高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 第八章第八章 平面解析幾何平面解析幾何 深研高考 備考導航 為教師備課、授課提供豐富教學資源 五年考情 考點 直線的傾斜角與斜率、直線的方程、距離 全國卷 T4 全國卷 T10 全國卷 T20 全國卷 T10 全國卷 T20 圓的方程、直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系 全國卷 T20 全國卷 T16 全國卷 T14 全國卷 T7 全國卷 T16 全國卷 T20 全國卷 T11 全國卷 T20 曲線與方程 全國卷 T20 全國卷 T20 橢圓的標準方程及其性質(zhì) 全國卷 T20 全國卷 T20 全國卷 T14 全國卷 T20 全國卷 T20 全國卷 T20 全國卷 T10 全國卷 T20 全國卷 T20 全國卷 T4 雙曲線的標準全國卷全國卷全國卷全國卷全國卷 T8 方程及其性質(zhì) T15 全國卷 T11 T5 全國卷 T11 T4 T4 拋物線的標準方程及其性質(zhì) 全國卷 T10 全國卷 T20 全國卷 T20 全國卷 T1 全國卷 T100 全國卷 T11 全國卷 T20 直線與圓錐曲線的位置關系 全國卷 T20 全國卷 T20 全國卷 T20 全國卷 T20 全國卷 T20 全國卷 T20 全國卷 T20 圓錐曲線的綜合應用 全國卷 T20 全國卷 T20 全國卷 T20 重點關注 綜合近 5 年全國卷高考試題，我們發(fā)現(xiàn)高考命題在本章呈現(xiàn)以下規(guī)律： 1從考查題型看：一般有 2 個客觀題，1 個解答題；從考查分值看，在 22分左右基礎題主要考查對基礎知識和基本方法的掌握程度，中檔題主要考查運算能力和邏輯推理能力，難題考查綜合應用能力 2從考查知識點看：主要考查直線的方程、圓的方程、直線與圓、圓與圓的位置關系、曲線與方程、圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)的定義、標準方程及性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關系、圓錐曲線的綜合應用突出對數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想以及探究、創(chuàng)新能力的考查 3從命題思路上看： (1)直線方程與其他知識相結合考查 (2)圓的方程的求解以及直線與圓的位置關系，弦長以及參數(shù)的求解 (3)對圓錐曲線的考查，大多以圓錐曲線的性質(zhì)為依托，結合運算推理來解決，要求能夠比較熟練地運用性質(zhì)進行有關數(shù)值、代數(shù)式的運算及推理 (4)對于直線與圓錐曲線的位置關系的考查，大多數(shù)是將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立求解，還有求三角形面積的值、線段的長度、直線方程、參數(shù)值，以及定點、定值、最值以及探究性問題等 導學心語 1抓主線，構建知識體系：對直線、圓及圓錐曲線的基本定義、標準方程和相關性質(zhì)應熟練掌握， 如對直線與圓錐曲線的位置關系的解法及解題思想應靈活掌握 2依托基礎知識，強化思想方法訓練：直線、圓及圓錐曲線是數(shù)與形結合的完美載體，要熟練運用坐標法和“數(shù)形結合”思想，另外，函數(shù)與方程的思想是本章學習的另一個重點，應加強運用 3加強縱橫聯(lián)系，強化綜合應用意識：在知識的交匯處命題，已成為高考的一大亮點， 尤其應加強該部分知識與向量、 函數(shù)、 方程及不等式間的內(nèi)在聯(lián)系，同時解題中立足通性、通法、淡化技巧以達到優(yōu)化解題思路，簡化解題過程的目的 4突出重點，熱點考查內(nèi)容的復習：如弦長問題，對稱問題，定值(點)問題、范圍問題，開放和探索性問題及向量與解析幾何的綜合應用問題等等 第一節(jié)第一節(jié) 直線的傾斜角與斜率、直線的方程直線的傾斜角與斜率、直線的方程 考綱傳真 1.在平面直角坐標系中，結合具體圖形，確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.3.掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關系 1直線的傾斜角與斜率 (1)直線的傾斜角 定義：在平面直角坐標系中，對于一條與 x 軸相交的直線 l，把 x 軸(正方向)按逆時針方向繞著交點旋轉(zhuǎn)到和直線l重合所成的角， 叫作直線l的傾斜角 當直線 l 與 x 軸平行時，它的傾斜角為 0 . 傾斜角的范圍為 0 180 . (2)直線的斜率 定義： 一條直線的傾斜角 的正切值叫作這條直線的斜率， 斜率常用小寫字母 k 表示，即 ktan_，傾斜角是 90 的直線斜率不存在 斜率公式：經(jīng)過兩點 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直線的斜率公式為 ky2y1x2x1. 2直線方程的五種形式 名稱 方程 適用范圍 點斜式 yy0k(xx0) 不含直線 xx0 斜截式 ykxb 不含垂直于 x 軸的直線 兩點式 yy1y2y1xx1x2x1 不含直線 xx1(x1x2)和直線 yy1(y1y2) 截距式 xayb1 不含垂直于坐標軸和過原點的直線 一般式 AxByC0，A2B20 平面內(nèi)所有直線都適用 1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”) (1)根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置( ) (2)坐標平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率( ) (3)過定點 P0(x0，y0)的直線都可用方程 yy0k(xx0)表示( ) (4)經(jīng)過任意兩個不同的點 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)的直線都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2(教材改編)若直線 l 與直線 y1，x7 分別交于點 P，Q，且線段 PQ 的中點坐標為(1，1)，則直線 l 的斜率為( ) A.13 B13 C32 D.23 B 設 P(x,1)，Q(7，y)，則x721，y121， x5，y3，即 P(5,1)，Q(7，3)， 故直線 l 的斜率 k317513. 3(20 xx 福建高考)已知直線 l 過圓 x2(y3)24 的圓心，且與直線 xy10 垂直，則直線 l 的方程是( ) Axy20 Bxy20 Cxy30 Dxy30 D 圓 x2(y3)24 的圓心為點(0,3)， 又因為直線 l 與直線 xy10 垂直，所以直線 l 的斜率 k1.由點斜式得直線 l：y3x0，化簡得 xy30. 4 直線 l： axy2a0 在 x 軸和 y 軸上的截距相等， 則實數(shù) a_. 【導學號：57962370】 1 或2 令 x0，則 l 在 y 軸上的截距為 2a；令 y0，得直線 l 在 x 軸上的截距為 12a. 依題意 2a12a，解得 a1 或 a2. 5(20 xx 西安模擬)過點 P(2,3)，并且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)的直線 l 的方程為_ 3x2y0 或 xy10 當直線過原點時，方程為 y32x，即 3x2y0. 當直線 l 不過原點時，設直線方程為xaya1. 將 P(2,3)代入方程，得 a1， 所以直線 l 的方程為 xy10. 綜上，所求直線 l 的方程為 3x2y0 或 xy10. 直線的傾斜角和斜率 (1)直線 xycos 10(R)的傾斜角 的取值范圍是_ (2)(20 xx 鄭州模擬)若直線 l 過點 P(3,2)，且與以 A(2，3)，B(3,0)為端點的線段相交，則直線 l 的斜率的取值范圍是_ (1)4，34 (2)5，13 (1)當 k2(kZ)時，cos 0，直線為 x10，其傾斜角為2. 當 k2(kZ)時，直線 l 的斜率為 tan 1cos (，11，)， 所以直線 l 的傾斜角的取值范圍是4，22，34. 綜上， 的取值范圍是4，34. (2)因為P(3,2)， A(2， 3)， B(3,0)， 則kPA32235， kPB023313. 如圖所示，當直線 l 與線段 AB 相交時，直線 l 的斜率的取值范圍為5，13. 規(guī)律方法 1.(1)任一直線都有傾斜角，但斜率不一定都存在；直線傾斜角的范圍是0，)，斜率的取值范圍是 R. (2)正切函數(shù)在0，)上不單調(diào)，借助圖像或單位圓數(shù)形結合，確定傾斜角 的取值范圍 2第(2)問求解要注意兩點： (1)斜率公式的正確計算； (2)數(shù)形結合寫出斜率的范圍，切莫誤認為 k5 或 k13. 變式訓練 1 (1)(20 xx 惠州質(zhì)檢)直線 l 經(jīng)過點 A(1,2)， 在 x 軸上的截距的取值范圍是(3,3)，則其斜率 k 的取值范圍是( ) 【導學號：57962371】 A1k15 Bk1 或 k12 Ck15或 k1 Dk12或 k1 (2)直線 l 經(jīng)過 A(3,1)，B(2，m2)(mR)兩點，則直線 l 的傾斜角 的取值范圍是_ (1)D (2) 4，2 (1)設直線的斜率為 k，則直線方程為 y2k(x1)，直線在 x 軸上的截距為 12k. 令312k3，解不等式得 k1 或 k12. (2)直線 l 的斜率 k1m2321m21，所以 ktan 1. 又 ytan 在0，2上是增函數(shù)，因此42. 求直線的方程 (1)過點 A(1,3)，斜率是直線 y4x 的斜率的13的直線方程為_ (2)若 A(1，2)，B(5,6)，直線 l 經(jīng)過 AB 的中點 M 且在兩坐標軸上的截距相等，求直線 l 的方程 (1)4x3y130 設所求直線的斜率為 k，依題意 k41343. 又直線經(jīng)過點 A(1,3)，因此所求直線方程為 y343(x1)，即 4x3y130. (2)法一：設直線 l 在 x 軸，y 軸上的截距均為 a. 由題意得 M(3,2). 2 分 若 a0，即 l 過點(0,0)和(3,2)， 所以直線 l 的方程為 y23x，即 2x3y0. 5 分 若 a0，設直線 l 的方程為xaya1， 因為直線 l 過點 M(3,2)，所以3a2a1， 8 分 所以 a5，此時直線 l 的方程為x5y51，即 xy50. 綜上，直線 l 的方程為 2x3y0 或 xy50. 12 分 法二：易知 M(3,2)，由題意知所求直線 l 的斜率 k 存在且 k0，則直線 l 的方程為 y2k(x3). 2 分 令 y0，得 x32k；令 x0，得 y23k. 5 分 所以 32k23k，解得 k1 或 k23. 8 分 所以直線 l 的方程為 y2(x3)或 y223(x3)， 即 xy50 或 2x3y0. 12 分 規(guī)律方法 1.截距可正、可負、可為 0，因此在解與截距有關的問題時，一定要注意“截距為 0”的情況，以防漏解 2求直線方程的方法主要有兩種：直接法與待定系數(shù)法運用待定系數(shù)法要先設出直線方程，再根據(jù)條件求出待定系數(shù)利用此方法，注意各種形式的適用條件，選擇適當?shù)闹本€方程的形式至關重要 變式訓練 2 求過點 A(1， 3)且傾斜角等于直線 y3x 的傾斜角的 2 倍的直線方程 解 由已知設直線 y3x 的傾斜角為 ， 2 分 則所求直線的傾斜角為 2. 5 分 tan 3， tan 22tan 1tan234. 8 分 又直線經(jīng)過點 A(1，3)， 因此所求直線方程為 y334(x1)，即 3x4y150. 12 分 直線方程的綜合應用 已知直線 l 過點 M(1,1)，且與 x 軸，y 軸的正半軸分別相交于 A，B兩點，O 為坐標原點求： (1)當|OA|OB|取得最小值時，直線 l 的方程； (2)當|MA|2|MB|2取得最小值時，直線 l 的方程 解 (1)設 A(a,0)，B(0，b)(a0，b0) 設直線 l 的方程為xayb1，則1a1b1， 所以|OA|OB|ab(ab)1a1b2baab22baab4， 3 分 當且僅當 ab2 時取等號，此時直線 l 的方程為 xy20. 5 分 (2)設直線 l 的斜率為 k，則 k0，直線 l 的方程為 y1k(x1)， 則 A11k，0 ，B(0,1k)， 7 分 所以|MA|2|MB|2111k21212(11k)22k21k222k21k24. 10 分 當且僅當 k21k2，即 k1 時，上式等號成立 所以當|MA|2|MB|2取得最小值時，直線 l 的方程為 xy20. 12 分 規(guī)律方法 1.求解本題的關鍵是找出|OA|OB|與|MA|2|MB|2取得最小值的求法，恰當設出方程的形式，利用均值不等式求解，但一定要注意等號成立的條件 2利用直線方程解決問題，為簡化運算可靈活選用直線方程的形式一般地，已知一點通常選擇點斜式；已知斜率選擇斜截式或點斜式；已知截距選擇截距式 變式訓練 3 已知直線 l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，當 0a2 時，直線 l1，l2與兩坐標軸正半軸圍成一個四邊形，則當 a 為何值時，四邊形的面積最小？ 解 由 ax2y2a4，2xa2y2a24，得 xy2， 2 分 直線 l1與 l2交于點 A(2,2)(如圖) 易知|OB|a22，|OC|2a， 5 分 則 S四邊形OBACSAOBSAOC122(a22)122(2a)a2a4a122154，a(0,2)， 10 分 當 a12時，四邊形 OBAC 的面積最小. 12 分 思想與方法 1求直線方程的兩種常見方法： (1)直接法：根據(jù)已知條件選擇恰當?shù)闹本€方程形式，直接求出直線方程 (2)待定系數(shù)法：先根據(jù)已知條件設出直線方程，再根據(jù)已知條件構造關于待定系數(shù)的方程(組)，求出待定系數(shù)，從而求出直線方程 25 種形式的直線方程都有不同的適用條件，當條件不具備時，要注意分類討論思想的應用 易錯與防范 1求直線方程時要注意判斷直線斜率是否存在；每條直線都有傾斜角，但不一定每條直線都存在斜率 2根據(jù)斜率求傾斜角，一是要注意傾斜角的范圍；二是要考慮正切函數(shù)的單調(diào)性 3應用截距式方程時要注意討論直線是否過原點，截距是否為 0. 4由一般式 AxByC0 確定斜率 k 時，易忽視判定 B 是否為 0.當 B0時，k 不存在；當 B0 時，kAB.