高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 1．甲、乙兩隊在一次對抗賽的某一輪中有3個搶答題，比賽規(guī)定：對于每一個題，沒有搶到題的隊伍得0分，搶到題并回答正確的得1分，搶到題但回答錯誤的扣1分(即得－1分)；若X是甲隊在該輪比賽獲勝時的得分 (分數(shù)高者勝)，求X的所有可能取值． 解析：X＝－1，甲搶到一題但答錯了． X＝0，甲沒搶到題，或甲搶到2題，但答時一對一錯． X＝1時，甲搶到1題且答對或甲搶到3題，且1錯2對． X＝2時，甲搶到2題均答對． X＝3時，甲搶到3題均答對． 所以X的可能取值為：－1,0,1,2,3. 2．一個袋中有1個白球和4個黑球，每次從中任取一個球，每次取出的黑球不再放回去，直到取得白球為止，求取球次數(shù)的概率分布． 解析：設取球次數(shù)為ξ，則ξ的可能取值為1,2,3,4,5， P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝， P(ξ＝5)＝＝， ∴隨機變量ξ的概率分布為： ξ 1 2 3 4 5 P 3.若離散型隨機變量X的概率分布為 X 0 1 P 9c2－c 3－8c 試求出常數(shù)c，并寫出X的概率分布． 解析：由題意即 解之得c＝，從而X的概率分布為： X 0 1 P 4.某校組織一次冬令營活動，有8名同學參加，其中有5名男同學，3名女同學，為了活動的需要，要從這8名同學中隨機抽取3名同學去執(zhí)行一項特殊任務，記其中有X名男同學． (1)求X的概率分布； (2)求去執(zhí)行任務的同學中有男有女的概率． 解析：(1)X的可能取值為0,1,2,3. 根據(jù)公式P(X＝m)＝算出其相應的概率，即X的概率分布為 X 0 1 2 3 P (2)去執(zhí)行任務的同學中有男有女的概率為 P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝. 5．設S是不等式x2－x－6≤0的解集，整數(shù)m，n∈S. (1)記“使得m＋n＝0成立的有序數(shù)組(m，n)”為事件A，試列舉A包含的基本事件； (2)設ξ＝m2，求ξ的概率分布及其數(shù)學期望Eξ. 解析：(1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3， 即S＝{x|－2≤x≤3}． 由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件為(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)． (2)由于m的所有不同取值為－2，－1,0,1,2,3， 所以ξ＝m2的所有不同取值為0,1,4,9， 且有P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝9)＝. 故ξ的概率分布為 ξ 0 1 4 9 P 所以 Eξ＝0×＋1×＋4×＋9×＝. 6．某迷宮有三個通道，進入迷宮的每個人都要經(jīng)過一扇智能門．首次到達此門，系統(tǒng)會隨機(即等可能)為你打開一個通道．若是1號通道，則需要1小時走出迷宮；若是2號、3號通道，則分別需要2小時、3小時返回智能門，再次到達智能門時，系統(tǒng)會隨機打開一個你未到過的通道，直至走出迷宮為止．令ξ表示走出迷宮所需的時間． (1)求ξ的概率分布； (2)求ξ的數(shù)學期望． 解析：(1)ξ的所有可能取值為1,3,4,6. P(ξ＝1)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝6)＝， 所以ξ的概率分布為 ξ 1 3 4 6 P (2)E(ξ)＝1×＋3×＋4×＋6×＝(小時)． 7．一個袋中裝有若干個大小相同的黑球、白球和紅球，已知從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是. (1)若袋中共有10個球； ①求白球的個數(shù)； ②從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為X，求隨機變量X的概率分布． (2)求證：從袋中任意摸出2個球，至少得到1個黑球的概率不大于.并指出袋中哪種顏色的球的個數(shù)最少． 解析：(1)①記“從袋中任意摸出兩個球，至少得到一個白球”為事件A，設袋中白球的個數(shù)為X，則 P(A)＝1－＝，得到X＝5. 故白球有5個． ②隨機變量X的取值為0,1,2,3， 其中P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. ∴X的概率分布是 X 0 1 2 3 P (2)證明：設袋中有n個球，其中y個黑球， 由題意得y＝n，所以2y＜n,2y≤n－1，故≤. 記“從袋中任意摸出兩個球，至少有1個黑球”為事件B，則P(B)＝＋×≤＋×＝. 所以白球的個數(shù)比黑球多，白球個數(shù)多于n，紅球的個數(shù)少于.故袋中紅球個數(shù)最少． 8．在一個盒子中，放有標號分別為1,2,3,4的四個小球．現(xiàn)從這個盒子中，有放回地先后摸出兩個小球，它們的標號分別為x、y，記X＝|x－y|. (1)求隨機變量X的概率分布； (2)求隨機變量X的數(shù)學期望； (3)設“函數(shù)f(x)＝nx2－Xx－1(x∈N＋)在區(qū)間(2,3)上有且只有一個零點”為事件A，求事件A發(fā)生的概率． 解析：(1)X的所有取值為0,1,2,3， ∵X＝0有，四種情況． X＝1時，有 六種情況． X＝2時，有四種情況． X＝3時，有兩種情況． ∴P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 則隨機變量X的概率分布為： X 0 1 2 3 P (2)數(shù)學期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (3)∵函數(shù)f(x)＝nx2－Xx－1在(2,3)有且只有一個零點， ∴①當f(2)＝0時，X＝2n－，舍去． ②當f(3)＝0時，X＝3n－，舍去． ③當f(2)f(3)＝(4n－1－2X)(9n－1－3X)＜0時， ∴2n－＜X＜3n－. 當n＝1時，＜X＜， ∴X＝2. 當n≥2且n∈N＋時， X＞2n－≥， ∴當n＝1時，P(A)＝P(X＝2)＝. 當n≥2且n∈N＋時，P(A)＝0. 故當n＝1時，事件A發(fā)生的概率為； 當n≥2時，事件A發(fā)生的概率為0.