高考數學精品復習資料 2019.51應用數學歸納法證明凸n邊形的對角線條數f(n)n(n3)(n3)證明：當n3時，三角形沒有對角線，f(3)0，又f(3)×3×(33)0，命題成立假設當nk(k3)時命題成立，即凸k邊形A1A2Ak有f(k)k(k3)條對角線，再加一個頂點Ak1，構成凸k1邊形，則增加了k2條對角線，又原來的邊A1Ak變成了對角線，故對角線增加了k1條，即凸k1邊形有f(k1)k(k3)k1(k23k2k2)(k2k2)(k1)(k1)3條對角線，可知當nk1時，命題成立，綜合可知命題對于n3的自然數n都成立2是否存在一個等差數列an，使得對任何正整數n，等式a12a23a3nann(n1)(n2)都成立，并證明你的結論解析：將n1,2,3分別代入等式得方程組：解得a16，a29，a312，設等差數列an的公差為d，則d3，從而an3n3.故存在一個等差數列an3n3，使得當n1,2,3時，等式成立下面用數學歸納法證明結論成立當n1時，結論顯然成立假設nk(k1，且kN*)時，等式成立，即a12a23a3kakk(k1)(k2)那么當nk1時，a12a23a3kak(k1)ak1k(k1)(k2)(k1)3(k1)3(k1)(k22k3k6)(k1)(k2)(k3)(k1)(k1)1(k1)2當nk1時，結論也成立由知存在一個等差數列an3n3，使得對任何正整數n，等式a12a23a3nann(n1)(n2)都成立3已知數列an，an0，a10，aan11a.求證：當nN*時，an<an1.證明：(1)當n1時，因為a2是方程x2x10的正根，所以a1<a2.(2)假設當nk(kN*，k1)時，0ak<ak1，因為aa(aak21)(aak11)(ak2ak1)(ak2ak11)>0，所以ak1<ak2，即當nk1時，an<an1也成立根據(1)和(2)，可知an<an1對任意nN*都成立4已知a>0，b>0，n>1，nN*.用數學歸納法證明：()n.證明：(1)當n2時，左邊右邊()2()20，不等式成立(2)假設當nk(kN*，k>1)時，不等式成立，即()k.因為a>0，b>0，k>1，kN*，所以(ak1bk1)(akbabk)(ab)·(akbk)0，于是ak1bk1akbabk.當nk1時，()k1()k··，即當nk1時，不等式也成立綜合(1)，(2)知，對于a>0，b>0，n>1， nN*，不等式()n總成立