高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5專項限時集訓(xùn)(三)以構(gòu)建函數(shù)模型、解三角形、動點軌跡為背景的實際問題 (對應(yīng)學(xué)生用書第117頁)(限時：60分鐘)1(本小題滿分14分)(20xx鹽城市濱?？h八灘中學(xué)二模)如圖4是一“T”型水渠的平面視圖(俯視圖)，水渠的南北方向和東西方向軸截面均為矩形，南北向渠寬為4 m，東西向渠寬m(從拐角處，即圖中A，B處開始)假定渠內(nèi)的水面始終保持水平位置(即無高度差)圖4(1)在水平面內(nèi)，過點A的一條直線與水渠的內(nèi)壁交于P，Q兩點，且與水渠的一邊的夾角為，將線段PQ的長度l表示為的函數(shù)；(2)若從南面漂來一根長為7 m的筆直的竹竿(粗細不計)，竹竿始終浮于水平面內(nèi)，且不發(fā)生形變，問：這根竹竿能否從拐角處一直漂向東西向的水渠(不會卡住)？請說明理由. 【導(dǎo)學(xué)號：56394096】解(1)由題意，PA，QA，所以lPAQA，即l.4分(2)設(shè)f ()，.由f ()，6分令f ()0，得tan 0.8分且當(0，0)，f ()0；當，f ()0，所以，f ()在(0，0)上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，所以，當0時，f ()取得極小值，即為最小值當tan 0時，sin 0，cos 0，所以f ()的最小值為3，12分即這根竹竿能通過拐角處的長度的最大值為3 m.因為37，所以這根竹竿能從拐角處一直漂向東西向的水渠.14分2(本小題滿分14分)(20xx江蘇省宿遷市三模)某景區(qū)修建一棟復(fù)古建筑，其窗戶設(shè)計如圖5所示圓O的圓心與矩形ABCD對角線的交點重合，且圓與矩形上下兩邊相切(E為上切點)，與左右兩邊相交(F，G為其中兩個交點)，圖中陰影部分為不透光區(qū)域，其余部分為透光區(qū)域已知圓的半徑為1 m且，設(shè)EOF，透光區(qū)域的面積為S.圖5(1)求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出定義域；(2)根據(jù)設(shè)計要求，透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值越大越好當該比值最大時，求邊AB的長度解(1)過點O作OHFG于H，OFHEOF；又OHOFsin sin ，F(xiàn)HOFcos cos ，S4SOFH4S扇形OEF2sin cos 4 sin 22；，sin ，；S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為Ssin 22，；6分(2)由S矩形ADAB22sin 4sin ，則透光區(qū)域與矩形窗面積比值為，設(shè)f ()，則f ()sin ；10分，sin 2，sin 20，f ()0，f ()在上是單調(diào)減函數(shù)；當時f ()取得最大值為，此時AB2sin 1(m)；當透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值最大時，所求AB的長度為1 m14分3(本小題滿分14分)(揚州市高三上學(xué)期期中)如圖6，某市在海島A上建了一水產(chǎn)養(yǎng)殖中心在海岸線l上有相距70公里的B、C兩個小鎮(zhèn)，并且AB30公里，AC80公里，已知B鎮(zhèn)在養(yǎng)殖中心工作的員工有3百人，C鎮(zhèn)在養(yǎng)殖中心工作的員工有5百人現(xiàn)欲在BC之間建一個碼頭D，運送來自兩鎮(zhèn)的員工到養(yǎng)殖中心工作，又知水路運輸與陸路運輸每百人每公里運輸成本之比為12.圖6(1)求sinABC的大小；(2)設(shè)ADB，試確定的大小，使得運輸總成本最少解(1)在ABC中，cosABC，所以sinABC.4分(2)在ABD中，由得：.所以AD，BD.6分設(shè)水路運輸?shù)拿堪偃嗣抗锏馁M用為k元，陸路運輸?shù)拿堪偃嗣抗锏馁M用為2k元，則運輸總費用y(5CD3BD)2k8kAD2k5(70BD)3BD4AD20k20k.令H()，則H()，令H()0，解得：cos ，.10分當0時，H()0，H()單調(diào)遞減；當時，H()0，H()單調(diào)遞增，時，H()取最小值，同時y也取得最小值此時BD，滿足070，所以點D落在BC之間所以時，運輸總成本最小.14分4(本小題滿分16分) 如圖7所示，在一個坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25 m的建筑物CD，為了測量該山坡相對于水平地面的坡角，在山坡的A處測得DAC15，沿山坡前進50 m到達B處，又測得DBC45，根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算cos 的值圖7 解由DAC15，DBC45可得BDA30，DBA135，BDC90(15)3045，4分由內(nèi)角和定理可得DCB180(45)4590，根據(jù)正弦定理可得，即DB100sin 15100sin(4530)25(1)，10分又，即，得到cos 1.16分5(本小題滿分16分)(鎮(zhèn)江市高三上學(xué)期期末)如圖8，某公園有三條觀光大道AB，BC，AC圍成直角三角形，其中直角邊BC200 m，斜邊AB400 m現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在AB，BC，AC大道上嬉戲，所在位置分別記為點D，E，F(xiàn).圖8(1)若甲、乙都以每分鐘100 m的速度從點B出發(fā)在各自的大道上奔走，到大道的另一端時即停，乙比甲遲2分鐘出發(fā)，當乙出發(fā)1分鐘后，求此時甲、乙兩人之間的距離；(2)設(shè)CEF，乙丙之間的距離是甲、乙之間距離的2倍，且DEF，請將甲乙之間的距離y表示為的函數(shù)，并求甲乙之間的最小距離解(1)依題意得BD300，BE100，在ABC中，cos B，B，2分在BDE中，由余弦定理得：DE2BD2BE22BDBEcos B30021002230010070 000，DE100.6分即甲、乙兩人之間的距離為100 m7分(2)由題意得EF2DE2y，BDECEF，在直角三角形CEF中，CEEFcosCEF2ycos ，9分在BDE中，由正弦定理得，即，y，0，12分所以當時，y有最小值50.14分故甲、乙之間的最小距離為50 m16分6(本小題滿分16分)(20xx江蘇省鹽城市高考數(shù)學(xué)三模)一兒童游樂場擬建造一個“蛋筒”型游樂設(shè)施，其軸截面如圖9中實線所示ABCD是等腰梯形，AB20米，CBF(F在AB的延長線上，為銳角)圓E與AD，BC都相切，且其半徑長為10080 sin 米EO是垂直于AB的一個立柱，則當sin 的值設(shè)計為多少時，立柱EO最矮？ 【導(dǎo)學(xué)號：56394097】圖9解如圖所示，以AB所在直線為x軸，以線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系因為B(10,0)，kBCtan ，所以直線BC的方程為：ytan (x10)，即xtan y10tan 0，4分設(shè)圓心E(0，t)(t0)，由圓E與直線BC相切，得10080sin ，所以EOt，8分令f ()，則f ()，設(shè)sin 0，0.列表如下：(0，0)0f ()0f ()減極小值增所以當0，即sin 時，f ()取最小值.15分所以當sin 時，立柱EO最矮.16分