高考數(shù)學精品復(fù)習資料 2019.5 I I題源探究黃金母題題源探究黃金母題 【例 1】一動圓與圓05622xyx外切，同時與圓091622xyx內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程，并說明它是什么曲線. 設(shè)橢圓方程為：)0( 12222babyax, 27936, 3, 6,122222cabcaa, 動圓圓心的軌跡方程為1273622yx，它表示一個焦點在x軸上的橢圓. IIII考場精彩真題回放考場精彩真題回放 【例 2】 （20 xx 全國乙理 20（1） ）設(shè)圓222150 xyx的圓心為A，直線l過點1,0B且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E. （1）證明EAEB為定值，并寫出點E的軌跡方程. 【解析】【解析】如圖所示，圓A的圓心為1,0A ，半徑4R ， EDCBAyxO 因為/BE AC，所以CEBD.又因為ACAD，所以CEDB， 于是EBDEDB ，所以EBED.故4AEEBAEEDAD為定值. 又2AB ，點E的軌跡是以A，B為焦點，長軸長為 4 的橢圓， 由1c ，2a ，得23b .故點E的軌跡1C的方程為221043xyy. 【例 3】 （20 xx 全國丙卷 20）已知拋物線的焦點為F，平行于x軸的兩條直線分別交C于A，B兩點，交C的準線于P，Q兩點. （1）若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明FQAR； （2）若PQF的面積是ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程. 所以FQBPAR ，所以PRAPQF（等角的余角相等），所以/AR FQ. (2)設(shè)1122( ,), (,)A x yB x y，1(,0)2F，準線為12x ，121122PQFSPQyy，設(shè)直線AB與x 軸交點為N，1212ABFSFN yy， 因為2PQFABFSS， 所以21FN ， 得1Nx ，即(1,0)N設(shè) AB中點為( , )M x y， 由21122222yxyx，得2212122()yyxx，即12121212yyyyxx.又12121yyyxxx，所以11yxy， 即21yx易知當直線AB不存在時，點M也滿足此方程，所以AB中點軌跡方程為21yx. NMOxyPQFAB 精彩解讀精彩解讀 【試題來源】人教版選修人教版選修 2 2- -1 1 第第 5050 頁習題頁習題 2.2B2.2B 組第組第 2 2 題題 【母題評析】本題屬于求軌跡問題，采用定義法求軌跡方程本題屬于求軌跡問題，采用定義法求軌跡方程. .求軌跡問題在近幾年高考試題中求軌跡問題在近幾年高考試題中很常見，采用命題的形式往往是解答題的其中一步很常見，采用命題的形式往往是解答題的其中一步. . 【思路方法】利用兩圓外切、內(nèi)切的條件要求列出式子，經(jīng)過推利用兩圓外切、內(nèi)切的條件要求列出式子，經(jīng)過推到轉(zhuǎn)化為動點需要滿足的條到轉(zhuǎn)化為動點需要滿足的條件要求，符合定義，最后求出軌跡方程，這是定義法求軌跡件要求，符合定義，最后求出軌跡方程，這是定義法求軌跡. . 【命題意圖】本本類類題題通常主要軌跡方程及求軌跡，考查學生對求軌跡的基本方法的掌握情況通常主要軌跡方程及求軌跡，考查學生對求軌跡的基本方法的掌握情況及對圓錐曲線的概念的掌握情況及對圓錐曲線的概念的掌握情況 【考試方向】這類試題在考查題型上，通?；疽越獯鸬男问匠霈F(xiàn)，選填題較少，難度持中，這類試題在考查題型上，通常基本以解答的形式出現(xiàn)，選填題較少，難度持中，一般會出現(xiàn)在解答題中的一步一般會出現(xiàn)在解答題中的一步 【難點中心】求軌跡問題方法較多，要根據(jù)提議靈活使用，另外求軌跡問題要注意考慮“完求軌跡問題方法較多，要根據(jù)提議靈活使用，另外求軌跡問題要注意考慮“完備性”和“純粹性” ，特別是參數(shù)法，還要注意參數(shù)的取值范圍備性”和“純粹性” ，特別是參數(shù)法，還要注意參數(shù)的取值范圍. . IIIIII理論基礎(chǔ)解題原理理論基礎(chǔ)解題原理 1曲線與方程 在平面直角坐標系中，如果某曲線C(看作滿足某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程的實 數(shù)解建立了如下的關(guān)系： (1)曲線上點的坐標都是這個方程的解； (2)以這個方程的解為坐標的點都在曲線上 那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線 2辨明兩個易誤點 (1)軌跡與軌跡方程是兩個不同的概念，前者指曲線的形狀、位置、大小等特征，后者指方程(包括范 圍) (2)求軌跡方程時易忽視軌跡上特殊點對軌跡的“完備性與純粹性”的影響 3求動點的軌跡方程的一般步驟 (1)建系建立適當?shù)淖鴺讼担?(2)設(shè)點設(shè)軌跡上的任一點P(x，y)； (3)列式列出動點P所滿足的關(guān)系式； (4)代換依條件式的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于x，y的方程式，并化簡； (5)證明證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程 考點一考點一 直接法求軌跡方程直接法求軌跡方程 直接法求點的軌跡方程是求軌跡方程的一種重要方法，也是高考考查的重要內(nèi)容 直接法求點的軌跡方程，在高考中有以下兩個命題角度： (1)明確給出等式，求軌跡方程； (2)給出已知條件，尋找題設(shè)中的等量關(guān)系，求軌跡方程 直接法求曲線方程的一般步驟： (1)建立合理的直角坐標系； (2)設(shè)出所求曲線上點的坐標，把幾何條件或等量關(guān)系用坐標表示為代數(shù)方程； (3)化簡整理這個方程，檢驗并說明所求的方程就是曲線的方程 直接法求曲線方程時最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系“翻譯”為代數(shù)方程，要注意“翻譯”的等 價性 考點考點二二 定義法求軌跡定義法求軌跡 定義法求軌跡方程： (1)在利用圓錐曲線的定義求軌跡方程時，若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)曲線的方程，寫出所求的軌跡方程； (2)利用定義法求軌跡方程時，還要看軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，如果不是完整的曲線，則應(yīng)對其中的變量x或y進行限制 考點三考點三 利用相關(guān)點法（代入法）求軌跡方程利用相關(guān)點法（代入法）求軌跡方程 相關(guān)點法求軌跡方程的一般步驟為： (1)設(shè)點：設(shè)動點坐標為(x，y)，已知軌跡的點的坐標為(x1，y1)， (2)求關(guān)系式：求出兩點坐標之間的關(guān)系式 x1f（x，y），y1g（x，y）. (3)代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程，便可得到所求動點的軌跡方程 考點三考點三 參數(shù)法求軌跡參數(shù)法求軌跡 借助參數(shù)t表示變量yx,得出)()(tgytfx，t是參數(shù)，然后消去參數(shù)t，得出軌跡方程，但要注意參數(shù)的取值范圍. IVIV題型攻略深度挖掘題型攻略深度挖掘 【考試方向】 這類試題在考查題型上，通常基本以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度較小，往往與函數(shù)、三角函數(shù)、解三角形等知識交匯，有時會以向量平行為條件滲透到解析幾何試題中 V V舉一反三觸類旁通舉一反三觸類旁通 考向考向 1 1 直接法求軌跡與平面向量的交匯直接法求軌跡與平面向量的交匯 【例 4】(20 xx天津津南模擬)平面直角坐標系中，已知兩點A(3，1)，B(1，3)，若點C滿足OC1OA2OB(O為原點)，其中1，2R R，且121，則點C的軌跡是( ) A直線 B橢圓 C圓 D雙曲線 【解析】設(shè)C(x，y)，因為OC1OA2OB，所以(x，y)1(3，1)2(1，3)，即x312，y132， 解得1y3x10，23yx10， 又121，所以y3x103yx101，即x2y5， 所以點C的軌跡為直線，故選 A. 【例 5】已知M(4，0)，N(1，0)，若動點P滿足MNMP6|PN|. (1)求動點P的軌跡C的方程； (2)設(shè)Q是曲線C上任意一點，求Q到直線l：x2y120 的距離的最小值. 考向考向 2 2 定義法求軌跡定義法求軌跡 【例 6】(20 xx長春模擬)設(shè)圓(x1)2y225 的圓心為C，A(1，0)是圓內(nèi)一定點，Q為圓周上任一點線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點M，則M的軌跡方程為( ) A.4x2214y2251 .4x2214y2251 C.4x2254y2211 .4x2254y2211 【解析】M為AQ垂直平分線上一點，則|AM|MQ|，|MC|MA|MC|MQ|= |CQ|5，故M的軌跡為橢圓a52，c1，則b2a2c2214， 橢圓的方程為4x2254y2211. 【例 7】(20 xx高考課標全國卷節(jié)選)已知圓M：(x1)2y21，圓N：(x1)2y29，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.求C的方程 【例 8】(20 xx山西臨汾調(diào)研)在ABC中，|BC|4，ABC的內(nèi)切圓切BC于點D，且|BD|CD|2 2，則頂點A的軌跡方程為_ 【解析】以BC的中點為原點，中垂線為y軸建立如圖所示的坐標系，E、F分別為兩個切點則|BE|BD|， |CD|CF|，|AE|AF|. |AB|AC|2 2， 點A的軌跡為以B，C為焦點的雙曲線的右支(y0)，且a 2，c2，b 2， 頂點A的軌跡方程為x22y221(x 2) 考向考向 3 3 相關(guān)點法求軌跡相關(guān)點法求軌跡 【河北省唐山一中高三上學期【河北省唐山一中高三上學期 1212 月調(diào)研考試數(shù)學 （理） 試題】月調(diào)研考試數(shù)學 （理） 試題】 點)2, 4( P與圓422 yx上任一點連線的中點的軌跡方程是( ) A22(2)(1)1xy B22(2)(1)4xy C22(4)(2)4xy D22(2)(1)1xy 【解析】設(shè)所求動點為, x y,圓422 yx上任一點00,M xy,則22004xy.因為, x y為)2, 4( P和 00,M xy的中點,所以000042422222xxxxyyyy ,代入22004xy可得2224224xy, 整理可得22211xy.即所求動點的軌跡方程是22211xy.故 A 正確. 【例9】P是橢圓x2a2y2b21(ab0)上的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的兩個焦點，O為坐標原點，OQPF1PF2，則動點Q的軌跡方程是_