角形；雙曲線上的一點(diǎn)(不包括頂點(diǎn))與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形3個(gè)防范雙曲線問題的三個(gè)易混點(diǎn)(1)區(qū)分雙曲線中的a，b，c大小關(guān)系與橢圓中a，b，c大小關(guān)系，在雙曲線中c2a2b2，而在橢圓中a2b2c2.(2)雙曲線的離心率e(1，)，而橢圓的離心率e(0,1)(3)雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程是yx，1(a>0，b>0)的漸近線方程是yx.