高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 第五篇　數(shù)　列 第1講　數(shù)列的概念與簡單表示法 基礎鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、選擇題 1．在數(shù)列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，則a6的值是 (　　)． A．－3　　 B．－11　　 C．－5　　 D．19 解析　由an＋1＝an＋2＋an，得an＋2＝an＋1－an， ∴a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－2， a5＝a4－a3＝－5，a6＝a5－a4＝－3. 答案　A 2．若Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＝，則＝ (　　)． A.　　 B．　　 C.　　 D．30 解析　當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝，∴＝5(5＋1)＝30. 答案　D 3．(20xx西安模擬)兩旅客坐火車外出旅游，希望座位連在一起，且僅有一個靠窗，已知火車上的座位的排法如表格所示，則下列座位號碼符合要求的是 (　　). 窗口 1 2 過道 3 4 5 窗口 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … A.48,49　　 B．62,63 C．84,85　　 D．75,76 解析　根據(jù)座位排法可知，做在右窗口的座位號碼應為5的倍數(shù)，所以C符合要求． 答案　C 4．(20xx貴陽模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2n2－1，則a3＝(　　)． A．－10　　 B．6　　 C．10　　 D．14 解析　a3＝S3－S2＝232－1－(222－1)＝10. 答案　C 5．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N＋)，則數(shù)列{an}的通項公式是 (　　)． A．2n－1　　 B．n－1 C．n2　　 D．n 解析　法一　(構造法)由已知整理得(n＋1)an＝nan＋1， ∴＝，∴數(shù)列是常數(shù)列． 且＝＝1，∴an＝n. 法二　(累乘法)：n≥2時，＝，＝. … ＝， ＝， 兩邊分別相乘得＝n， 又因為a1＝1，∴an＝n. 答案　D 二、填空題 6．(20xx宜春模擬)數(shù)列{an}的通項公式an＝－n2＋10n＋11，則該數(shù)列前________項的和最大． 解析　易知a1＝20>0，顯然要想使和最大，則應把所有的非負項求和即可，令an≥0，則－n2＋10n＋11≥0，∴－1≤n≤11，可見，當n＝11時，a11＝0，故a10是最后一個正項，a11＝0，故前10或11項和最大． 答案　10或11 7．(20xx廣州模擬)設數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，則數(shù)列{an}的通項公式為________． 解析　∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，則當n≥2時，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，兩式左右兩邊分別相減得3n－1an＝，∴an＝(n≥2)． 由題意知，a1＝，符合上式，∴an＝(n∈N＋)． 答案　an＝ 8．(20xx淄博二模)在如圖所示的數(shù)陣中，第9行的第2個數(shù)為________． 解析　每行的第二個數(shù)構成一個數(shù)列{an}，由題意知a2＝3，a3＝6，a4＝11，a5＝18，所以a3－a2＝3，a4－a3＝5，a5－a4＝7，…， an－an－1＝2(n－1)－1＝2n－3，等式兩邊同時相加得 an－a2＝＝n2－2n， 所以an＝n2－2n＋a2＝n2－2n＋3(n≥2)，所以a9＝92－29＋3＝66. 答案　66 三、解答題 9．數(shù)列{an}的通項公式是an＝n2－7n＋6. (1)這個數(shù)列的第4項是多少？ (2)150是不是這個數(shù)列的項？若是這個數(shù)列的項，它是第幾項？ (3)該數(shù)列從第幾項開始各項都是正數(shù)？ 解　(1)當n＝4時，a4＝42－47＋6＝－6. (2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150， 解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是這個數(shù)列的第16項． (3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)． ∴從第7項起各項都是正數(shù)． 10．(20xx延安模擬改編)已知函數(shù)f(x)＝2x－2－x，數(shù)列{an}滿足f(log2an)＝－2n. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)證明：數(shù)列{an}是遞減數(shù)列． (1)解　∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n， ∴2log2an－2－log2an＝－2n，∴an－＝－2n. ∴a＋2nan－1＝0，解得an＝－n. ∵an＞0，∴an＝－n. (2)證明?。? ＝＜1. ∵an＞0，∴aa＋1＜an，∴數(shù)列{an}是遞減數(shù)列． 能力提升題組 (建議用時：25分鐘) 一、選擇題 1．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝，則滿足an＋1＜an的n的取值為 (　　)． A．3　　 B．4　　 C．5　　 D．6 解析　由an＋1＜an，得an＋1－an＝－＝＜0，解得＜n＜，又n∈N＋，∴n＝5. 答案　C 2．(20xx湖州模擬)設函數(shù)f(x)＝數(shù)列{an}滿足an＝f(n)，n∈N＋，且數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是 (　　)． A.　　 B． C．(1,3)　　 D．(2,3) 解析　∵數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，又an＝f(n)(n∈N＋)， ∴?2<a<3. 答案　D 二、填空題 3．在一個數(shù)列中，如果任意n∈N＋，都有anan＋1an＋2＝k(k為常數(shù))，那么這個數(shù)列叫作等積數(shù)列，k叫作這個數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，公積為8，則a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________. 解析　依題意得數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4(1＋2＋4)＝28. 答案　28 三、解答題 4．設數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N＋. (1)設bn＝Sn－3n，求數(shù)列{bn}的通項公式； (2)若an＋1≥an，n∈N＋，求a的取值范圍． 解　(1)依題意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n， 即Sn＋1＝2Sn＋3n， 由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)， 又S1－31＝a－3(a≠3)，故數(shù)列{Sn－3n}是首項為a－3，公比為2的等比數(shù)列， 因此，所求通項公式為bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N＋. (2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N＋， 于是，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝23n－1＋(a－3)2n－2， 當n＝1時，a1＝a不適合上式， 故an＝ an＋1－an＝43n－1＋(a－3)2n－2 ＝2n－2， 當n≥2時，an＋1≥an?12n－2＋a－3≥0?a≥－9. 又a2＝a1＋3>a1. 綜上，所求的a的取值范圍是[－9，＋∞)．