人教版高中數學必修精品教學資料課時提升作業(yè)(二十八)直線與圓的方程的應用(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.圓x2+y2-4x+2y+c=0,與直線3x-4y=0相交于A,B兩點,圓心為P,若APB=90°,則c的值為()A.8B.23C.-3D.3【解析】選C.由題意得C<5,圓心P(2,-1),r=5-c,圓心到直線的距離d=3×2+1×432+42=2,由于APB=90°,所以r=2d=22,從而5-c=22,c=-3.【補償訓練】若P(2,-1)為圓(x-1)2+y2=25的弦AB的中點,則直線AB的方程是()A.x-y-3=0B.2x+y-3=0C.x+y-1=0D.2x-y-5=0【解析】選A.已知圓心為O(1,0),根據題意:又kAB·kOP=-1,所以kAB=1,故直線AB的方程是x-y-3=0.2.如果實數x,y滿足等式(x-1)2+y2=34,那么yx的最大值是()A.12B.33C.32D.3【解析】選D.yx的幾何意義是圓上的點P(x,y)與原點連線的斜率,結合圖形得,斜率的最大值為3,所以yxmax=3.3.臺風中心從A地以20千米/時的速度向東北方向移動,離臺風中心30千米內的地區(qū)為危險區(qū)域,城市B在A的正東40千米處,B城市處在危險區(qū)域的時間為()A.0.5小時B.1小時C.3.6小時D.4.5小時【解析】選B.受影響的區(qū)域長度=2302-(202)2=20千米,故影響時間是1小時.4.點P(x0,y0)在圓x2+y2=r2內,則直線x0x+y0y=r2和已知圓的公共點個數為()A.0B.1C.2D.無法確定【解析】選A.因為x02+y02<r2,圓心到直線x0x+y0y=r2的距離d=-r2x02+y02>r,故直線與圓相離.【延伸探究】若將本題改為“點P(x0,y0)在圓x2+y2=r2外”,其余條件不變,又如何求解?【解析】選C.因為x02+y02>r2,圓心到直線x0x+y0y=r2的距離d =-r2x02+y02< r,故直線與圓相交,所以公共點的個數為兩個.5.已知集合M=(x,y)|y=9-x2,y0,n=(x,y)|y=x+b,若MN,則實數b的取值范圍是()A.-32,32B.-3,3C.(-3,32D.-32,3)【解題指南】解得本題的關鍵是注意到y(tǒng)=9-x2,即x2+y2=9(y>0),圖形是半圓.【解析】選C.由于MN,說明直線y=x+b與半圓x2+y2=9(y>0)相交,畫圖探索可知-3<b32.【方法技巧】數形結合在求解直線與圓交點個數中的應用直線與圓的一部分有交點時,如果采用代數法去研究,則消元以后轉化成了給定區(qū)間的二次方程根的分布問題,求解過程相對復雜,而如果采用數形結合及直線與圓的幾何法求解,先找出邊界,然后結合直線或圓的變化特征求解,相對來說就簡單多了.二、填空題(每小題5分,共15分)6.過點A(11,2)作圓x2+y2+2x-4y-164=0的弦,其中弦長為整數的共有條.【解析】方程化為(x+1)2+(y-2)2=132,圓心為(-1,2),到點A(11,2)的距離為12,最短弦長為10,最長弦長為26,所以所求弦長為整數的條數為2+2×(25-11+1)=32.答案:32【補償訓練】過直線x+y-22=0上點P作圓x2+y2=1的兩條切線,若兩條切線的夾角是60°,則點P的坐標是.【解析】設P(x,y),則由已知可得PO(O為原點)與切線的夾角為30°,則|PO|=2,由x2+y2=4,x+y=22,可得x=2,y=2.答案:(2,2)7.設村莊外圍所在曲線的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示,村外一小路方程可用x-y+2=0表示,則從村莊外圍到小路的最短距離為.【解析】因為圓心到直線的距離為722,從村莊外圍到小路的最短距離為722-2.答案:722-2【補償訓練】(2015·保定高一檢測)已知實數x,y滿足2x+y+5=0,那么x2+y2的最小值為()A.5B.10C.25D.210【解析】選A.x2+y2表示點(x,y)與原點的距離,所以其最小值為原點到2x+y+5=0的距離,故d=522+12=5.8.已知x+y+1=0,那么(x+2)2+(y+3)2的最小值是.【解析】(x+2)2+(y+3)2表示點(x,y)與點(-2,-3)之間的距離,又點(x,y)在直線x+y+1=0上,故最小值為點(-2,-3)到直線x+y+1=0的距離,即d=-2-3+12=22.答案:22三、解答題(每小題10分,共20分)9.等邊ABC中,點D,E分別在邊BC,AC上且BD=13BC,CE=13CA,AD,BE相交于點P.求證:APCP.【解題指南】要證APCP,可轉化為直線AP,CP的斜率之積等于-1即可,由此以B為原點,BC邊所在直線為x軸,線段BC長的16為單位長,建立平面直角坐標系.【證明】以B為原點,BC邊所在直線為x軸,線段BC長的16為單位長,建立平面直角坐標系.則A(3,33),B(0,0),C(6,0).由已知,得D(2,0),E(5,3).直線AD的方程為y=33(x-2).直線BE的方程為y=35(x-5)+3.解以上兩方程聯(lián)立成的方程組,得x=157,y=337.所以,點P的坐標是157,337.直線PC的斜率kPC=-39,因為kAP·kPC=33×-39=-1,所以,APCP.10.如圖所示是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖.這個圓的圓拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造時每間隔4m需要用一根支柱支撐,求支柱A2P2的高度(精確到0.01m).【解析】建立如圖所示直角坐標系,使圓心在y軸上,只要求出P2的縱坐標,就可得出支柱A2P2的高度.設圓心的坐標是(0,b),圓的半徑是r,那么圓的方程是x2+(y-b)2=r2.因為P,B都在圓上,所以它們的坐標(0,4),(10,0)都滿足方程x2+(y-b)2=r2.于是得到方程組02+(4-b)2=r2,102+(0-b)2=r2,解得b=-10.5,r2=14.52,所以,圓的方程是x2+(y+10.5)2=14.52.把點P2的橫坐標x=-2代入圓的方程,得(-2)2+(y+10.5)2=14.52,即y+10.5=14.52-(-2)2(P2的縱坐標y>0,平方根取正值).所以y3.86,故支柱A2P2的高度約為3.86m.【補償訓練】設有半徑為3公里的圓形村落,A,B兩人同時從村落中心出發(fā),A向東而B向北前進,A離開村后不久,改變前進方向,斜著沿切于村落周界的方向前進,后來恰好與B相遇.設A,B兩人的速度都一定,其比為31,問A,B兩人在何處相遇?【解析】如圖所示,以村落中心為坐標原點,以東西方向為x軸建立直角坐標系,又設A向東走到D轉向到C恰好與B相遇,設CD方程為xa+yb=1(a>3,b>3),設B的速度為v,則A的速度為3v,依題意有|ab|a2+b2=3,a2+b2+a3v=bv.解得a=5,b=154,所以B向北走3.75公里時相遇.(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共10分)1.直線2x-y=0與圓C:(x-2)2+(y+1)2=9交于A,B兩點,則ABC(C為圓心)的面積等于()A.25B.23C.43D.45【解析】選A.因為圓心到直線的距離d=4+15=5,所以|AB|=29-d2=4,所以SABC=12×4×5=25.【補償訓練】已知圓的方程為x2+y2-6x-8y=0.設該圓過點(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為()A.106B.206C.306D.406【解析】選B.圓心坐標是(3,4),半徑是5,圓心到點(3,5)的距離為1,根據題意最短弦BD和最長弦(即圓的直徑)AC垂直,故最短弦的長為252-12=46,所以四邊形ABCD的面積為12×AC×BD=12×10×46=206.2.如圖所示,已知直線l的解析式是y=43x-4,并且與x軸、y軸分別交于A,B兩點.一個半徑為1.5的圓C,圓心C從點(0,1.5)開始以每秒0.5個單位的速度沿著y軸向下運動,當圓C與直線l相切時,該圓運動的時間為()A.6sB.6s或16sC.16sD.8s或16s【解析】選B.設運動的時間為ts,則ts后圓心的坐標為(0,1.5-0.5t).因為圓C與直線l:y=43x-4相切,所以4×0-3(1.5-0.5t)-12(-3)2+42=1.5.解得t=6或16.即該圓運動的時間為6s或16s.二、填空題(每小題5分,共10分)3.若點P(x,y)滿足x2+y2=25,則x+y的最大值是.【解析】令x+y=z,則|z|2=5,所以z=±52,即-52x+y52,所以x+y的最大值是52.答案:52【拓展延伸】數形結合思想在解題中的運用利用數形結合求解問題時,關鍵是抓住“數”中的某些結構特征,聯(lián)想到解析幾何中的某些方程、公式,從而挖掘出“數”的幾何意義,實現(xiàn)“數”向“形”的轉化,如本題由x+y聯(lián)想直線的截距.4.若點P在直線l1:x+y+3=0上,過點P的直線l2與曲線C:(x-5)2+y2=16相切于點M,則|PM|的最小值為.【解析】曲線C:(x-5)2+y2=16是圓心為C(5,0),半徑為4的圓,連接CP,CM,則在MPC中,CMPM,則|PM|=|CP|2-|CM|2=|CP|2-16,當|PM|取最小值時,|CP|取最小值,又點P在直線l1上,則|CP|的最小值是點C到直線l1的距離,即|CP|的最小值為d=|5+3|1+1=42,則|PM|的最小值為(42)2-16=4.答案:4【補償訓練】圓(x-2)2+(y+3)2=4上的點到x-y+3=0的最遠的距離為.【解析】圓心C(2,-3)到直線的距離d=2+3+32=42>2,所以直線與圓相離.過圓心C作直線x-y+3=0的垂線,垂足設為H,則圓上的點A到直線的距離最遠為42+2.答案:42+2三、解答題(每小題10分,共20分)5.已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=4和直線l:x+2y+2=0,直線n經過圓C外定點A(1,0).若直線n與圓C相交于P,Q兩點,與l交于N點,且線段PQ的中點為M,求證:|AM|·|AN|為定值.【解析】方法一:設P(x1,y1),Q(x2,y2),又由題意知直線與圓相交,斜率必定存在,且不為0,可設直線n的方程為kx-y-k=0,由x+2y+2=0,kx-y-k=0得N2k-22k+1,-3k2k+1.再由y=kx-k,(x-3)2+(y-4)2=4得(1+k2)x2-(2k2+8k+6)x+k2+8k+21=0,所以x1+x2=2k2+8k+61+k2得Mk2+4k+31+k2,4k2+2k1+k2.所以|AM|·|AN|=k2+4k+31+k2-12+4k2+2k1+k22·2k-22k+1-12+-3k2k+12=2|2k+1|1+k21+k2·31+k2|2k+1|=6為定值.方法二:由題意知直線與圓相交,斜率必定存在,且不為0,可設直線n的方程為kx-y-k=0,由x+2y+2=0,kx-y-k=0,得N2k-22k+1,-3k2k+1,又直線CM與n垂直,由y=kx-k,y-4=-1k(x-3)得Mk2+4k+31+k2,4k2+2k1+k2.所以|AM|·|AN|=|yM-0|1+1k2·|yN-0|1+1k2=|yM·yN|k2+1k2=4k2+2k1+k2·-3k2k+1k2+1k2=6,為定值.6.已知圓C的方程為x2+(y-4)2=4,點O是坐標原點.直線l:y=kx與圓C交于M,N兩點.(1)求k的取值范圍.(2)設Q(m,n)是線段MN上的點,且2|OQ|2=1|OM|2+1|ON|2.請將n表示為m的函數.【解題指南】(1)求解時要抓住直線與圓有兩個交點,所以在求解k的取值范圍時可以利用判別式進行求解.(2)利用2|OQ|2=1|OM|2+1|ON|2找到m,n的關系.【解析】(1)將y=kx代入x2+(y-4)2=4中,得(1+k2)x2-8kx+12=0.(*)由=(-8k)2-4(1+k2)×12>0,得k2>3.所以,k的取值范圍是(-,-3)(3,+).(2)因為M,N在直線l上,可設點M,N的坐標分別為(x1,kx1),(x2,kx2),則|OM|2=(1+k2)x12,|ON|2=(1+k2)x22,又|OQ|2=m2+n2=(1+k2)m2.由2|OQ|2=1|OM|2+1|ON|2,得2(1+k2)m2=1(1+k2)x12+1(1+k2)x22,即2m2=1x12+1x22=(x1+x2)2-2x1x2x12x22.由(*)式可知,x1+x2=8k1+k2,x1x2=121+k2,所以m2=365k2-3.因為點Q在直線y=kx上,所以k=nm,代入m2=365k2-3中并化簡,得5n2-3m2=36.由m2=365k2-3及k2>3,可知0<m2<3,即m(-3,0)(0,3).根據題意,點Q在圓C內,則n>0,所以n=36+3m25=15m2+1805.于是,n與m的函數關系為n=15m2+1805(m(-3,0)(0,3).關閉Word文檔返回原板塊