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【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué)北師大版一輪訓(xùn)練:第2篇 第3講 函數(shù)的奇偶性

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【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué)北師大版一輪訓(xùn)練:第2篇 第3講 函數(shù)的奇偶性

高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第3講 函數(shù)的奇偶性 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí):40分鐘) 一、選擇題 1.(20xx渭南模擬)下列函數(shù)中既是偶函數(shù),又在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的函數(shù)是(  ). A.y=x3  B.y=|x|+1 C.y=-x2+1  D.y=2x 解析 因?yàn)锳是奇函數(shù),所以不成立.C在(0,+∞)上單調(diào)遞減,不成立,D為非奇非偶函數(shù),不成立,所以選B. 答案 B 2.(20xx咸陽(yáng)二模)若函數(shù)f(x)=是奇函數(shù),則a的值為(  ). A.0  B.1  C.2  D.4 解析 由f(-1)=-f(1),得=, ∴(-1+a)2=(1+a)2解得a=0. 答案 A 3.(20xx上饒模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0且a≠1),若g(2)=a,則f(2)=(  ). A.2  B.  C.  D.a(chǎn)2 解析 依題意知f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x)=a-x-ax+2,聯(lián)立f(x)+g(x)=ax-a-x+2,解得g(x)=2,f(x)=ax-a-x,故a=2,f(2)=22-2-2=4-=. 答案 C 4.(20xx重慶卷)已知函數(shù)f(x)=ax3+bsin x+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,則f(lg(lg 2))=(  ). A.-5  B.-1  C.3  D.4 解析 ∵f(x)=ax3+bsin x+4,① ∴f(-x)=a(-x)3+bsin(-x)+4, 即f(-x)=-ax3-bsin x+4,② ①+②得f(x)+f(-x)=8,③ 又∵lg(log210)=lg=lg(lg 2)-1=-lg(lg 2), ∴f(lg(log210))=f(-lg(lg 2))=5, 又由③式知f(-lg(lg 2))+f(lg(lg 2))=8, ∴5+f(lg(lg 2))=8,∴f(lg(lg 2))=3. 答案 C 5.函數(shù)f(x)是周期為4的偶函數(shù),當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=x-1,則不等式xf(x)>0在[-1,3]上的解集為(  ). A.(1,3)  B.(-1,1) C.(-1,0)∪(1,3)  D.(-1,0)∪(0,1) 解析 f(x)的圖像如圖. 當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),由xf(x)>0,得x∈(-1,0); 當(dāng)x∈(0,1)時(shí),由xf(x)>0,得x∈?; 當(dāng)x∈(1,3)時(shí),由xf(x)>0,得x∈(1,3). ∴x∈(-1,0)∪(1,3),故選C. 答案 C 二、填空題 6.(20xx臨川二中)f(x)為奇函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=log2(1-x),則f(3)=________. 解析 f(3)=-f(-3)=-log24=-2. 答案?。? 7.(20xx青島二模)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足f(x+2)=f(x)對(duì)任意x∈R成立,當(dāng)x∈(-1,0)時(shí)f(x)=2x,則f=________. 解析 因?yàn)閒(x+2)=f(x),故f=f=-f=1. 答案 1 8.設(shè)定義在[-2,2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減,若f(1-m)<f(m),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________. 解析 ∵f(x)是偶函數(shù),∴f(-x)=f(x)=f(|x|). ∴不等式f(1-m)<f(m)?f(|1-m|)<f(|m|). 又當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)是減函數(shù). ∴解得-1≤m<. 答案  三、解答題 9.f(x)為R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-2x2+3x+1,求f(x)的解析式. 解 當(dāng)x<0時(shí), -x>0,則 f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1. 由于f(x)是奇函數(shù),故f(x)=-f(-x), 所以當(dāng)x<0時(shí),f(x)=2x2+3x-1. 因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù),故f(0)=0. 綜上可得f(x)的解析式為f(x)= 10.設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的周期函數(shù),最小正周期為2,且f(1+x)=f(1-x),當(dāng)-1≤x≤0時(shí),f(x)=-x. (1)判定f(x)的奇偶性; (2)試求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上的表達(dá)式. 解 (1)∵f(1+x)=f(1-x), ∴f(-x)=f(2+x). 又f(x+2)=f(x),∴f(-x)=f(x), ∴f(x)是偶函數(shù). (2)當(dāng)x∈[0,1]時(shí),-x∈[-1,0], 則f(x)=f(-x)=x; 進(jìn)而當(dāng)1≤x≤2時(shí),-1≤x-2≤0, f(x)=f(x-2)=-(x-2)=-x+2. 故f(x)= 能力提升題組 (建議用時(shí):25分鐘) 一、選擇題 1.(20xx吉安模擬)已知偶函數(shù)f(x)對(duì)任意x∈R都有f(x-2)=-f(x),且當(dāng)x∈[-1,0]時(shí)f(x)=2x,則f(2 013)=(  ). A.1  B.-1  C.  D.- 解析 由f(x-2)=-f(x)得f(x-4)=f(x),所以函數(shù)的周期是4,故f(2 013)=f(4503+1)=f(1)=f(-1)=2-1=. 答案 C 2.(20xx榆林模擬)已知函數(shù)f(x+1)是偶函數(shù),當(dāng)1<x1<x2時(shí),[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0恒成立,設(shè)a=f,b=f(2),c=f(3),則a,b,c的大小關(guān)系為(  ). A.b<a<c  B.c<b<a C.b<c<a  D.a(chǎn)<b<c 解析 ∵f(x+1)是偶函數(shù),∴f(x+1)=f(-x+1), ∴y=f(x)關(guān)于x=1對(duì)稱.又1<x1<x2, [f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0, 知y=f(x)在[1,+∞)是增函數(shù),又f=f,且2<<3,∴f(2)<f<f(3),即b<a<c.故選A. 答案 A 二、填空題 3.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且對(duì)任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=1-x,則: ①2是函數(shù)f(x)的周期; ②函數(shù)f(x)在(1,2)上遞減,在(2,3)上遞增; ③函數(shù)f(x)的最大值是1,最小值是0; ④當(dāng)x∈(3,4)時(shí),f(x)=x-3. 其中所有正確命題的序號(hào)是________. 解析 由已知條件:f(x+2)=f(x),則y=f(x)是以2為周期的周期函數(shù),①正確;當(dāng)-1≤x≤0時(shí)0≤-x≤1, f(x)=f(-x)=1+x, 函數(shù)y=f(x)的圖像如圖所示: 當(dāng)3<x<4時(shí),-1<x-4<0, f(x)=f(x-4)=x-3,因此②④正確,③不正確. 答案 ①②④ 三、解答題 4.已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在閉區(qū)間[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0. (1)試判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性; (2)試求方程f(x)=0在閉區(qū)間[-2 014,2 014]上根的個(gè)數(shù),并證明你的結(jié)論. 解 (1)若y=f(x)為偶函數(shù),則f(-x)=f[2-(x+2)]=f[2+(x+2)]=f(4+x)=f(x), ∴f(7)=f(3)=0,這與f(x)在閉區(qū)間[0,7]上只有f(1)=f(3)=0矛盾;因此f(x)不是偶函數(shù). 若y=f(x)為奇函數(shù),則f(0)=-f(0), ∴f(0)=0,這與f(x)在閉區(qū)間[0,7]上只有f(1)=f(3)=0矛盾;因此f(x)不是奇函數(shù). 綜上可知:函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù). (2)由?? f(4-x)=f(14-x)?f(x)=f(x+10), 從而知函數(shù)y=f(x)的周期T=10. 由f(3)=f(1)=0,得f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0. 故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有兩個(gè)解,從而可知函數(shù)y=f(x)在[0,2 014]上有404個(gè)解,在[-2 014,0]上有402個(gè)解,所以函數(shù)y=f(x)在[-2 014,2 014]上共有806個(gè)解.

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