高考數(shù)學精品復習資料 2019.5專題五平面解析幾何建知識網絡明內在聯(lián)系高考點撥平面解析幾何是浙江新高考的重點內容，常以“兩小一大”呈現(xiàn)，兩小題主要考查直線與圓的位置關系雙曲線的圖象和性質(有時考查拋物線的圖象和性質)，一大題?？疾橐詸E圓(或拋物線)為背景的圖象和性質問題基于上述分析，本專題將從“直線與圓”“圓錐曲線的定義、方程、幾何性質”“圓錐曲線中的綜合問題”三條主線引領復習和提升突破點11直線與圓 (對應學生用書第41頁)核心知識提煉提煉1 圓的方程(1)圓的標準方程當圓心為(a，b)，半徑為r時，其標準方程為(xa)2(yb)2r2，特別地，當圓心在原點時，方程為x2y2r2.(2)圓的一般方程x2y2DxEyF0，其中D2E24F0，表示以為圓心，為半徑的圓. 提煉2 求解直線與圓相關問題的兩個關鍵點(1)三個定理：切線的性質定理，切線長定理，垂徑定理(2)兩個公式：點到直線的距離公式d，弦長公式|AB|2(弦心距d)提煉3求距離最值問題的本質(1)圓外一點P到圓C上的點距離的最大值為|PC|r，最小值為|PC|r，其中r為圓的半徑(2)圓上的點到直線的最大距離是dr，最小距離是dr，其中d為圓心到直線的距離，r為圓的半徑(3)過圓內一點，直徑是最長的弦，與此直徑垂直的弦是最短的弦高考真題回訪回訪1兩條直線的位置關系1(20xx·浙江高考)設aR，則“a1”是“直線l1：ax2y10與直線l2：x(a1)y40平行”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件A若直線l1與l2平行，則a(a1)2×10，即a2或a1，所以a1是直線l1與直線l2平行的充分不必要條件2(20xx·浙江高考)若直線x2y50與直線2xmy60互相垂直，則實數(shù)m_.1直線x2y50與直線2xmy60互相垂直，22m0，m1.回訪2圓的方程3(20xx·浙江高考)已知aR方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圓，則圓心坐標是_，半徑是_(2，4)5由二元二次方程表示圓的條件可得a2a2，解得a2或1.當a2時，方程為4x24y24x8y100，即x2y2x2y0，配方得2(y1)2<0，不表示圓；當a1時，方程為x2y24x8y50，配方得(x2)2(y4)225，則圓心坐標為(2，4)，半徑是5.4(20xx·浙江高考)已知實數(shù)x，y滿足x2y21，則|2xy4|6x3y|的最大值是_15x2y21，2xy4<0,6x3y>0，|2xy4|6x3y|42xy6x3y103x4y.令z103x4y，如圖，設OA與直線3x4y0垂直，直線OA的方程為yx.聯(lián)立得A，當z103x4y過點A時，z取最大值，zmax103×4×15.5(20xx·浙江高考)如圖11­1，點P(0，1)是橢圓C1：1(ab0)的一個頂點，C1的長軸是圓C2：x2y24的直徑l1，l2是過點P且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)1交圓C2于A，B兩點，l2交橢圓C1于另一點D.圖11­1(1)求橢圓C1的方程；(2)求ABD面積取最大值時直線l1的方程解(1)由題意得2分所以橢圓C的方程為y21.5分(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)由題意知直線l1的斜率存在，不妨設其為k，則直線l1的方程為ykx1.6分又圓C2：x2y24，故點O到直線l1的距離d，所以|AB|22.7分又l2l1，故直線l2的方程為xkyk0.由消去y，整理得(4k2)x28kx0，故x0，所以|PD|.8分設ABD的面積為S，則S|AB|·|PD|，11分所以S，當且僅當k±時取等號所以所求直線l1的方程為y±x1.15分回訪3直線與圓、圓與圓的位置關系6(20xx·浙江高考)已知圓x2y22x2ya0截直線xy20所得弦的長度為4，則實數(shù)a的值是()A2B4C6D8B由圓的方程x2y22x2ya0可得，圓心為(1,1)，半徑r.圓心到直線xy20的距離為d.由r2d22得2a24，所以a4.7(20xx·浙江高考)直線y2x3被圓x2y26x8y0所截得的弦長等于_4 圓的方程可化為(x3)2(y4)225，故圓心為(3,4)，半徑r5.又直線方程為2xy30，所以圓心到直線的距離為d，所以弦長為2 2×24 .8(20xx·浙江高考)如圖11­2，已知拋物線C1：yx2，圓C2：x2(y1)21，過點P(t,0)(t>0)作不過原點O的直線PA，PB分別與拋物線C1和圓C2相切，A，B為切點圖11­2(1)求點A，B的坐標；(2)求PAB的面積解(1)由題意知直線PA的斜率存在，故可設直線PA的方程為yk(xt).2分由消去y，整理得x24kx4kt0，由于直線PA與拋物線相切，得kt.3分因此，點A的坐標為(2t，t2)設圓C2的圓心為D(0,1)，點B的坐標為(x0，y0)由題意知：點B，O關于直線PD對稱，故5分解得因此，點B的坐標為.7分(2)由(1)知|AP|t·，直線PA的方程為txyt20.點B到直線PA的距離是d.11分設PAB的面積為S(t)，則S(t)|AP|·d.15分(對應學生用書第43頁)熱點題型1圓的方程題型分析：求圓的方程是高考考查的重點內容，常用的方法是待定系數(shù)法或幾何法.【例1】(1)已知圓C關于y軸對稱，經過點A(1,0)，且被x軸分成的兩段弧長之比為12，則圓C的方程為_(2)已知M的圓心在第一象限，過原點O被x軸截得的弦長為6，且與直線3xy0相切，則圓M的標準方程為_(1)x22(2)(x3)2(y1)210(1)因為圓C關于y軸對稱，所以圓C的圓心C在y軸上，可設C(0，b)，設圓C的半徑為r，則圓C的方程為x2(yb)2r2.依題意，得解得所以圓C的方程為x22.(2)法一：設M的方程為(xa)2(yb)2r2(a0，b0，r0)，由題意知解得故M的方程為(x3)2(y1)210.法二：因為圓M過原點，故可設方程為x2y2DxEy0，又被x軸截得的弦長為6且圓心在第一象限，則232，故D6，與3xy0相切，則，即ED2，因此所求方程為x2y26x2y0.故M的標準方程為(x3)2(y1)210.方法指津求圓的方程的兩種方法1幾何法，通過研究圓的性質、直線和圓、圓與圓的位置關系，進而求得圓的基本量和方程2代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)變式訓練1(1)(20xx·溫州市普通高中高考模擬考試)圓x2y22y30的圓心坐標是_，半徑是_(2)拋物線y24x與過其焦點且垂直于x軸的直線相交于A，B兩點，其準線與x軸的交點為M，則過M，A，B三點的圓的標準方程為_(1)(0,1)2(2)(x1)2y24(1)化圓的一般式方程為標準方程，得x2(y1)24，由此知該圓的圓心坐標為(0,1)，半徑為2.(2)由題意知，A(1,2)，B(1，2)，M(1,0)，AMB是以點M為直角頂點的直角三角形，則線段AB是所求圓的直徑，故所求圓的標準方程為(x1)2y24.熱點題型2直線與圓、圓與圓的位置關系題型分析：直線與圓、圓與圓的位置關系是高考考查的熱點內容，解決的方法主要有幾何法和代數(shù)法.【例2】(1)已知直線l：mxy3m0與圓x2y212交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點若|AB|2，則|CD|_.4由直線l：mxy3m0知其過定點(3，)，圓心O到直線l的距離為d.由|AB|2得2()212，解得m.又直線l的斜率為m，所以直線l的傾斜角.畫出符合題意的圖形如圖所示，過點C作CEBD，則DCE.在RtCDE中，可得|CD|2×4.(2)(20xx·金華十校聯(lián)考)如圖11­3，已知圓G：(x2)2y2r2是橢圓y21的內接ABC的內切圓，其中A為橢圓的左頂點求圓G的半徑r；過點M(0,1)作圓G的兩條切線交橢圓于E，F(xiàn)兩點，證明：直線EF與圓G相切圖11­3解設B(2r，y0)，過圓心G作GDAB于D，BC交長軸于H.由得，即y0，2分而B(2r，y0)在橢圓上，y1，3分由式得15r28r120，解得r或r(舍去).5分證明：設過點M(0,1)與圓(x2)2y2相切的直線方程為ykx1，則，即32k236k50，解得k1，k2.將代入y21得(16k21)x232kx0，則異于零的解為x.8分設F(x1，k1x11)，E(x2，k2x21)，則x1，x2，12分則直線FE的斜率為kEF，于是直線FE的方程為y1.即yx，則圓心(2,0)到直線FE的距離d，故結論成立.15分方法指津1直線(圓)與圓的位置關系的解題思路(1)討論直線與圓及圓與圓的位置關系時，要注意數(shù)形結合，充分利用圓的幾何性質尋找解題途徑，減少運算量研究直線與圓的位置關系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實現(xiàn)，兩個圓的位置關系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較(2)直線與圓相切時利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立切線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點斜式，過圓外一點求解切線段長可轉化為圓心到圓外點的距離，利用勾股定理計算2弦長的求解方法(1)根據(jù)平面幾何知識構建直角三角形，把弦長用圓的半徑和圓心到直線的距離表示，l2(其中l(wèi)為弦長，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離)(2)根據(jù)公式：l|x1x2|求解(其中l(wèi)為弦長，x1，x2為直線與圓相交所得交點的橫坐標，k為直線的斜率)(3)求出交點坐標，用兩點間距離公式求解變式訓練2(1)(20xx·金麗衢十二校高三第二次聯(lián)考)如圖11­4，圓M和圓N與直線l：ykx分別相切于A，B，與x軸相切，并且圓心連線與l交于點C，若|OM|ON|且2，則實數(shù)k的值為() 【導學號：68334120】圖11­4A1B.C.D.D分別過點M，N作x軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn).由題意，得MACNBC，由2，知|MA|2|NB|.又由x軸與直線ykx是兩個圓的公切線知MON90°，|MA|ME|，|NB|NF|，結合|OM|ON|，知|ME|2|NF|，OMENOF，所以|OF|ME|2|NF|，所以tanNOF，則tanBOFtan 2NOF，故選D.(2)已知點M(1,0)，N(1,0)，曲線E上任意一點到點M的距離均是到點N距離的倍求曲線E的方程；已知m0，設直線l1：xmy10交曲線E于A，C兩點，直線l2：mxym0交曲線E于B，D兩點C，D兩點均在x軸下方當CD的斜率為1時，求線段AB的長解設曲線E上任意一點坐標為(x，y)，由題意，2分整理得x2y24x10，即(x2)2y23為所求.4分由題知l1l2，且兩條直線均恒過點N(1,0)，設曲線E的圓心為E，則E(2,0)，線段CD的中點為P，則直線EP：yx2，設直線CD：yxt，由解得點P.7分由圓的幾何性質，|NP|CD|，而|NP|222，|ED|23，|EP|22，2232，解得t0或t3，又C，D兩點均在x軸下方，直線CD：yx.由解得或9分設C，D，由消去y得：(u21)x22(u22)xu210，(*)方程(*)的兩根之積為1，所以點A的橫坐標xA2，又因為點C在直線l1：xmy10上，解得m1，11分直線l1：y(1)(x1)，所以A(2，1)，同理可得，B(2，1)，所以線段AB的長為2.15分