起高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列章末知識整合 新人教 A 版必修 5一、等差數(shù)列1定義：an1and(nN*)或anan1d(nN*，n2)2通項公式：ana1(n1)d(nN*)3如果數(shù)列an的通項公式是anAnB(A、B是與n無關(guān)的常數(shù))，那么數(shù)列an一定是等差數(shù)列4等差數(shù)列前n項和公式：Snn（a1an）2，Snna1n（n1）2d.5如果數(shù)列an的通項公式是SnAn2Bn(A、B是與n無關(guān)的常數(shù))，那么數(shù)列an一定是等差數(shù)列6.a、b、c成等差數(shù)列anb為a、c的等差中項2bac.7在等差數(shù)列an中，anam(nm)d(nN*)8在等差數(shù)列an中，由mnpqamanapaq，若mn2paman2ap.9.在等差數(shù)列an中，Sk，S2kSk，S3kS2k構(gòu)成等差數(shù)列2(S2kSk)Sk(S3kS2k)10已知an 、bn為等差數(shù)列，則anc，can，anbn，ankbn(其中c為常數(shù)，kN*)仍是等差數(shù)列11已知an 為等差數(shù)列，若k1，k2，k3，kn為等差數(shù)列，則ak1，ak2，ak3，akn仍是等差數(shù)列12.若三個數(shù)成等差數(shù)列，則設(shè)這三個數(shù)為ad，a，ad，可簡化計算13證明等差數(shù)列的兩種方法(1)定義：an1and(nN*)(2)等差中項 2anan1an1(nN*，n2)二、等比數(shù)列1定義：an1anq(nN*)或anan1q(nN*，n2)2通項公式：ana1qn1(nN*)3等比數(shù)列前n項和：Sna1anq1qa1（1qn）1q(q1)；Snna1(q1)4a，b，c成等比數(shù)列b為a、c的等比中項b2ac.5在等比數(shù)列an中，anamqnm(nN*)6在等比數(shù)列an中，由mnpqamanapaq，若mn2pamana2p.7.在等比數(shù)列an中，Sk，S2kSk，S3kS2k構(gòu)成等比數(shù)列(S2kSk)2Sk(S3kS2k)(Sk0)8已知an 、bn為等比數(shù)列，則can，anbn，anbn(其中c為不為 0 的常數(shù)，kN*)仍是等比數(shù)列9已知an 為等比數(shù)列，若k1，k2，k3，kn為等差數(shù)列，則ak1，ak2，ak3，akn仍是等比數(shù)列10若三個數(shù)成等比數(shù)列，則設(shè)這三個數(shù)為aq，a，aq，可簡化計算11證明等比數(shù)列的兩種方法(1)利用定義：an1anq或anan1q(nN*，n2)(2)等比中項：a2nan1an1(nN*，n2)三、通項公式的求法數(shù)列的通項公式是數(shù)列的重要內(nèi)容之一， 它把數(shù)列各項的性質(zhì)集于一身 常用的求通項的方法有觀察法、公式法、累加法、累乘法、前n項和作差法、輔助數(shù)列法累加法： 數(shù)列的基本形式為an1anf(n)(nN*)的解析式， 而f(1)f(2)f(n)的和可求出累乘法：數(shù)列的基本形式為an1anf(n)(nN*)的解析關(guān)系，而f(1)f(2)f(n)的積可求出前n項和作差法：利用anS1（n1） ，SnSn1（n2） ，能合則合待定系數(shù)法：數(shù)列有形如an1kanb(k1)的關(guān)系，可用待定系數(shù)法求得(ant)為等比數(shù)列，再求得an.四、特殊數(shù)列的前n項和利用等差、等比數(shù)列求和公式是最基本最重要的方法數(shù)列的求和除記住一些公式外，還應(yīng)注重對通項公式的分析與整理，根據(jù)其特征求和，常用的方法技巧有分組求和法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法等分組求和法：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但如果將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，那么就可以分別求和，再將其合并即可倒序相加法： 這是在推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法， 就是將一個數(shù)列倒過來排列(反序)，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個a1an.錯位相減法： 這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法， 這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項和，其中an、bn分別是等差和等比數(shù)列裂項相消法： 這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用 裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項(通項)分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達(dá)到求和的目的題型 1求數(shù)列的通項公式(一)觀察法就是觀察數(shù)列的特征，橫向看各項之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)，縱向看各項與項數(shù) n 的內(nèi)在聯(lián)系，從而歸納出數(shù)列的通項公式例 1數(shù)列 114，329，5316，7425，的通項公式為()Aan(2n1)n（n1）2Ban(2n1)n（n1）2Can(2n1)n（n1）2Dan4n1（n1）2解析：114114，329329，53165316，an(2n1)n（n1）2.答案：B(二)公式法等差數(shù)列與等比數(shù)列是兩種常見且重要的數(shù)列， 所謂公式法就是先分析后項與前項的差或比是否符合等差、等比數(shù)列的定義，然后用等差、等比數(shù)列的通項公式表示它例 2已知數(shù)列an為無窮數(shù)列，若 an1an12an(n2 且 nN*)，且a24，a68，求通項an.解析：an1an12an，an1，an，an1成等差數(shù)列又n2 且nN*，數(shù)列an為等差數(shù)列，設(shè)首項為a1，公差為d.由a24，a68，可得a13，d1，通項an3(n1)1n2.(三)利用an與Sn的關(guān)系前n項和關(guān)系式有兩種形式：一種是Sn與n的關(guān)系式，記為Snf(n)，它可由公式anS1，n1，SnSn1，n2直接求出通項an，但要注意n1 與n2 兩種情況能否統(tǒng)一；另一種是Sn與an的關(guān)系式，記為f(an，Sn)0，求它的通項公式an.例 3已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且an5Sn3，求數(shù)列an的通項公式解析：當(dāng)n1 時，a15a13，a134，當(dāng)n2 時，an5Sn3，an15Sn13，anan15(SnSn1)即anan15an，anan114，an是首項a134，公比q14的等比數(shù)列ana1qn13414n1(nN*)(四)累加法、累乘法有些數(shù)列， 雖然不是等差數(shù)列或等比數(shù)列， 但是它的后項與前項的差或商具有一定的規(guī)律性，這時，可考慮利用累加或累乘法，結(jié)合等差、等比數(shù)列的知識解決例 4(1)已知a11，an1ann2n，求an；(2)已知數(shù)列an中，a11，anan1n(n2)，求數(shù)列an的通項公式解析：(1)當(dāng)n2 時，ana1a2a1a3a2anan11314253n1n1n（n1）2.而a11 也適合上式故an的通項公式an12n(n1)(nN*)(2)anan1n(n2)，a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，anan1n.將這n1 個等式兩邊分別相加得ana123n，an123nn（n1）2(n2)當(dāng)n1 時，a11（11）21 成立ann（n1）2(nN*)(五)構(gòu)造法有些數(shù)列直觀上不符合以上各種形式，這時，可對其結(jié)構(gòu)進(jìn)行適當(dāng)變形，以利于使用以上各類方法形如已知a1，an1panq(p、q為常數(shù))形式均可用構(gòu)造等比數(shù)列法，即an1xp(anx)，anx為等比數(shù)列，或an2an1p(an1an)，an1an為等比數(shù)列例 5 設(shè)數(shù)列an是首項為 1 的正項數(shù)列，且an1anan1an0(nN*)，求an的通項解析：an1anan1an0.1an11an1.又1a11，1an是首項為 1，公差為 1 的等差數(shù)列，故1ann，an1n(nN*)若數(shù)列an滿足a11，an112an1，求an.分析：根據(jù)遞推公式求出前幾項，再觀察規(guī)律，猜想通項公式，有時比較困難可變換遞推公式，利用構(gòu)造等差或等比數(shù)列的技巧，從而求通項公式解析：方法一an112an1，an212an11，兩式相減得：an2an112(an1an)，令bnan1an(n1，2，3，)，則b1a2a132112，bn112bn，數(shù)列bn是以12為首項，12為公比的等比數(shù)列ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)a1b1b2bn1112112n1112212n1(nN*)方法二設(shè)an1A12(anA)，則an112an12AA，根據(jù)an112an1 可得：12AA1，即A2，an1212(an2)令bnan2，則b1a121，bn112bn，數(shù)列bn是以1 為首項，12為公比的等比數(shù)列bnb1qn1(1)12n1，an2bn212n1(nN*)題型 2數(shù)列求和的方法數(shù)列中求前 n 項和是數(shù)列運算的重要內(nèi)容， 高考題中涉及此部分與通項的綜合問題， 對于等差數(shù)列與等比數(shù)列可依據(jù)公式求其和， 對于某些具有特殊結(jié)構(gòu)的非等差、 等比數(shù)列可轉(zhuǎn)化為利用等差或等比數(shù)列前 n 項和公式能求和的形式， 常用方法有公式法、 分組法、 裂項法、錯位相減法等要對通項進(jìn)行深入研究，找出規(guī)律，確定恰當(dāng)?shù)慕忸}方法例 7等差數(shù)列an中，a13，公差 d2，Sn為前 n 項和，求1S11S21Sn.解析：等差數(shù)列an的首項 a13，公差 d2，前 n 項和 Snna1n（n1）2d3nn（n1）22n22n(nN*)，1Sn1n22n1n（n2）121n1n2 ，1S11S21Sn12(1 13) (1214) (1315) (1n11n1) (1n1n2) 342n32（n1） （n2）.例 8 設(shè)數(shù)列an滿足a13a232a33n1ann3(nN*)(1)求數(shù)列an的通項；(2)設(shè)bnnan，求數(shù)列bn的前n項和Sn.解析：(1)a13a232a33n1ann3，當(dāng)n2 時，a13a232a33n2an1n13，由得 3n1an13，an13n，在中，令n1，得a113，數(shù)列an的通項公式an13n(nN*)(2)bnnann3n，Sn3232333n3n，3Sn32233334n3n1.由得 2Snn3n1(332333n)n3n13（13n）13，Sn（2n1）3n1434.題型 3數(shù)列的應(yīng)用問題例 9(2013廣東卷)設(shè)數(shù)列an的前 n 項和為 Sn.已知 a11，2Snnan113n2n23，nN*.(1)求a2的值；(2)求數(shù)列an的通項公式(3)證明：對一切正整數(shù)n，有1a11a21an74.(1)解析：依題意，2S1a213123，又S1a11，所以a24.(2)解析：當(dāng)n2 時，2Snnan113n3n223n，2Sn1(n1)an13(n1)3(n1)223(n1)，兩式相減得 2annan1(n1)an13(3n23n1)(2n1)23，整理得(n1)annan1n(n1)，即an1n1ann1，又a22a111，故數(shù)列ann是首項為a111，公差為 1 的等差數(shù)列，所以ann1(n1)1n，當(dāng)n1時，上式顯然成立所以ann2(nN*)(3)證明：當(dāng)n1 時，1a1174；當(dāng)n2 時，1a11a21145474；當(dāng)n3 時，1an1n21（n1）n1n11n，此時，1a11a21an1141321421n21141213 1314 1n11n114121n741n74，綜上，對一切正整數(shù)n，有1a11a21an74.例 10 夏季高山上的溫度從山腳起，每升高 100 m，降低 0.7 ，已知山頂處的溫度是 14.8 ，山腳處的溫度是 26 ，問此山相對于山腳處的高度是多少？解析：每升高 100 m 溫度降低 0.7 ，該處溫度的變化是一個等差數(shù)列問題設(shè)山腳溫度為首項a126，山頂溫度為末項an14.8，26(n1)(0.7)14.8，解得n17.此山的高度為(171)1001 600(m)故此山相對于山腳處的高度是 1 600 m.